Kurs:Funktionalanalysis/Topologie

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Heine-Borel[Bearbeiten]

Theorem . Sei ein metrischer Raum. Die folgenden sind äquivalent.

  • ist ein kompakter Raum.
  • ist beschränkter und abgeschlossener Raum. (Satz von Heine-Borel)
  • ist folgenkompakt; d.h. jede Folge in X hat eine konvergente Teilfolge.


Übung: Beweisen Sie, dass nicht kompakt in ist, indem Sie eine offene Abdeckung angeben, für die keine endliche Teilüberdeckung existiert.

Übung: Sei ein kompakter metrischer Raum und sei eine Isometrie: d.h., gilt für alle . Dann ist auch eine bijektive Abbildung.

Satz von Tychonoff[Bearbeiten]

Theorem  (Tychonoff). Jeder Produktraum einer nicht leeren Systems von kompakten Räume ist wiederum kompakt.


Übung.Beweisen Sie Tychonoffs Theorem für ein endliches Produkt ohne Berufung auf das Auswahlaxiom (oder eine seiner Äquivalenzen).

Per Definition ist ein kompakter Raum Hausdorff.

Metrisierbarkeitssatz von Urysohn[Bearbeiten]

Theorem  (Metrisierungssatz von Urysohn). Wenn ein kompakter Hausdorff-Raum ist, dann ist metrisierbar.
Beweis. Wir definieren nun eine Abbildung durch

Dann erhält man mit für jedes , was wiederum durch die Hausdorfimpliziert. Auch das Umgekehrte gilt. Da , ist dann eine Metrik. Sei die Topologie für , die durch induziert wird. Wir behaupten, dass mit der ursprünglich für gegebenen Topologie übereinstimmt. Wir betrachten den Sachverhalt unter der Verwendung des folgenden Hilfssatzes:

Lemma. Sei eine Menge und jeweils Topologien auf (System von offenen Mengen). Wenn für die Topologien auf gilt und ein Hausdorff-Raum ist und kompakt ist, dann ist .

Hierbei genügt es zu zeigen, dass in der ursprünglichen Topologie enthalten ist. Aber für jedes feste ist ein Grenzwert einer Folge von stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge. Daher muss auch stetig sein. Folglich ist eine -offene Kugel bzgl. der mit dem Zentrum bei auch offen in der ursprünglichen Topologie. Wenn jede offene Menge auch offen in ist (also ) müssen auch die Topologien und übereinstimmen.


Abzählbarkeitsaxiom[Bearbeiten]

Satz . (i) Jeder Raum, der dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, ist separierbar. (ii) Jeder separierbare metrische Raum genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
Beweis. -.


Insbesondere ist ein kompakter metrischer Raum separierbar.

Kategoriensatz von Baire[Bearbeiten]

Theorem  (Kategoriensatz von Baire). Ein vollständiger metrischer Raum ist keine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen mit dichtem Komplement.
Beweis. Siehe Satz von Baire.


Wir weisen darauf hin, dass das Theorem auch für einen lokal kompakten Raum gilt, obwohl diese Version in der Fortsetzung nicht benötigt wird.

Übung: Benutzen Sie das Theorem, um zu beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Wählen Sie als Metrik die Betragsfunktion und stellen Sie dazu die Menge als Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen mit dichtem Komplement dar.

Satz von Arzelà-Ascoli[Bearbeiten]

Theorem  (Ascoli). Seien ein kompakter Raum sein und der Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Teilmenge der stetigen von von nach ist dann und nur dann kompakt, wenn sie begrenzt, geschlossen und gleichgradig stetig ist.
Beweis. Siehe Arzel-Ascoli Theorem - engl. oder Satz von Arzela-Ascoli.


Siehe auch[Bearbeiten]