Kurs:Funktionentheorie/Lernvoraussetzungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

Die folgenden Inhalte sind Grundlagen der Vorlesung und sollten beherrscht werden. Die Aufgaben dienen zur Überprüfung, ob Sie diese Inhalte derzeit beherrschen. Mit den Links können Sie Ihr Wissen wieder auffrischen.


Grundlagen der Komplexen Zahlen[Bearbeiten]

(Verteifung folgt in der Vorlesung)

1) Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Rechenregeln für komplexe Zahlen gelten, indem Sie Rechenregeln aus den reellen Zahlen verwenden. mit seien dabei komplexe Zahlen und es gelte .

Addition
Subtraktion
Multiplikation
Kehrwert
Sei .

Quadratische Gleichung
Begründen Sie, weshalb die Lösung für Gleichungen der Form mit auch im Komplexen lautet.

2) Berechnen Sie die folgenden Aufgaben

  1. Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein.

Konvergenz[Bearbeiten]

  1. Definieren Sie die Konvergenz für Folgen, Funktionen und Reihen.
  2. Sei . Geben Sie zu ein an, sodass und gilt. Interpretieren Sie die Aussage.
  3. Begründen Sie anhand der Definition jeweils die (Nicht-)Existenz des Grenzwertes. Geben Sie ggf. den Grenzwert und ein zu passendes an. Sei .
  4. Zeigen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen

Stetigkeit von Funktionen[Bearbeiten]

  1. Geben Sie die Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle an.
  2. Zeigen Sie mithilfe der --Definition, dass die Funktion bei stetig ist.

Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

  1. Geben Sie die Definition für die Differenzierbarkeit einer Funktion an.
  2. Bestimmen sie anhand der Definition die erste Ableitung der Funktion ( beliebig).

Integrierbarkeit[Bearbeiten]

  1. Geben Sie die Definition für die Integrierbarkeit einer Funktion an.
  2. Bestimmen Sie das unbestimmte Integral .

Potenzreihen[Bearbeiten]

  1. Geben Sie die Definition der Potenzreihe an.
  2. Nennen Sie die Potenzreihenentwicklung von und .
  3. Entwickeln Sie die Funktion . Für welche gilt diese?

Taylorreihen[Bearbeiten]

  1. Definieren Sie das Taylorpolynom der Ordnung zu im Entwicklungszentrum .
  2. Entwickeln Sie die Taylorreihe zu mit dem Entwicklungszentrum und der Ordnung .