Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln

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Rechenoperationen 3. Stufe[Bearbeiten]

Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren, Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren.

Potenzen[Bearbeiten]

Natürliche Exponenten[Bearbeiten]

Für natürliche Zahlen berechnet sich die -te Potenz in der polaren Form zu

(siehe den Satz von de Moivre) oder für die algebraische Form mit Hilfe des binomischen Satzes zu

Wurzeln[Bearbeiten]

Wurzeln aus komplexen Zahlen

Logarithmen[Bearbeiten]

Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl heißt Logarithmus der komplexen Zahl , wenn

Mit ist auch jede Zahl mit beliebigem ein Logarithmus von . Man arbeitet daher mit Hauptwerten, d. h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.

Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl

mit und ist

Anders formuliert: Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl ist

wobei der Hauptwert des Arguments von ist.

Die endlichen Untergruppen[Bearbeiten]

Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen Einheitengruppe sind Einheitswurzeln. Unter allen Ordnungen von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa . Da kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe zyklisch ist und genau aus den Elementen

besteht. Alle Elemente liegen auf dem Einheitskreis.