Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen der Einheitskreisscheibe

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Das Ziel dieses Artikels ist es, alle biholomorphen Abbildungen zu charaktisieren. Wir wollen beweisen:

Satz[Bearbeiten]

Sei ein Automorphismus. Dann gibt es ein und ein mit , so dass

Der Einheitskreis
und sein Bild unter für und

Umgekehrt sind alle solchen Abbildungen Automorphismen von .

Bevor wir den Satz beweisen, wollen wir noch eine wichtige Folgerung notieren:

Korollar[Bearbeiten]

Sei . Dann gibt es genau einen Automorphismus von mit und .

Beweis des Korollars[Bearbeiten]

  • Zunächst zur Eindeutigkeit: Sind zwei solche Automorphismen, so betrachte . Dann ist . Nach dem Satz gibt es und so dass
    Es ist
    also . Weiter ist
    und damit , also ist , d. h. .
  • Zur Existenz: Definiere durch
    wobei so gewählt sei, dass gilt. Dann ist ein Automorphismus mit . Setze . Dann ist und .

Beweis[Bearbeiten]

Als erstes zeigen wir, dass alle diese Abbildungen Automorphismen sind. Sei also , und . Dann ist holomorph und wegen

und gilt . Um zu zeigen, dass ein Automorphismus ist, zeigen wir, dass umkehrbar ist und die Umkehrabbildung vom selben Typ ist, wir haben

Also ist vom selben Typ, es folgt die Behauptung.

Zum Beweis der Tatsache, dass jeder Automorphismus von der behaupteten Form ist, betrachten wir zunächst den Spezialfall . Dann ist nach dem Lemma von Schwarz zunächst für alle , wenden wir das Lemma von Schwarz auf an, erhalten wir analog , also insgesamt für alle . Das Lemma von Schwarz liefert nun, dass eine Drehung ist, also für ein .

Sei nun , definiere , nach obigem ist ein Automorphismus. Dann ist ein Automorphismus von mit , also für ein . Es folgt nach obiger Rechnung:

mit also die Behauptung.