Die folgenden Inhalte sind Grundlagen der Vorlesung und sollten beherrscht werden.
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(Verteifung folgt in der Vorlesung)
1) Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Rechenregeln für komplexe Zahlen gelten, indem Sie Rechenregeln aus den reellen Zahlen verwenden.
z
j
=
x
j
+
i
y
j
{\textstyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}}
mit
j
=
1
,
2
{\textstyle j=1,2}
seien dabei komplexe Zahlen und es gelte
i
2
=
−
1
{\textstyle i^{2}=-1}
.
Addition
z
1
+
z
2
=
(
x
1
+
x
2
)
+
i
(
y
1
+
y
2
)
{\textstyle z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})}
Subtraktion
z
1
−
z
2
=
(
x
1
−
x
2
)
+
i
(
y
1
−
y
2
)
{\textstyle z_{1}-z_{2}=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})}
Multiplikation
z
1
⋅
z
2
=
(
x
1
x
2
−
y
1
y
2
)
+
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
{\textstyle z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}
Kehrwert
Sei
z
≠
0
{\textstyle z\neq 0}
.
1
z
=
x
x
2
+
y
2
−
i
y
x
2
+
y
2
{\textstyle {\frac {1}{z}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}}
Quadratische Gleichung
Begründen Sie, weshalb die Lösung für Gleichungen der Form
x
2
+
a
x
+
b
=
0
{\textstyle x^{2}+ax+b=0}
mit
a
,
b
∈
C
{\textstyle a,b\in \mathbb {C} }
auch im Komplexen
x
1
,
2
=
−
a
2
±
(
a
2
)
2
−
b
{\textstyle x_{1,2}=-{\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {a}{2}})^{2}-b}}}
lautet.
2) Berechnen Sie die folgenden Aufgaben
x
2
=
−
7
{\textstyle x^{2}=-7}
c
2
+
15
=
5
{\textstyle c^{2}+15=5}
(
1
+
i
)
4
{\textstyle (1+i)^{4}}
(
−
1
−
i
3
2
)
3
{\textstyle ({\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}})^{3}}
(
−
1
+
i
)
⋅
(
3
−
2
i
¯
)
+
(
−
1
+
i
)
{\textstyle (-1+i)\cdot ({\overline {3-2i}})+(-1+i)}
|
(
4
−
3
i
)
⋅
(
1
−
2
i
)
|
{\textstyle |(4-3i)\cdot (1-2i)|}
|
3
⋅
(
cos
60
∘
−
i
⋅
sin
60
∘
)
|
{\textstyle |3\cdot (\cos 60\mathrm {^{\circ }} -i\cdot \sin 60\mathrm {^{\circ }} )|}
Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein.
z
=
2
,
5
⋅
e
i
⋅
3
4
π
{\textstyle z=2,5\cdot e^{i\cdot {\frac {3}{4}}\pi }}
y
=
6
i
i
−
1
{\textstyle y={\frac {6i}{i-1}}}
Definieren Sie die Konvergenz für Folgen, Funktionen und Reihen.
Sei
n
∈
N
{\textstyle n\in \mathbb {N} }
. Geben Sie zu
ϵ
=
1
10
5
{\textstyle \epsilon ={\frac {1}{10^{5}}}}
ein
n
0
{\textstyle n_{0}}
an, sodass
|
a
n
|
=
|
n
2
n
+
1
−
1
2
|
<
ϵ
∀
n
>
n
0
{\textstyle |a_{n}|=|{\frac {n}{2n+1}}-{\frac {1}{2}}|<\epsilon \;\;\;\forall n>n_{0}}
und
|
b
n
|
=
|
3
n
+
1
n
+
1
−
3
|
<
ϵ
∀
n
>
n
0
{\textstyle |b_{n}|=|{\frac {3n+1}{n+1}}-3|<\epsilon \;\;\;\forall n>n_{0}}
gilt. Interpretieren Sie die Aussage.
Begründen Sie anhand der Definition jeweils die (Nicht-)Existenz des Grenzwertes. Geben Sie ggf. den Grenzwert und ein zu
ϵ
>
0
{\textstyle \epsilon >0}
passendes
δ
>
0
{\textstyle \delta >0}
an. Sei
x
∈
R
{\textstyle x\in \mathbb {R} }
.
f
(
x
)
=
2
x
−
1
x
0
=
3
{\textstyle f(x)=2x-1\;\;\;x_{0}=3}
g
(
x
)
=
c
o
s
(
1
x
)
x
0
=
0
,
x
→
x
0
+
{\textstyle g(x)=cos({\frac {1}{x}})\;\;\;x_{0}=0,x\to x_{0}^{+}}
Zeigen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen
∑
n
=
1
∞
n
2
+
3
n
⋅
e
−
n
2
n
(
2
+
c
o
s
(
n
)
)
{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}+3n\cdot e^{-n}}{2^{n}(2+cos(n))}}}
∑
n
=
1
∞
2
+
c
o
s
(
n
)
n
{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2+cos(n)}{n}}}
Geben Sie die Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle
x
0
{\textstyle x_{0}}
an.
Zeigen Sie mithilfe der
ϵ
{\textstyle \epsilon }
-
δ
{\textstyle \delta }
-Definition, dass die Funktion
f
(
x
)
=
2
x
+
1
{\textstyle f(x)=2x+1}
bei
a
=
2
{\textstyle a=2}
stetig ist.
Geben Sie die Definition für die Differenzierbarkeit einer Funktion an.
Bestimmen sie anhand der Definition die erste Ableitung der Funktion
f
(
x
)
=
x
2
+
3
x
−
2
{\textstyle f(x)=x^{2}+3x-2}
(
x
0
{\textstyle x_{0}}
beliebig).
Geben Sie die Definition für die Integrierbarkeit einer Funktion an.
Bestimmen Sie das unbestimmte Integral
∫
s
i
n
(
x
3
)
⋅
3
x
2
d
x
{\textstyle \int sin(x^{3})\cdot 3x^{2}dx}
.
Geben Sie die Definition der Potenzreihe an.
Nennen Sie die Potenzreihenentwicklung von
s
i
n
(
x
)
{\textstyle sin(x)}
und
c
o
s
(
x
)
{\textstyle cos(x)}
.
Entwickeln Sie die Funktion
f
(
x
)
=
l
n
(
1
+
x
)
{\textstyle f(x)=ln(1+x)}
. Für welche
x
{\textstyle x}
gilt diese?
Definieren Sie das Taylorpolynom der Ordnung
m
{\textstyle m}
zu
f
{\textstyle f}
im Entwicklungszentrum
a
{\textstyle a}
.
Entwickeln Sie die Taylorreihe zu
f
(
x
)
=
x
3
+
7
x
2
−
18
x
+
5
{\textstyle f(x)=x^{3}+7x^{2}-18x+5}
mit dem Entwicklungszentrum
a
=
1
{\textstyle a=1}
und der Ordnung
m
=
3
{\textstyle m=3}
.