Hausdorff-Raum

Definition - Hausdorff-Raum

Sei $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ ein topologischer Raum mit ${\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)$ als System von offenen Mengen. $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ heißt Hausdorff-Raum bzw. $T_{2}$ -Raum, wenn es für zwei beliebige Punkte $x,y\in X$ mit $x<\not =y$ offene Mengen $U,V\in {\mathcal {T}}_{X}$ gibt, mit:

x\in U\,\wedge \,y\in V\,\wedge \,U\cap V=\emptyset

Graphische Darstellung der Hausdorff-Eigenschaft

Aufgaben

Definieren Sie unterschiedliche Topologie auf der Menge der stetigen Funktionen ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ von dem Intervall $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ , die die Hausdorff-Trennungseigenschaften besitzen.
Sei ${\mathcal {I}}([a,b],\mathbb {R} )$ die Menge der integrablen Funktion von dem Intervall $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ mit Halbnorm

\|f\|_{1}:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.

Zeigen Sie, dass

{\mathcal {I}}([a,b],\mathbb {R} )

mit der durch

\|\cdot \|_{1}

definierten Halbnorm, die Hausdorff-Trennungseigenschaften nicht besitzt.

Siehe auch