Kurs:Funktionentheorie/Übungen/2. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 17. November 2017, 10:15

Aufgabe (Differenzierbarkeit, 5 Punkte)

Untersuche folgende Funktionen auf $\mathbf {C}$ auf partielle und komplexe Differenzierbarkeit! Gib jeweils die Stellen an, an denen Differenzierbarkeit vorliegt!

1. $f_{1}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$, $z\mapsto z^{2}$
2. $f_{2}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$, $z\mapsto z{\bar {z}}$
3. $f_{3}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$, $z\mapsto \mathop {\mathrm {Re} } z$
4. $f_{4}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$, $z\mapsto {\begin{cases}0&z=0\\{\frac {|z|^{2}}{z^{2}+{\bar {z}}^{2}}}&z\neq 0\end{cases}}$

Aufgabe (Wirtinger, 5 Punkte)

Bestimme für die Funktionen aus der ersten Aufgabe die partiellen Ableitungen nach $z$ und ${\bar {z}}$ für die Stellen, an denen sie Existieren.

Aufgabe (Rechnen mit Polynomen, 5 Punkte)

Lösung
Wir betrachten ein Polynom $p\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$, gegeben durch

$p(z)=\sum _{0\leq \kappa \leq k \atop 0\leq \lambda \leq \ell }a_{\kappa \lambda }x^{\kappa }y^{\lambda }$

mit $x=\mathop {\rm {Re}} z$ und $y=\mathop {\rm {Im}} z$. Zeige, dass sich $p$ auch als Polynom in $z$ und ${\bar {z}}$ darstellen lässt, indem Du die Koeffizienten in

$p(z)=\sum _{0\leq \mu \leq m \atop 0\leq \nu \leq n}b_{\mu \nu }z^{\mu }{\bar {z}}^{\nu }$

angibst.

Aufgabe (Kettenregel, 5 Punkte)

Lösung
Seien $f,g\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ stetig differenzierbar. Beweise, dass

${\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)={\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\cdot {\frac {\partial g}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\cdot {\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}$

und

${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)={\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\cdot {\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}$

gelten.