Kurs:Funktionalanalysis/Satz von Hahn-Banach

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Einführung[Bearbeiten]

Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.

Bezug Trennungssatz und Krein-Milman[Bearbeiten]

Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z.B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman.

Geschichte[Bearbeiten]

Der Satz wurde im Wesentlichen schon 1912[1][2] von Eduard Helly bewiesen.

Entstehung - Namensgebung[Bearbeiten]

Hahn erwähnt Helly in seiner Arbeit von 1927 nicht, wohl aber Banach in seiner Arbeit von 1929, wenn auch nicht in Zusammenhang mit dem Satz selbst.[3] Beide verwenden aber die Ungleichung von Helly. Die Benennung nach Hahn und Banach tauchte zuerst in einer Arbeit von Frederic Bohnenblust und A. Sobcyzk, die den Satz auf komplexe Räume übertrugen.[4] Ein anderer Beweis des Satzes von Hahn-Banach, der nicht die Ungleichung von Helly verwendet, wurde 1941 von Jean Dieudonné gegeben.[5]

Endlichdimensionaler Fall[Bearbeiten]

Stellt man Vektoren eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums bzgl. einer fest gewählten Basis in der Form eines Zeilenvektors dar, so kann man die jeweiligen -ten Einträge dieser Zeilenvektoren als Funktionen

auffassen (dabei ist der Grundkörper bzw. ).

Koordinatenabbildung[Bearbeiten]

Ein wesentlicher Teil der Bedeutung einer solchen aus der linearen Algebra bekannten Koordinatendarstellung liegt nun darin, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koordinaten übereinstimmen:

Die Abbildungen sind lineare Funktionale.

Trennungseigenschaft[Bearbeiten]

Die Koordinatenfunktionen trennen daher die Punkte, d. h. sind verschiedene Vektoren, dann gibt es einen Index , so dass ist. Die sind stetige lineare Funktionale auf dem Koordinatenraum.

Unendlichdimensionaler Fall[Bearbeiten]

In unendlichdimensionalen Räumen gibt es i.d.R. keine Koordinatenfunktionen mit einer vergleichbaren Konstruktion, wenn man weiterhin die Stetigkeit der Koordinatenfunktionen verlangt.

Trennung der Punkte und Hahn-Banach[Bearbeiten]

Der Satz von Hahn-Banach impliziert aber, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem normierten Raum (oder allgemeiner auf einem lokalkonvexen Raum) die Punkte trennt, d.h.

Wobei der Dualraum von ist und bezeichnet die Menge aller linearen Funktionale mit als -Vektorraum. Ist eine topologischer Vektorraum, bezeichnet den topologischen Dualraum.

Formulierung[Bearbeiten]

Es sei ein Vektorraum über . Mit der Satzgruppe vom Hahn-Banach kann ein lineares Funktional von einem Unterraum auf den ganzen Definitionsbereich mit einer sublinearen Abbildung erweitert werden, wobei sowohl und für eine sublineare Abbildung erfüllt. Im Speziellen kann man als sublinearen Abbildung z.B. eine Halbnorm oder Norm verwendet werden, wie z.B. in der folgenden Version von Hahn-Banach.

Satz von Hahn-Banach - reeller Fall[Bearbeiten]

Es seien nun

  • ein Untervektorraum eines -Vektorraumes ;
  • eine Halbnorm;
  • ein lineares Funktional, für das für alle gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional , so dass

  • und.
  • für alle gilt.

Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall[Bearbeiten]

Es seien nun

  • ein Untervektorraum eines -Vektorraumes ;
  • eine Halbnorm;
  • ein lineares Funktional, für das für alle gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional , so dass

  • und.
  • für alle gilt.

Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall - Realteilabschätzung[Bearbeiten]

Es seien nun

  • ein linearer Unterraum;
  • eine sublineare Abbildung;
  • ein lineares Funktional, für das für alle gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional , so dass

  • und

für alle gilt.

Beweisidee[Bearbeiten]

Der Beweis dieses grundlegenden Satzes ist nicht konstruktiv. Man betrachtet die Menge aller Fortsetzungen von auf Teilräume mit , für die für alle gilt. Dann zeigt man mit dem Lemma von Zorn, dass die Menge aller solchen Fortsetzungen maximale Elemente besitzt und dass ein solches maximales Element eine gesuchte Fortsetzung ist.

Satzgruppe von Hahn-Banach[Bearbeiten]

Wir werden die obige Aussage zunächst

Korollare 1: Trennungseigenschaft[Bearbeiten]

Häufig wird eine der folgenden Aussagen für den Satz von Hahn-Banach normierte Räume mit verwendet, die leicht aus obigem Satz hergeleitet werden können:

  • Für jedes existiert ein lineares Funktional mit Norm , für das gilt. Sind verschiedene Vektoren, so erhält man die oben erwähnte Eigenschaft der Punktetrennung, indem man dies auf dies für Trennung von und anwendet (für gilt die Aussage unmittelbar).
  • Ist allgemeiner ein Unterraum, und liegt nicht im Abschluss von , so gibt es ein lineares Funktional mit Norm , für das auf verschwindet (d.h. ) und gilt.

Korollare 2: Normierte Vektoräume[Bearbeiten]

  • Ist ein normierter Raum, ein Teilraum und ein stetiges lineares Funktional auf , so kann zu einem stetigen linearen Funktional derselben Norm auf ganz fortgesetzt werden. Anders ausgedrückt: die Einschränkung von Funktionalen ist eine surjektive Abbildung der topologischen Dualräume.
  • Ist ein normierter Raum, so ist ein Unterraum genau dann dicht in , falls aus und stets folgt.[6]

Korollare 3: Trennungsätze[Bearbeiten]

In einem normierter Vektorraum oder lokalkonvexer Raum mit einem Halbnormensystem über dem Körper oder ist es das Ziel, eine abgeschlossene und konvexe Menge von Elementen aus dem Komplement zu trennen. Dies wird durch Trennungssätze beschrieben Diese Folgerungen von Hahn-Banach geometrischer Art finden sich im Artikel Trennungssatz.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Helly, Über lineare Funktionaloperatoren, Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien, Band 121, 1912, S. 265–297
  2. Harry Hochstadt: Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem, The Mathematical Intelligencer, Band 2, 1980, Nr. 3, S. 123–125. Nach Hochstadt ist Helly's Beweis vollständig modern in der Form und identisch mit dem Standardbeweis.
  3. Helly benutzte den Satz von Hahn-Banach als Lemma für einen Beweis eines Satzes von Riesz, auf den sich Banach in der Referenz zu Helly bezog.
  4. Bohnenblust, Sobcyzk, Extensions of functionals on complete linear spaces, Bull. AMS, Band 44, 1938, S. 91–93. Sie verweisen darauf das ihr Beweis identisch mit dem von Francis J. Murray von 1936 ist (Murray, Linear transformations in , p >1, Trans. AMS, Band 39, 1936, S. 83–100), der sich wiederum auf Banach bezieht aber nicht von Satz von Hahn-Banach spricht.
  5. Dieudonné, Sur le Théoréme de Hahn-Banach, La Rev. Sci. 79, 1941, S. 642–643.
  6. Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer, 2000, Korollar III.1.9


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