Kurs:Funktionalanalysis/Satz von Hahn-Banach

Einführung

Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.

Bezug Trennungssatz und Krein-Milman

Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z.B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman.

Geschichte

Der Satz wurde im Wesentlichen schon 1912 von Eduard Helly bewiesen.

Entstehung - Namensgebung

Hahn erwähnt Helly in seiner Arbeit von 1927 nicht, wohl aber Banach in seiner Arbeit von 1929, wenn auch nicht in Zusammenhang mit dem Satz selbst. Beide verwenden aber die Ungleichung von Helly. Die Benennung nach Hahn und Banach tauchte zuerst in einer Arbeit von Frederic Bohnenblust und A. Sobcyzk, die den Satz auf komplexe Räume übertrugen. Ein anderer Beweis des Satzes von Hahn-Banach, der nicht die Ungleichung von Helly verwendet, wurde 1941 von Jean Dieudonné gegeben.

Endlichdimensionaler Fall

Stellt man Vektoren eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums $V$ bzgl. einer fest gewählten Basis in der Form eines Zeilenvektors $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in V$ dar, so kann man die jeweiligen $i$-ten Einträge dieser Zeilenvektoren als Funktionen

$p_{i}\colon V\to \mathbb {K} ,\quad (v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto v_{i}$

auffassen (dabei ist $\mathbb {K}$ der Grundkörper $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$).

Koordinatenabbildung

Ein wesentlicher Teil der Bedeutung einer solchen aus der linearen Algebra bekannten Koordinatendarstellung liegt nun darin, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koordinaten übereinstimmen:

$v=w\iff f_{i}(v)=f_{i}(w){\text{ für }}i=1,\ldots ,n.$

Die Abbildungen $f_{i}\colon \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K}$ sind lineare Funktionale.

Trennungseigenschaft

Die Koordinatenfunktionen trennen daher die Punkte, d. h. sind $v\neq w$ verschiedene Vektoren, dann gibt es einen Index $i$, so dass $f_{i}(v)\neq f_{i}(w)$ ist. Die $f_{i}$ sind stetige lineare Funktionale auf dem Koordinatenraum.

Unendlichdimensionaler Fall

In unendlichdimensionalen Räumen gibt es i.d.R. keine Koordinatenfunktionen $f_{i}$ mit einer vergleichbaren Konstruktion, wenn man weiterhin die Stetigkeit der Koordinatenfunktionen verlangt.

Trennung der Punkte und Hahn-Banach

Der Satz von Hahn-Banach impliziert aber, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem normierten Raum $(V,\|\cdot \|)$ (oder allgemeiner auf einem lokalkonvexen Raum) $(V,(p_{\alpha })_{\alpha \in I})$ die Punkte trennt, d.h.

$v,w\in V\wedge v\not =w\,\Longrightarrow \exists _{f\in V'}:\,f(v-w)\not =0{\mbox{ bwz. }}f(v)\not =f(w)$

Wobei $V^{\ast }:=Hom_{\mathbb {K} }(V,\mathbb {K} )$ der Dualraum von $V$ ist und bezeichnet die Menge aller linearen Funktionale $f:V\to \mathbb {K}$ mit $V$ als $\mathbb {K}$-Vektorraum. Ist $V$ eine topologischer Vektorraum, bezeichnet $V':=\{f\in V^{\ast }\,:\,f{\mbox{ stetig }}\}$ den topologischen Dualraum.

Formulierung

Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$. Mit der Satzgruppe vom Hahn-Banach kann ein lineares Funktional $f:U\to \mathbb {K}$ von einem Unterraum $U$ auf den ganzen Definitionsbereich $V$ mit $F:V\to \mathbb {K}$ einer sublinearen Abbildung erweitert werden, wobei sowohl $f\leq p|_{U}$ und $\operatorname {Re} (F)\leq p$ für eine sublineare Abbildung $p$ erfüllt. Im Speziellen kann man als sublinearen Abbildung z.B. eine Halbnorm oder Norm verwendet werden, wie z.B. in der folgenden Version von Hahn-Banach.

Satz von Hahn-Banach - reeller Fall

Es seien nun

• $U\subseteq V$ ein Untervektorraum eines $\mathbb {R}$-Vektorraumes $V$;
• $p\colon V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ eine Halbnorm;
• $f\colon U\to \mathbb {R}$ ein lineares Funktional, für das $f(u)\leq p(u)$ für alle $u\in U$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional $F\colon V\to \mathbb {R}$, so dass

• $F|_{U}=f$ und.
• $F(v)\leq p(v)$ für alle $v\in V$ gilt.

Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall

Es seien nun

• $U\subseteq V$ ein Untervektorraum eines $\mathbb {C}$-Vektorraumes $V$;
• $p\colon V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ eine Halbnorm;
• $f\colon U\to \mathbb {C}$ ein lineares Funktional, für das $|f(u)|\leq p(u)$ für alle $u\in U$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional $F\colon V\to \mathbb {C}$, so dass

• $F|_{U}=f$ und.
• $|F(v)|\leq p(v)$ für alle $v\in V$ gilt.

Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall - Realteilabschätzung

Es seien nun

• $U\subseteq V$ ein linearer Unterraum;
• $p\colon V\to \mathbb {R}$ eine sublineare Abbildung;
• $f\colon U\to \mathbb {K}$ ein lineares Funktional, für das $\operatorname {Re} (f(u))\leq p(u)$ für alle $u\in U$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional $F\colon V\to \mathbb {K}$, so dass

• $F|_{U}=f$ und
• $\operatorname {Re} (F(v))\leq p(v)$

für alle $v\in V$ gilt.

Beweisidee

Der Beweis dieses grundlegenden Satzes ist nicht konstruktiv. Man betrachtet die Menge aller Fortsetzungen $g\colon W\rightarrow {\mathbb {K} }$ von $f$ auf Teilräume $W$ mit $U\subset W\subset V$, für die $\operatorname {Re} g(w)\leq p(w)$ für alle $w\in W$ gilt. Dann zeigt man mit dem Lemma von Zorn, dass die Menge aller solchen Fortsetzungen maximale Elemente besitzt und dass ein solches maximales Element eine gesuchte Fortsetzung $F\colon V\to {\mathbb {K} }$ ist.

Satzgruppe von Hahn-Banach

Wir werden die obige Aussage zunächst

• (Hahn-Banach - reeller_Fall) für Halbnormen und reelle Vektorräume zeigen,
• (Hahn-Banach - komplexer_Fall) dann diese Aussage auf die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ erweitern
• (Halbnorm - sublineare Abbildung) und die Vorrausetzungen von HB von Halbnormen auf sublineare Funktionen erweitern.

Korollare 1: Trennungseigenschaft

Häufig wird eine der folgenden Aussagen für den Satz von Hahn-Banach normierte Räume $(V,\|\cdot \|)$ mit $V\neq \{0\}$ verwendet, die leicht aus obigem Satz hergeleitet werden können:

• Für jedes $v\in V$ existiert ein lineares Funktional $f$ mit Norm $1$, für das $f(v)=\left\|v\right\|$ gilt. Sind $v,w\in V$ verschiedene Vektoren, so erhält man die oben erwähnte Eigenschaft der Punktetrennung, indem man dies auf dies für $v\neq 0_{V}$ Trennung von $0_{V}$ und $v$ anwendet (für $f(0_{V})=0=\|0_{V}\|$ gilt die Aussage unmittelbar).
• Ist allgemeiner $U$ ein Unterraum, und liegt $v\in V$ nicht im Abschluss von $U$, so gibt es ein lineares Funktional $f$ mit Norm $1$, für das $f$ auf $U$ verschwindet (d.h. $f|_{U}\equiv 0$) und $f(v)=\mathrm {dist} (v,U)$ gilt.

Korollare 2: Normierte Vektoräume

• Ist $V$ ein normierter Raum, $U$ ein Teilraum und $f$ ein stetiges lineares Funktional auf $U$, so kann $f$ zu einem stetigen linearen Funktional derselben Norm auf ganz $V$ fortgesetzt werden. Anders ausgedrückt: die Einschränkung $E$ von Funktionalen ist eine surjektive Abbildung $E:V'\to U'$ der topologischen Dualräume.
• Ist $V$ ein normierter Raum, so ist ein Unterraum $U\subset V$ genau dann dicht in $V$, falls aus $v'\in V^{'}$ und $x'|_{U}=0$ stets $x'=0$ folgt.

Korollare 3: Trennungsätze

In einem normierter Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ oder lokalkonvexer Raum $(X,(p_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}})$mit einem Halbnormensystem $(p_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ über dem Körper $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ ist es das Ziel, eine abgeschlossene und konvexe Menge $M\subset X$ von Elementen $x\in X\setminus M$ aus dem Komplement zu trennen. Dies wird durch Trennungssätze beschrieben Diese Folgerungen von Hahn-Banach geometrischer Art finden sich im Artikel Trennungssatz.

Siehe auch

• Hahn-Banach_- reeller_Fall
• Hahn-Banach_- komplexer_Fall
• Trennungssatz
• normierter Vektorraum
• lokalkonvexer Raum
• Dualräume

Literatur

• Hans Hahn: Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 157 (1927), p. 214–229.
• Stefan Banach: Sur les fonctionelles linéaires I. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 211–216. Zum Download verfügbar auf IMPAN.pl
• Stefan Banach: Sur les fonctionnelles linéaires II. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 223–239. Zum Download verfügbar auf IMPAN.pl
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992

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