Kurs:Funktionalanalysis/Topologie

Satz von Heine-Borel

Sei $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein metrischer Raum mit der Relativtopologie der Euklischen Topologie auf $X$ . Die folgenden sind äquivalent.

$X$ ist ein kompakter Raum.
$X$ ist beschränkter und abgeschlossener Raum. (Satz von Heine-Borel)
$X$ ist folgenkompakt; d.h. jede Folge in X hat eine konvergente Teilfolge.

Übung 1 - Einheitsintervall der rationalen Zahlen nicht kompakt

Beweisen Sie, dass $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ nicht kompakt in $\mathbb {R}$ ist, indem Sie eine offene Abdeckung angeben, für die keine endliche Teilüberdeckung existiert.

Übung 2 - Isometrische Abbildungen bijektiv

Sei $(X,d)$ ein kompakter metrischer Raum mit Metrik $d:X\times X\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ _und $f:X\to X$ sei eine Isometrie: d.h., $d(f(x),f(y))=d(x,y)$ gilt für alle $x,y\in X$ . Dann ist $f$ auch eine bijektive Abbildung.

Satz von Tychonoff

Jeder Produktraum einer nicht leeren Systems von kompakten Räume ist wiederum kompakt.

Übung 3

Beweisen Sie Tychonoffs Theorem für ein endliches Produkt ohne Berufung auf das Auswahlaxiom (oder eine seiner Äquivalenzen).

Definition - kompakter topologischer Raum

Sei $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ ein topologischer Raum. $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von $X$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Per Definition ist ein kompakter Raum ein Hausdorff-Raum.

Metrisierbarkeitssatz von Urysohn

Wenn $X$ ein kompakter Hausdorff-Raum ist, dann ist $X$ metrisierbar.

Beweis - Metrisierungssatz

Wir definieren nun eine Abbildung $d:X\in \mathbf {R}$ durch

d(x,y)=\sum _{j=1}^{\infty }2^{-j}|f_{j}(x)-f_{j}(y)|

Dann erhält man $d(x,y)=0$ mit $f_{j}(x)=f_{j}(y)$ für jedes $j\in \mathbb {N}$ , was wiederum $x=y$ durch die Hausdorff-Eigenschaft impliziert. Auch das Umgekehrte gilt. Da $d(x,y)=d(y,x)$ , ist $d$ dann eine Metrik. Sei $\tau _{d}$ die Topologie für $X$ , die durch $d$ induziert wird. Wir behaupten, dass $\tau _{d}$ mit der ursprünglich für $K$ gegebenen Topologie übereinstimmt. Wir betrachten den Sachverhalt unter der Verwendung des folgenden Hilfssatzes:

Lemma

Sei $X$ eine Menge und $\tau _{1},\tau _{2}$ jeweils Topologien auf $X$ (System von offenen Mengen). Wenn $\tau _{1}\subset \tau _{2}$ für die Topologien auf $X$ gilt und $\tau _{1}$ ein Hausdorff-Raum ist und $(X,\tau _{2})$ kompakt ist, dann ist $\tau _{1}=\tau _{2}$ .

Beweis

Hierbei genügt es zu zeigen, dass $\tau _{d}$ in der ursprünglichen Topologie enthalten ist. Aber für jedes feste $x\in X$ ist $d(\cdot ,x)$ ein Grenzwert einer Folge von stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge. Daher muss auch $d(\cdot ,x)$ stetig sein. Folglich ist eine $\tau _{d}$ -offene Kugel bzgl. der $d$ mit dem Zentrum bei $x$ auch offen in der ursprünglichen Topologie. Wenn jede offene Menge $U\in \tau _{1}$ auch offen in $\tau _{2}$ ist (also $U\in \tau _{2}$ ) müssen auch die Topologien $\tau _{1}$ und $\tau _{2}$ übereinstimmen.

Aufgaben zum Abzählbarkeitsaxiom

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(A1) Jeder Raum, der dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, ist ein Hausdorff-Raum
(A2) Jeder metrische Raum genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom.
(A3) Jeder separable metrische Raum genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.

Beweis - Abzählbarkeitsaxiom

Der Beweis gliedert sich in zwei Teilaussagen, die analog zur Bezeichnung (A1) bzw. (A2) numeriert werden. Sei $(X,\tau )$ ein topologischer Raum mit dem System $\tau$ von offenen Mengen

Gegenbeispiel A1 - Abzählbarkeitsaxiom

Da $(X,\tau )$ das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, besitzt der Raum eine höchstens abzählbare Basis der Topologie. Ferner seien $x_{1},x_{2}\in X$ mit $x_{1}\not =x_{2}$ beliebig gewählt.

Gegenbeispiel A1.1 - Abzählbase Umgebungsbasis

Damit besitzt $(X,\tau )$ eine höchstens abzählbare Menge

\{U_{k}\,:\,k\in \mathbb {N} \}=\{U_{1},U_{2},\ldots \ \}\subseteq \tau

von offenen Teilmengen, die zu jedem Punkt eine Umgebungsbasis enthält, d.h., zu jedem Punkt $x\in X$ und jeder Umgebung $V$ von $x$ gibt es einen Index $k\in \mathbb {N}$ , so dass $x\in U_{k}\subseteq V$ gilt.

Gegenbeispiel A1.2 - Konstruktion

Sei $X:=\{1,2\}$ Raum mit zwei Elementen. Auf jedem Raum $(X,\tau )$ kann man die chaotische Topologie mit $\tau :=\{X,\emptyset \}$ definieren. Diese erfüllt die Eigenschaften der Topologie (T1), (T2), (T3). Die Topologie ist endlich und damit abzählbar.

Gegenbeispiel A1.3 - Eigenschaften des Gegenbeispiels

Wenn die Topologie abzählbar ist, so ist auch jede Basis der Topologie abzählbar. $(X,\tau )$ erfüllt also das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Die einzigen Umgebung von $x_{1}=1$ ist $X$ . Ebenso besitzt auch $x_{2}=2$ nur eine Umgebung $X$ in $(X,\tau )$ . Damit ist $(X,\tau )$ kein Hausdorff-Raum und (A1) ist somit nicht korrekt.

Hinweis zu A2

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Betrachten einen beliebigen Punkt $x\in X$ und erzeugen Sie mit der Metrik $d$ eine abzählbare Umgebungsbasis mit $U_{(x,m)}:=\{y\in X\,:\,d(x,y)<\scriptstyle {\frac {1}{m}}\displaystyle \}$ .

Beweis zu A3

Wählen in dem separable metrischen Raum $(X,d)$ eine abzählbare dichte Teilmenge $D\subseteq X$ in $X$ .

Beweisschritt A3.1 - Wahl beliebiger Punkt

Man wählt einen beliebigen Punkt $x_{0}\in X$ und eine beliebige Umgebung $U$ von $x_{o}$ . Da die Topologie von der Metrik $d$ erzeugt wird, gibt es eine $\varepsilon$ -Kugel mit einem Radius $\varepsilon :={\frac {1}{N}}>0$ mit $N\in \mathbb {N}$ gibt, mit

U_{o}:=B_{\varepsilon }^{d}(x_{o})\subseteq U.

Beweisschritt A3.2 - Wahl einer Folge

Da $D$ dicht in $X$ liegt, gibt es eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $D$ mit $x_{n}\in D$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , die in $(X,d)$ gegen $x_{o}$ konvergiert.

Beweisschritt A3.3 - Betrachtung der Umgebung

Wenn die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $D$ gegen $x_{o}$ konvergiert, gibt es eine Indexschranke $n_{o}\in \mathbb {N}$ , ab der für alle $n\geq n_{o}$ alle Folgenglieder in der ${\frac {\varepsilon }{3}}$ -Kugel $U_{1}\subset U_{o}\subset U$ der gegebenen Umgebung $U$ liegen ( $x_{n}\in U_{1}\subseteq U_{0}\subseteq U_{1}$ für alle $n\geq n_{o}$ ). Der Wert ${\frac {\varepsilon }{3}}$ wird gewählt, damit man später mit der Dreiecksungleichung der Metrik in (A3.5) nach oben gegen $\varepsilon$ abschätzen kann.

Beweisschritt A3.4 - Abzählbare Umgebungsbasis

In metrischen Räumen gibt es um jeden Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis, die durch $\varepsilon$ -Kugeln mit einem Radius $\varepsilon =\scriptstyle {\frac {1}{m}}$ bzgl. der Metrik $d$ erzeugt wird (mit $U_{(x,m)}:=\{y\in X\,:\,d(x,y)<\scriptstyle {\frac {1}{m}}\displaystyle \}$ .

Beweisschritt A3.5 - Abzählbares Mengensystem aus offenen Mengen

Ferner ist $\{U_{(y,m)}\,:\,y\in D\wedge m\in \mathbb {N} \}$ ein abzählbares Mengensystem aus offenen Menger der Topologie von $(X,d)$ . Von diesem Mengensystem zeigt man, dass es eine Basis der Topologie bildet.

Beweisschritt A3.5 - Schnitt von offenen Mengen offen

Wegen $d(x_{o},x_{n})<{\frac {\varepsilon }{3}}$ und $x_{o}\in U_{(x_{n},\varepsilon /3)}$ für alle $n\geq n_{o}$ und $U_{(x_{n},\varepsilon /3)}$ offen, ist $U_{(x_{n},\varepsilon /3)}$ eine Umgebung von $x_{o}$ . Damit gilt auch für alle $x\in U_{(x_{n},\varepsilon /3)}$ , dass

d(x_{o},x)\leq d(x_{o},x_{n})+d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}<\varepsilon

erfüllt ist und $x\in U_{0}$ liegt (also $x_{o}\in U_{(x_{n},\varepsilon /3)}\subset U_{o}$ ).

Beweisschritt A3.6 - Offene Menge aus abzählbaren Mengensystem gefunden

Damit habt man ein Element des abzählbaren Mengensystem aus offenen Mengen $M$ gefunden, das die Bedingung $U_{(x_{n},\varepsilon /3)}\subset U_{o}\subseteq U$ sogar für alle $n\geq n_{o}$ für eine beliebige gewählte offene Menge $U$ und ein beliebiges $x_{o}\in X$ erfüllt.

Beweisschritt A3.7 - Abzählbare Umgebungsbasis

Da ${\frac {\varepsilon }{3}}={\frac {1}{3\cdot N}}$ und $m:=3\cdot N$ gilt, erhält man mit $\{U_{(y,m)}\,:\,y\in D\wedge m\in \mathbb {N} \}$ eine abzählbare Basis der Topologie von $(X,d)$ .

Bemerkung - Abzählbarkeitsaxiom

Insbesondere ist ein kompakter metrischer Raum separabel.

Kategoriensatz von Baire

Theorem (Kategoriensatz von Baire). Ein vollständiger metrischer Raum ist keine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen mit dichtem Komplement.
Beweis. Siehe Satz von Baire. $\square$

Wir weisen darauf hin, dass das Theorem auch für einen lokal kompakten Raum gilt, obwohl diese Version in der Fortsetzung nicht benötigt wird.

Übung: Benutzen Sie das Theorem, um zu beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Wählen Sie als Metrik die Betragsfunktion und stellen Sie dazu die Menge $\mathbb {R}$ als Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen mit dichtem Komplement dar.

Satz von Arzelà-Ascoli

Theorem (Ascoli). Seien $X$ ein kompakter Raum sein und $\mathbb {K}$ der Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Teilmenge $F$ der stetigen von $C(X,\mathbb {K} )$ von $X$ nach $\mathbb {K}$ ist dann und nur dann kompakt, wenn sie begrenzt, geschlossen und gleichgradig stetig ist.
Beweis. Siehe Arzel-Ascoli Theorem - engl. oder Satz von Arzela-Ascoli. $\square$

Siehe auch