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Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

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Einleitung

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In der folgenden Lerneinheit wird zunächst eine Identifikation der komplexen Zahlen mit dem zweidimensionalen -Vektorraum vorgenommen und die klassischen reellen partiellen Ableitungen und die Jacobi-Matrix betrachtet und eine Beziehung zwischen komplexer Differenzierbarkeit und partiellen Ableitung von Komponentenfunktionen einer Abbildung von nach betrachtet. Danach werden die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen mit den Vorüberlegungen bewiesen.

Identifikation der komplexen Zahlen IR2

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Sei . Da die Abbildung bijektiv ist, kann man mit der Umkehrabbildung

Vektoren aus dem eineindeutig wieder eine komplexen Zahl zuordnen.

Realteil- und Imaginärteilfunktion

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Zerlegt man nun eine Funktion mit in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen , mit und , so hat die totale Ableitung der Funktion als Darstellungsmatrix die Jacobi-Matrix

Aufgabe

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Geben Sie für die komplexwertige Funktion die Abbildungen mit konkret an.

Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt

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Dabei liefert die Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt die totale Ableitung in dem Punkt

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

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Eine Funktion ist in genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für mit , mit die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

erfüllt sind.

Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen

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In dem folgenden Erläuterungen wird die Definition der Differenzierbarkeit in auf Eigenschaften der partiellen Ableitungen in der Jacobimatrix zurückgeführt.

Teil 1

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Wenn der folgende Limes für für mit offen existiert

,

bedeutet , dass für beliebige Folgen Definitionsbereich mit auch

erfüllt ist.

Teil 2

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Man betrachtet nun von diesen beliebigen Folgen nur die Folgen für die beiden folgenden Grenzwertprozessen mit :

,
,

Teil 3: Grenzwertprozess Realteil

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Durch Einsetzen der Komponentenfunktionen für den Realteil und Imaginärteil ergibt sich mit

Teil 4: Grenzwertprozess Imaginärteil

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Bei der Anwendung auf die zweite Gleichung erhält man mit

,

Teil 5: Realteil- und Imaginärteilvergleich

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Durch Gleichsetzung der Terme von (3) und (4) und Vergleich von Realteil und Imaginärteil erhält man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

  • Realteil:
  • Imaginärteil:

Teil 6: Partielle Ableitung in Richtung Realteil

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Die partiellen Ableitungen in der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in dargestellt werden mit , , und .

,
,
,

Teil 7: Partielle Ableitung in Richtung Imaginärteil

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Die partiellen Ableitungen in der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in dargestellt werden mit , , und .

,
,
.

Teil 8: Cauchy-Riemann-DGL mit Funktionen in

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Die partiellen Ableitungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in dargestellt werden mit , , :

  • Realteil:
  • Imaginärteil:


Theorem - Cauchy Riemann-DGL

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Sei eine offene Teilmenge. Die Funktion komplex differenzierbar in einem Punkt . Dann existieren die partiellen Ableitungen von und in dem und die folgenden Cauchy-Riemannschen-Diffentialgleichungen gelten:

Bemerkung CR-DGL

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In diesem Fall kann die Ableitung von in dem Punkt auf zwei Arten durch die Komponentenfunktionen und dargestellt werden. Im Beweis der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung wird der Real- und Imaginärteilvergleich verwendet, um die obigen beiden Gleichungen zu erhalten.

Beweis

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In dem Beweis werden zwei Richtungsableitungen betrachtet:

  • (DG1) die Ableitung in Richtung des Realteiles und
  • (DG2) die Ableitung in Richtung des Imaginärteiles.

Da diese bei komplexer Differenzierbarkeit überstimmen, erhält man über Gleichsetzung und Vergleich von Real- und Imaginärteil die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

Beweisschritt 1 - Ableitung in Richtung des Realteiles

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In dem ersten Beweisteil lässt man in Richtung des Realteiles gegen 0 konvergieren. Dazu wählt man mit . Die Zerlegung der Funktion in die Realteilfunktion und liefert dann (DG1).

Beweisschritt 2 - Berechnung der Ableitung - Realteil

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Beweisschritt 3 - Ableitung in Richtung des Imaginärteiles

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Analog kann man die partielle Ableitung für den Imaginärteil betrachten mit . Dann erhält man die Gleichung (DG2)

Beweisschritt 4 - Berechnung der Ableitung - Imaginärteil

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Beweisschritt 5 - Gleichsetzung der Ableitungen

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Über die Gleichsetzung der beiden Ableitungen kann auch den Realteil und Imaginärteil der beiden Ableitungen (DG1) und (DG2) vergleichen:

Beweisschritt 6 - Realteil- und Imaginärteilvergleich

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Zwei komplexe Zahlen stimmen genau dann überein, wenn der Real- und Imaginärteile beider komplexen Zahlen übereinstimmen. Damit erhält man die Cauchy-Riemann-Diffentialgleichungen. Die beiden Darstellungsformel folgt aus der obigen Zeile und den Cauchy-Riemann-Gleichungen.

Siehe auch

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Seiteninformation

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