Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz für Skalarprodukte

Einleitung

Mit der Existenz für Skalarprodukte für normierte Räume wird durch den Satz von Jordan und von Neumann ein Zusammenhang zwischen der Parallelogrammgleichung und der Existenz eines Skalarproduktes auf normierten Räumen hergestellt. Die Parallelogrammgleichung in der Mathematik hat ihre Ursprünge in der elementaren Geometrie. Allgemeinere Formulierung gelten auch für normierte Vektorräume über komplexen Zahlen und in allgemeinen Prähilberträumen.

Anwendung in der Geometrie

Wir betrachten zunächst die Parallelogrammgleichung in der Euklidischen Geometrie.

Satz

In einem Parallelogramm mit den Seitenlängen a, b und den Diagonalen e, f gilt:

2\left(a^{2}+b^{2}\right)=e^{2}+f^{2}.

Beweise

Der Satz folgt direkt und in besonders einfacher Weise aus dem Satz des Pythagoras. Hierzu erweitern wir die nebenstehende Zeichnung noch um die Höhe $h_{a}$ auf der linken Seite bei der Diagonalen f mit den Abschnitten q.

Beweisschritt 1

Zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt zunächst die beiden Gleichungen

(a+q)^{2}+h_{a}^{2}=e^{2}

(a-q)^{2}+h_{a}^{2}=f^{2}

Die Summe dieser beiden Gleichungen ergibt $2(a^{2}+q^{2}+h_{a}^{2})=e^{2}+f^{2}$ . Eine dritte Anwendung liefert $q^{2}+h_{a}^{2}=b^{2}$ womit der Satz bewiesen ist.

Beweisschritt 2

Der Beweis kann mit dem Kosinussatz wie folgt erfolgen:

{\begin{aligned}e^{2}+f^{2}&=(a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos(\beta ))+(c^{2}+b^{2}-2cb\ \cos(\gamma ))\\&=2(a^{2}+b^{2})\end{aligned}}

,

da $c=a$ und $\cos(\gamma )=\cos(\pi -\beta )=-\cos(\beta )$ ist.

Bemerkung 3

Zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ spannen ein Parallelogramm auf.

In der linearen Algebra auf Schulniveau kann der Beweis mit Vektoren und Skalarprodukt in euklidischen zweidimensionale Geometrie behandelt werden.

Beweisschritt 4

Mit ${\vec {e}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$ und ${\vec {f}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ gilt:

\langle {\vec {e}},{\vec {e}}\rangle +\langle {\vec {f}},{\vec {f}}\rangle =\left(\langle {\vec {a}},{\vec {a}}\rangle +2{\vec {\langle }}{\vec {a}},{\vec {b}}\rangle +\langle {\vec {b}},{\vec {b}}\rangle \right)+\left(\langle {\vec {a}},{\vec {a}}\rangle -2\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle +\langle {\vec {b}},{\vec {b}}\rangle \right)

=2\langle {\vec {a}},{\vec {a}}\rangle +2\langle {\vec {b}},{\vec {b}}\rangle

.

Verallgemeinerung und Umkehrung

Für ein beliebiges ebenes Viereck gilt mit den angegebenen Bezeichnungen:

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4x^{2},

wobei $x$ den Abstand der Mittelpunkte der beiden Diagonalen bezeichnet.

Verallgemeinerung 1

Ist das Viereck ein Parallelogramm, so stimmen die beiden Diagonalenmittelpunkte überein. Somit ist $x=0$ und es ergibt sich die Parallelogrammgleichung als Spezialfall.

Verallgemeinerung 2

Umgekehrt folgt: Gilt die Parallelogrammgleichung, so ist $x=0$ . Die beiden Diagonalen halbieren sich also gegenseitig, das Viereck ist ein Parallelogramm.

Anwendung für komplexe Zahlen

Wenn man eine komplexe Zahl $x+iy\in \mathbb {C}$ als Vektor $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ im zweidimensionalen Kartesischen Koordinatensystem auffasst, kann man die Existenz analog in die Gaußschen Zahlenebene übertragen

Satz

Für zwei komplexe Zahlen z,w gilt:

2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right)=|z+w|^{2}+|z-w|^{2}.

Beweis

Die Gültigkeit des Satzes ist offensichtlich, wenn man die Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene interpretiert, in der $z$ und $w$ dann ein Parallelogramm mit den Diagonalen $z+w$ und $z-w$ aufspannen. Er lässt sich aber auch direkt rechnerisch herleiten mit dem Skalarprodukt.

\langle z,w\rangle :={\overline {z}}\cdot w\in \mathbb {C} \qquad |z|={\sqrt {{\overline {z}}\cdot z}}\in \mathbb {R} _{o}^{+}

Beweis 1

Unter Benutzung von $\left|z\right|^{2}={\overline {z}}z=\langle z,z\rangle$ für jede komplexe Zahl $z$ gilt:

{\begin{array}{rcl}\left|z+w\right|^{2}&+&\left|z-w\right|^{2}={\overline {(z+w)}}(z+w)+{\overline {(z-w)}}(z-w)\\&=&({\overline {z}}+{\overline {w}})(z+w)+({\overline {z}}-{\overline {w}})(z-w)\\&=&({\overline {z}}z+{\overline {z}}w+{\overline {w}}z+{\overline {w}}w)+({\overline {z}}z-{\overline {z}}w-{\overline {w}}z+{\overline {w}}w)\\&=&2\,{\overline {z}}z+2{\overline {w}}w=2\,\langle z,z\rangle +2\,\langle w,w\rangle \\&=&2\left|z\right|^{2}+2\left|w\right|^{2}\end{array}}

Die Gleichung in Vektorräumen

Die Betrachtung in Prähilberträumen stellt die am meisten abstrahierte Betrachtung dar. Selbstverständlich lassen sich die Aussagen der beiden vorhergehenden Abschnitte mit dem nun folgenden Satz beweisen (zum einen mit den Mitteln der analytischen Geometrie, zum anderen durch die Zurückführung von $\mathbb {C}$ auf einen zweidimensionalen $\mathbb {R}$ -Vektorraum unter Definition einer Multiplikation und einer Norm). Dennoch sind die jeweiligen Beweise mit den jeweils zur Verfügung stehenden Mitteln in der Sekundarstufe I und II über den Pythagos oder dem kanonischen Skalarprodukt im $\mathbb {R} ^{2}$ bereits umsetzbar.

Satz

In Prähilberträumen, also Vektorräumen, in denen ein Skalarprodukt definiert ist, (oder in Vektorräumen mit zumindest einem positiv semidefiniten inneren Produkt) gilt:

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})

wobei $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ die durch das Skalarprodukt induzierte Norm ist.

Beweis

Zum Beweis benötigt man nur die Tatsache, dass ein Skalarprodukt eines jeden Prähilbertraumes bezüglich der Addition für beide Argumente (semi-)linear ist (siehe Definition des Skarlarproduktes und Sesquilinearform). Dann erhält man:

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle +\langle x-y,x-y\rangle

=\langle x,x+y\rangle +\langle y,x+y\rangle \ +\ \langle x,x-y\rangle -\langle y,x-y\rangle

=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle \ +\ \langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle

=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})

Umkehrung

Die Parallelogrammgleichung gilt nicht in normierten Vektorräumen, deren Norm nicht durch ein Skalarprodukt definiert wird. Es gilt nämlich der Satz von Jordan-von Neumann (nach Pascual Jordan und John von Neumann):

Zusammenhang Norm - Skalarprodukt

Gilt in einem normierten Vektorraum $(V,\|{\cdot }\|)$ die Parallelogrammgleichung, so gibt es ein Skalarprodukt $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle$ , das die Norm erzeugt, das heißt, für alle $x\in V$ gilt

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.

Polarisationsformel

Dieses Skalarprodukt kann durch eine Polarisationsformel definiert werden, im reellen Fall zum Beispiel durch

\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left({\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}\right)

und im komplexen Fall durch

\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)+{\frac {i}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right).

Parallelogrammgleichung im IR-Vektorraum

Seien $x,y\in V$ aus dem normierten Verktorraum $V$ und es gelte die Parallelogrammgleichung im $\mathbb {R}$ -Vektorraum.

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})

Dann ist das Skalarprodukt dort durch die Polarisationsformel definiert (siehe nachfolgende Aufgabe):

\langle x,y\rangle :={\frac {1}{4}}\left({\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}\right)

Aufgabe - von Parallelogrammgleichung zum Skalarprodukt

Zeigen Sie nun, dass die im Folgenden definiert Abbildung von $V\times V$ nach $\mathbb {R}$ Skalarprodukt ist,

{\begin{array}{rccl}\langle \cdot ,\cdot \rangle &:V\times V&\to &\mathbb {R} \\&(x,y)&\mapsto &\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left({\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}\right)\end{array}}

Weisen Sie dazu im reellen Fall die definierenden Eigenschaften einer symmetrische Bilinearform nach.

Quellen

Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 203–204.

Weblinks

Wikibooks: Beweis zur Parallelogrammgleichung – Lern- und Lehrmaterialien

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