Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

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Identifikation der komplexen Zahlen IR2[Bearbeiten]

Sei . Da die Abbildung bijektiv ist, kann man mit der Umkehrabbildung

Vektoren aus dem eineindeutig wieder eine komplexen Zahl zuordnen.

Realteil- und Imaginärteilfunktion[Bearbeiten]

Zerlegt man nun eine Funktion mit in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen , mit und , so hat die totale Ableitung der Funktion als Darstellungsmatrix die Jacobi-Matrix

Aufgabe[Bearbeiten]

Geben Sie für die komplexwertige Funktion die Abbildungen mit konkret an.

Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt[Bearbeiten]

Dabei liefert die Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt die totale Ableitung in dem Punkt

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Eine Funktion ist in genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für mit , mit die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

erfüllt sind.

Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen[Bearbeiten]

In dem folgenden Erläuterungen wird die Definition der Differenzierbarkeit in auf Eigenschaften der partiellen Ableitungen in der Jacobimatrix zurückgeführt.

Teil 1[Bearbeiten]

Wenn der folgende Limes für für mit offen existiert

,

bedeutet , dass für beliebige Folgen Definitionsbereich mit auch

erfüllt ist.

Teil 2[Bearbeiten]

Man betrachtet nun von diesen beliebigen Folgen nur die Folgen für die beiden folgenden Grenzwertprozessen mit :

,
,

Teil 3: Grenzwertprozess Realteil[Bearbeiten]

Durch Einsetzen der Komponentenfunktionen für den Realteil und Imaginärteil ergibt sich mit

Teil 4: Grenzwertprozess Imaginärteil[Bearbeiten]

Bei der Anwendung auf die zweite Gleichung erhält man mit

,

Teil 5: Realteil- und Imaginärteilvergleich[Bearbeiten]

Durch Gleichsetzung der Terme von (3) und (4) und Vergleich von Realteil und Imaginärteil erhält man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

  • Realteil:
  • Imaginärteil:

Teil 6: Partielle Ableitung in Richtung Realteil[Bearbeiten]

Die partiellen Ableitungen in der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in dargestellt werden mit , , und .

,
,
,

Teil 7: Partielle Ableitung in Richtung Imaginärteil[Bearbeiten]

Die partiellen Ableitungen in der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in dargestellt werden mit , , und .

,
,
.

Teil 8: Cauchy-Riemann-DGL mit Funktionen in [Bearbeiten]

Die partiellen Ableitungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in dargestellt werden mit , , :

  • Realteil:
  • Imaginärteil:

Siehe auch[Bearbeiten]

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