Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz für Skalarprodukte

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Einleitung[Bearbeiten]

Mit der Existenz für Skalarprodukte für normierte Räume wird durch den Satz von Jordan und von Neumann ein Zusammenhang zwischen der Parallelogrammgleichung und der Existenz eines Skalarproduktes auf normierten Räumen hergestellt. Die Parallelogrammgleichung in der Mathematik hat seine Ursprünge in der elementaren Geometrie. Allgemeinere Formulierung gelten auch für normierte Vektorräume über komplexen Zahlen und in allgemeinen Prähilberträumen.

Anwendung in der Geometrie[Bearbeiten]

Bezeichnungen am Parallelogramm

Wir betrachten zunächst die Parallelogrammgleichung in der Euklidischen Geometrie.

Satz[Bearbeiten]

In einem Parallelogramm mit den Seitenlängen a, b und den Diagonalen e, f gilt:

Beweise[Bearbeiten]

Der Satz folgt direkt und in besonders einfacher Weise aus dem Satz des Pythagoras. Hierzu erweitern wir die nebenstehende Zeichnung noch um die Höhe auf der linken Seite bei der Diagonalen f mit den Abschnitten q. Bezeichnungen am Parallelogramm

Beweisschritt 1[Bearbeiten]

Zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt zunächst die beiden Gleichungen

Die Summe dieser beiden Gleichungen ergibt . Eine dritte Anwendung liefert womit der Satz bewiesen ist.

Beweisschritt 2[Bearbeiten]

Der Beweis kann mit dem Kosinussatz wie folgt erfolgen:

,

da und ist.


Bemerkung 3[Bearbeiten]

Zwei Vektoren und spannen ein Parallelogramm auf.

Zwei linear unabhängige Vektoren spannen ein Parallelogramm auf

In der linearen Algebra auf Schulniveau kann der Beweis mit Vektoren und Skalarprodukt in euklidischen zweidimensionale Geometrie behandelt werden.

Beweisschritt 4[Bearbeiten]

Mit und gilt:

.

Verallgemeinerung und Umkehrung[Bearbeiten]

Für ein beliebiges ebenes Viereck gilt mit den angegebenen Bezeichnungen:

wobei den Abstand der Mittelpunkte der beiden Diagonalen bezeichnet.

Verallgemeinerung 1[Bearbeiten]

Ist das Viereck ein Parallelogramm, so stimmen die beiden Diagonalenmittelpunkte überein. Somit ist und es ergibt sich die Parallelogrammgleichung als Spezialfall.

Verallgemeinerung 2[Bearbeiten]

Umgekehrt folgt: Gilt die Parallelogrammgleichung, so ist . Die beiden Diagonalen halbieren sich also gegenseitig, das Viereck ist ein Parallelogramm.

Anwendung für komplexe Zahlen[Bearbeiten]

Wenn man eine komplexe Zahl als Vektor im zweidimensionalen Kartesischen Koordinatensystem auffasst, kann man die Existenz analog in die Gaußschen Zahlenebene übertragen

Satz[Bearbeiten]

Für zwei komplexe Zahlen z,w gilt:

Beweis[Bearbeiten]

Die Gültigkeit des Satzes ist offensichtlich, wenn man die Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene interpretiert, in der und dann ein Parallelogramm mit den Diagonalen und aufspannen. Er lässt sich aber auch direkt rechnerisch herleiten.

Beweis 1[Bearbeiten]

Unter Benutzung von für jede komplexe Zahl gilt:

Die Gleichung in Vektorräumen[Bearbeiten]

Die Betrachtung in Prähilberträumen stellt die am meisten abstrahierte Betrachtung dar. Selbstverständlich lassen sich die Aussagen der beiden vorhergehenden Abschnitte mit dem nun folgenden Satz beweisen (zum einen mit den Mitteln der analytischen Geometrie, zum anderen durch die Zurückführung von auf einen zweidimensionalen -Vektorraum unter Definition einer Multiplikation und einer Norm), dennoch sind die jeweiligen Beweise mit den je zur Verfügung stehenden Mitteln sicher nicht überflüssig.

Satz[Bearbeiten]

In Prähilberträumen, also Vektorräumen, in denen ein Skalarprodukt definiert ist, (oder in Vektorräumen mit zumindest einem positiv semidefiniten inneren Produkt) gilt:

wobei die durch das Skalarprodukt (positiv semidefinite innere Produkt) induzierte Norm (Halbnorm) ist.

Beweis[Bearbeiten]

Zum Beweis benötigt man nur die Tatsache, dass ein Innenprodukt eines jeden Innenproduktraums bezüglich der Addition für beide Argumente linear ist (siehe Definition des Innenprodukts und Sesquilinearform). Dann erhält man:

Umkehrung[Bearbeiten]

Die Parallelogrammgleichung gilt nicht in normierten Vektorräumen, deren Norm nicht durch ein Skalarprodukt definiert wird. Es gilt nämlich der Satz von Jordan-von Neumann (nach Pascual Jordan und John von Neumann):

Zusammenhang Norm - Skalarprodukt[Bearbeiten]

Gilt in einem normierten Vektorraum die Parallelogrammgleichung, so gibt es ein Skalarprodukt , das die Norm erzeugt, das heißt, für alle gilt

Polarisationsformel[Bearbeiten]

Dieses Skalarprodukt kann durch eine Polarisationsformel definiert werden, im reellen Fall zum Beispiel durch

und im komplexen Fall durch

Bemerkung im -Vektorraum[Bearbeiten]

Seien aus dem normierten Verktorraum V und es gelte die Parallelogrammgleichung

Dann ist das Skalarprodukt dort durch die Polarisationsformel definiert:

Aufgabe[Bearbeiten]

Wir zeigen nun, dass das folgende Skalarprodukt der Form

im reellen Fall tatsächlich die Eigenschaften einer symmetrische Bilinearform besitzt.

Quellen[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Wikibooks
 Wikibooks: Beweis zur Parallelogrammgleichung – Lern- und Lehrmaterialien


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