Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)

Einleitung

Wir untersuchen hier Folgen gegen $0\in \mathbb {C}$ und das Verhalten von $f(z)=e^{\frac {1}{z}}$ für diese Folgen, die gegen die wesentliche Singularität 0 konvergieren. Dieses konstruktive Vorgehen zeigt, dass es für jeden Bildpunkt in $w\in \mathbb {C}$ und in jeder punktierten $\varepsilon$ -Umgebung um 0 eine Folge $\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ existiert, deren Bildfolge $\left(f(z^{(n)})\right)_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $w\in \mathbb {C}$ konvergiert.

Laurant-Reihe für exp(1/z)

Zunächst notieren wir die Laurent-Reihe für $f(z)=e^{\frac {1}{z}}$ mit $z=z_{1}+iz_{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ über die Definition der Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt $z_{o}=0$ .

f(z)=e^{\frac {1}{z}}=e^{z^{-1}}=\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{-n}}{n!}}=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{0}{\frac {z^{n}}{(-n)!}}=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{0}{\frac {1}{(-n)!}}\cdot z^{n}

.

Berechnen Sie nun die Laurent-Entwicklung $f(z)=e^{\frac {1}{z}}$ mit einem Entwicklungspunkt $z_{o}\not =0$ !

Bildpunkte von punktierten $\varepsilon$ -Umgebungen

Als Spezialfall des Satzes von Casorati-Weierstrass zeigen wir konstruktiv für $f(x):=e^{\frac {1}{z}}$ :

\forall _{w\in \mathbb {C} }\exists {\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }}

mit

\displaystyle \lim _{n\to \infty }z^{(n)}=0

\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(z^{(n)})=w=w_{1}+iw_{2}

Beweis (konstruktiv)

Für die Bildpunkte $w=w_{1}+iw_{2}\in \mathbb {C}$ wird eine Fallunterscheidung

Fall 1: $w\not =0$
Fall 2: $w=0$

vorgenommen.

Fall 1:

Sei $w=w_{1}+iw_{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ beliebig gewählt. Sei $w\not =0$ . Definieren Sie eine Folge $\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ in $z^{(n)}=z_{1}^{(n)}+iz_{2}^{(n)}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ mit

\displaystyle \lim _{n\to \infty }z^{(n)}=0

\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(z^{(n)})=w=w_{1}+iw_{2}

Folgendefinition (Fall 1)

Wir verwenden die Polarkoordinatendarstellung von $w=w_{1}+iw_{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ mit

w=w_{1}+iw_{2}=|w|\cdot (\cos(\alpha )+i\cdot \sin(\alpha ))=|w|\cdot e^{i\alpha }

z^{(n)}=z_{1}^{(n)}+iz_{2}^{(n)}={\frac {1}{log(|w|)+i\cdot (\alpha +2\pi n)}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}

Wir zeigen die obige Konvergenzeigenschaft:

\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(z^{(n)}\right)=\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{log(|w|)+i\cdot (\alpha +2\pi n)}}\right)=\displaystyle \lim _{n\to \infty }e^{log(|w|)+i\cdot (\alpha +2\pi n)}

=\displaystyle \lim _{n\to \infty }|w|\cdot e^{i\alpha +2\pi in}=|w|\cdot e^{i\alpha }=w=w_{1}+iw_{2}

Bemerkung zur Folgendefinition (Fall 1)

Die Folgenglieder $z^{(n)}={\frac {1}{log(|w|)+i\cdot (\alpha +2\pi n)}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ werden Quotient definiert, um die durch doppelte Reziprokanwendung den Exponent von $e$ im Nenner von $z^{(n)}$ angeben zu können. In die Gleichungskette oben wird die Periodizität von $e^{it}$ mit $2\pi$ ausgenutzt. Der Term $2\pi n$ im Nenner ändern nicht den Funktionswert von $f(z^{(n)})$ . Dieser Term ist aber notwendig, damit $(z^{(n)})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen 0 konvergiert.

Fall 2:

Sei $w=0$ . Definieren Sie eine Folge $\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ in $z^{(n)}=z_{1}^{(n)}+iz_{2}^{(n)}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ mit