Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)

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Einleitung[Bearbeiten]

Wir untersuchen hier Folgen gegen und das Verhalten von für diese Folgen, die gegen die wesentliche Singularität 0 konvergieren. Dieses konstruktive Vorgehen zeigt, dass es für jeden Bildpunkt in und in jeder punktierten -Umgebung um 0 eine Folge existiert, deren Bildfolge gegen konvergiert.

Laurant-Reihe für exp(1/z)[Bearbeiten]

Zunächst notieren wir die Laurent-Reihe für mit über die Definition der Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt .

.

Berechnen Sie nun die Laurent-Entwicklung mit einem Entwicklungspunkt !

Bildpunkte von punktierten -Umgebungen[Bearbeiten]

Als Spezialfall des Satzes von Casorati-Weierstrass zeigen wir konstruktiv für :

mit

Beweis (konstruktiv)[Bearbeiten]

Für die Bildpunkte wird eine Fallunterscheidung

  • Fall 1:
  • Fall 2:

vorgenommen.

Fall 1:[Bearbeiten]

Sei beliebig gewählt. Sei . Definieren Sie eine Folge in mit

Folgendefinition (Fall 1)[Bearbeiten]

Wir verwenden die Polarkoordinatendarstellung von mit

Wir zeigen die obige Konvergenzeigenschaft:

Fall 2:[Bearbeiten]

Sei . Definieren Sie eine Folge in mit


Folgendefinition (Fall 2)[Bearbeiten]

Wir verwenden die Eigenschaft der Exponentialfunktional aus mit mit

Wir zeigen nun die obigen Konvergenzeigenschaften!

Seiteninformation[Bearbeiten]

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