Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln

Rechenoperationen

Im Folgenden werden die Rechenoperationen

behandelt.

Potenzen

Sei $z\in \mathbb {C}$ und man betrachtet die die Potenzen $z^{n}\in \mathbb {C}$ . Dabei hilft u.a. die Polarkoordinatendarstellung für die geometrische Interpretation der Operation.

Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten

Für natürliche Zahlen $n$ berechnet sich die $n$ -te Potenz in der polaren Form $z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$ zu

z^{n}=r^{n}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\varphi }=r^{n}\cdot (\cos n\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi )

(siehe auch Satz von de Moivre)

Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung

Für die algebraische Form $z=a+b\,\mathrm {i}$ mit Hilfe des binomischen Satzes zu

z^{n}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}.

Wurzeln

Da Potenzen $z^{n}\in \mathbb {C}$ in der Polarkoordinatendarstellung die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz $|z^{n}|=|z|^{n}$ muss man mit der Periodizität von $2\pi$ und $z=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$ ergeben bei der $n$ -ten Wurzel $n$ verschieden Zahlen $z_{k}\in \mathbb {C}$ mit $z_{k}^{n}=z$ . Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden:

z_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot \exp \left({\frac {\mathrm {i} \varphi }{n}}+k\cdot {\frac {2\pi \mathrm {i} }{n}}\right)\quad (k=0,1,\dots ,n-1)

Bemerkung zur Wurzeln

Der Term $k\cdot {\frac {2\pi \mathrm {i} }{n}}$ liefert beim Potenzieren mit Exponent $n$ ein Vielfaches von $2\pi$ . Der Term ${\frac {\mathrm {i} \varphi }{n}}$ erzeugt beim Potenzieren mit $n$ genau den gesuchten Winkel von $\varphi$ von $z$ in der Polarkoordinatendarstellung.

- siehe auch Wurzeln aus komplexen Zahlen

Logarithmen

Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl $w$ heißt Logarithmus der komplexen Zahl $z$ , wenn

\mathrm {e} ^{w}=z.

Periodizität der e-Funktion

Mit $w$ ist auch jede Zahl $w+2m\pi \mathrm {i}$ mit beliebigem $m\in \mathbb {Z}$ ein Logarithmus von $z$ . Man arbeitet daher mit Zweigen des Logaritmus, d. h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.

Hauptzweig des Logarithmus

Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl

z=re^{\mathrm {i} \phi }

mit $r>0$ und $-\pi <\phi \leq \pi$ ist

\ln z=\ln r+\mathrm {i} \phi .

Bemerkung - Hauptzweig

Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl $z$ ist

\ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \,\operatorname {Arg} (z),

wobei $\operatorname {Arg} (z)$ der Hauptzweig des Arguments von $z$ ist.

Die endlichen Untergruppen

Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen Einheitengruppe $\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ sind Einheitswurzeln. Unter allen Ordnungen von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa $n\in \mathbb {N}$ . Da $\mathbb {C}$ kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe zyklisch ist und genau aus den Elementen