Kurs:Funktionentheorie/Übungen/2. Zettel/Aufgabe 3

Aufgabe (Rechnen mit Polynomen, 5 Punkte)

Wir betrachten ein Polynom $p\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$, gegeben durch

$p(z)=\sum _{0\leq \kappa \leq k \atop 0\leq \lambda \leq \ell }a_{\kappa \lambda }x^{\kappa }y^{\lambda }$

mit $x=\mathop {\rm {Re}} z$ und $y=\mathop {\rm {Im}} z$. Zeige, dass sich $p$ auch als Polynom in $z$ und ${\bar {z}}$ darstellen lässt, indem Du die Koeffizienten in

$p(z)=\sum _{0\leq \mu \leq m \atop 0\leq \nu \leq n}b_{\mu \nu }z^{\mu }{\bar {z}}^{\nu }$

angibst.

Lösung

Für $z=x+iy$ ist ${\bar {z}}=x-iy$. Lösen wir das Gleichungssystem

${\begin{array}{rl}z&=x+iy\\{\bar {z}}&=x-iy\end{array}}$

nach $x,y$ auf, erhalten wir $x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})$ und $y={\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})$. Dies setzen wir in $p$ ein, mit dem Binomialtheorem folgt

${\begin{array}{rl}p(z)&=\displaystyle \sum _{\kappa ,\lambda }a_{\kappa \lambda }x^{\kappa }y^{\lambda }\\&=\displaystyle \sum _{\kappa ,\lambda }a_{\kappa \lambda }{\frac {1}{2^{\kappa }}}(z+{\bar {z}})^{\kappa }{\frac {1}{(2i)^{\lambda }}}(z-{\bar {z}})^{\lambda }\\&=\displaystyle \sum _{\kappa ,\lambda }{\frac {a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }i^{\lambda }}}\sum _{\alpha =0}^{\kappa }{\binom {\kappa }{\alpha }}z^{\alpha }{\bar {z}}^{\kappa -\alpha }\cdot \sum _{\beta =0}^{\lambda }(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }}z^{\beta }{\bar {z}}^{\lambda -\beta }\\&=\displaystyle \sum _{\kappa ,\lambda }\sum _{\alpha =0}^{\kappa }\sum _{\beta =0}^{\lambda }{\frac {a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }i^{\lambda }}}{\binom {\kappa }{\alpha }}(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }}z^{\alpha +\beta }{\bar {z}}^{\kappa +\lambda -(\alpha +\beta )}\end{array}}$

Nun führen wir eine Indextransformation durch, wir ersetzen die Summation über $\alpha$ durch eine Summation über $\mu :=\alpha +\beta$. Wegen $0\leq \alpha \leq \kappa ,0\leq \beta \leq \lambda$ läuft $\mu$ von $0$ bis $\kappa +\lambda$. Für festes $\mu$ müssen wir für $\beta$ die Werte zwischen $0$ und $\lambda$ betrachten, für die $0\leq \mu -\beta \leq \kappa$, also $\mu -\kappa \leq \beta \leq \mu$ ist. Daher läuft $\beta$ von $\max(0,\mu -\kappa )$ bis $\min(\mu ,\lambda )$. Wir erhalten

${\begin{array}{rl}p(z)&=\displaystyle \sum _{\kappa ,\lambda }\sum _{\alpha =0}^{\kappa }\sum _{\beta =0}^{\lambda }{\frac {a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }i^{\lambda }}}{\binom {\kappa }{\alpha }}(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }}z^{\alpha +\beta }{\bar {z}}^{\kappa +\lambda -(\alpha +\beta )}\\&=\displaystyle \sum _{\kappa ,\lambda }\sum _{\mu =0}^{\kappa +\lambda }\sum _{\beta =\max(0,\mu -\kappa )}^{\min(\mu ,\lambda )}{\frac {a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }i^{\lambda }}}{\binom {\kappa }{\mu -\beta }}(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }}z^{\mu }{\bar {z}}^{\kappa +\lambda -\mu }\end{array}}$

Nun tauschen wir die Summationsreihenfolge, es ist $0\leq \mu \leq k+\ell$ und für festes $\mu$ muss stets $\kappa +\lambda \geq \mu$ gelten, d. h. $\lambda \geq \mu -\kappa$, wir erhalten

${\begin{array}{rl}p(z)&=\displaystyle \sum _{\kappa ,\lambda }\sum _{\mu =0}^{\kappa +\lambda }\sum _{\beta =\max(0,\mu -\kappa )}^{\min(\mu ,\lambda )}{\frac {a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }i^{\lambda }}}{\binom {\kappa }{\mu -\beta }}(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }}z^{\mu }{\bar {z}}^{\kappa +\lambda -\mu }\\&=\displaystyle \sum _{\mu =0}^{k+\ell }\sum _{\kappa =0}^{\mu }\sum _{\lambda =\mu -\kappa }^{\ell }\sum _{\beta =\max(0,\mu -\kappa )}^{\min(\mu ,\lambda )}{\frac {a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }i^{\lambda }}}{\binom {\kappa }{\mu -\beta }}(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }}z^{\mu }{\bar {z}}^{\kappa +\lambda -\mu }\end{array}}$

Nun noch eine letzte Indextransformation. Wir ersetzen $\kappa$ durch $\nu :=\kappa +\lambda -\mu$. $\nu$ läuft von $0$ bis $k+\ell$. Für festes $\nu$ ist $\kappa =\nu +\mu -\lambda$. Es sind also nur die Werte von $\lambda$ zulässig, für die $0\leq \nu +\mu -\lambda \leq \mu$ ist, d. h. $\nu \leq \lambda \leq \nu +\mu$ gilt. Wir erhalten

${\begin{array}{rl}p(z)&=\displaystyle \sum _{\mu =0}^{k+\ell }\sum _{\kappa =0}^{\mu }\sum _{\lambda =\mu -\kappa }^{\ell }\sum _{\beta =\max(0,\mu -\kappa )}^{\min(\mu ,\lambda )}{\frac {a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }i^{\lambda }}}{\binom {\kappa }{\mu -\beta }}(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }}z^{\mu }{\bar {z}}^{\kappa +\lambda -\mu }\\&=\displaystyle \sum _{\mu =0}^{k+\ell }\sum _{\nu =0}^{k+\ell }\left(\sum _{\lambda =\nu }^{\min(\ell ,\nu +\mu )}\sum _{\beta =\lambda -\nu }^{\min(\mu ,\lambda )}{\frac {a_{\mu +\nu -\lambda ,\lambda }}{2^{\mu +\nu }i^{\lambda }}}{\binom {\mu +\nu -\lambda }{\mu -\beta }}(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }}\right)z^{\mu }{\bar {z}}^{\nu }\end{array}}$

Also ist

$b_{\mu \nu }=\sum _{\lambda =\nu }^{\min(\ell ,\nu +\mu )}\sum _{\beta =\lambda -\nu }^{\min(\mu ,\lambda )}{\frac {a_{\mu +\nu -\lambda ,\lambda }}{2^{\mu +\nu }i^{\lambda }}}{\binom {\mu +\nu -\lambda }{\mu -\beta }}(-1)^{\lambda -\beta }{\binom {\lambda }{\beta }},\qquad 0\leq \mu ,\nu \leq k+\ell$