Kurs:Funktionentheorie/Harmonische Funktion

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Definition[Bearbeiten]

Sei offen, eine Funktion heißt harmonisch, wenn sie zweimal differenzierbar ist und

gilt.

Der Realteil einer holomorphen Funktion ist harmonisch, wie aus den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen folgt, interessanterweise gilt auch die Umkehrung, d. h. jede harmonische Funktion ist Realteil einer holomorphen Funktion.

Zusammenhang mit holomorphen Funktionen[Bearbeiten]

Sei einfach zusammenhängend. Für sind äquivalent:

  1. Es gibt ein , so dass holomorph ist.

Beweis[Bearbeiten]

2. 1. Nach den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gilt:

1. 2. Betrachte die Funktion . Nach den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen ist holomorph. Da einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Stammfunktion von , wir dürfen (durch Addition einer Konstante) annehmen, dass für ein gilt. Schreibe . Es ist

also ist konstant. Wegen ist und leistet das Gewünschte.