Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe

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Definition[Bearbeiten]

Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

mit

  • einer beliebigen Folge reeller oder komplexer Zahlen
  • dem Entwicklungspunkt der Potenzreihe.

Bezug zur reellen Analysis[Bearbeiten]

Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie und erlauben oft eine sinnvolle Fortsetzung reeller Funktionen in die komplexe Zahlenebene. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert. Diese Frage führt zum Begriff des Konvergenzradius.

Konvergenzradius[Bearbeiten]

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt ist die größte Zahl definiert, für welche die Potenzreihe für alle mit konvergiert. Die offene Kugel mit Radius um nennt man Konvergenzkreis. Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für , so ist der Konvergenzradius 0, die Reihe wird dann manchmal auch nirgends konvergent genannt.

Berechnung Konvergenzradius - Cauchy-Hadamard[Bearbeiten]

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

In diesem Zusammenhang definiert man und

Berechnung Konvergenzradius - nichtverschwindenden Koeffizienten[Bearbeiten]

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nichtverschwindenden Koeffizienten auch einfacher berechnet werden. Es gilt nämlich

sofern dieser Grenzwert existiert.

Beispiele[Bearbeiten]

Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe auffassen, bei der fast alle Koeffizienten gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind Taylorreihe und Maclaurinsche Reihe. Funktionen, die sich durch eine Potenzreihe darstellen lassen, werden auch analytische Funktionen genannt. Hier noch beispielhaft die Potenzreihendarstellung einiger bekannter Funktionen:

Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Exponentialfunktion :

für alle , d.h., der Konvergenzradius ist unendlich.

Sinusfunktion/Kosinus[Bearbeiten]

Sinus:

Kosinus:

Konvergenzradius für sin, cos, exp[Bearbeiten]

Der Konvergenzradius ist sowohl für den Sinus, Kosinus als auch für die Exponentialfunktion unendlich. Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der eulerschen Formel aus der Exponentialfunktion.

Logarithmus[Bearbeiten]

Logarithmusfunktion:

für , d. h.: Der Konvergenzradius ist 1, für ist die Reihe konvergent, für divergent.

Wurzel[Bearbeiten]

Wurzelfunktion:

für , d.h., der Konvergenzradius in ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für als auch für .

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Potenzreihen ist in der Funktionentheorie von Bedeutung, weil holomorphe Funktionen sich immer lokal in Potenzreihen entwickeln lassen. In dem Kurs werden folgende Themen bearbeitet.

Stetigkeit - Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzkreises normal konvergent. Daraus folgt direkt, dass jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist. Des Weiteren folgt daraus, dass auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Dies rechtfertigt das gliedweise Differenzieren und Integrieren einer Potenzreihe und zeigt, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind.

Absolute Konvergenz[Bearbeiten]

Innerhalb des Konvergenzkreises liegt absolute Konvergenz vor. Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Fällen erlaubt aber der abelsche Grenzwertsatz, eine Aussage zu treffen.

Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung[Bearbeiten]

Die Potenzreihendarstellung einer Funktion um einen Entwicklungspunkt ist eindeutig bestimmt (Identitätssatz für Potenzreihen). Insbesondere ist für einen gegebenen Entwicklungspunkt die Taylorentwicklung die einzig mögliche Potenzreihenentwicklung.

Operationen mit Potenzreihen[Bearbeiten]

Potenzreihen kann man als Vektoren in einem Vektorraum auffassen.

Addition und skalare Multiplikation[Bearbeiten]

Sind und durch zwei Potenzreihen

mit dem Konvergenzradius dargestellt und ist eine feste komplexe Zahl, dann sind und in Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens entwickelbar und es gilt:

Multiplikation[Bearbeiten]

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius ist eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens ist. Da im Inneren des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vorliegt, gilt nach der Cauchy-Produktformel:

Dabei wird die durch definierte Folge als Faltung oder Konvolution der beiden Folgen und bezeichnet.

Verkettung[Bearbeiten]

Es gebe zu und zwei Potenzreihen

mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft

.

Dann ist die Verkettung beider Funktionen lokal wieder eine analytische Funktion und somit um in eine Potenzreihe entwickelbar:

Taylorreihe[Bearbeiten]

Nach dem Satz von Taylor gilt:

Mit der Formel von Faà di Bruno kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben, da:

Man erhält mit Multiindex-Schreibweise:

Dabei ist der Multinomialkoeffizient zu und ist die Menge aller Partitionen von (siehe Partitionsfunktion).

Differentiation und Integration[Bearbeiten]

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation:

Hierbei ist beliebig oft differenzierbar und es gilt:

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe:

In beiden Fällen ist der Konvergenzradius gleich dem der ursprünglichen Reihe.

Darstellung von Funktionen als Potenzreihen[Bearbeiten]

Oft ist man zu einer gegebenen Funktion an einer Potenzreihendarstellung interessiert – insbesondere, um die Frage zu beantworten, ob die Funktion analytisch ist. Es gibt einige Strategien, um eine Potenzreihendarstellung zu bestimmen, die allgemeinste mittels der Taylorreihe. Hier tritt aber oft das Problem auf, dass man eine geschlossene Darstellung für die Ableitungen benötigt, die oft schwer zu bestimmen ist. Für gebrochen rationale Funktionen gibt es jedoch einige leichtere Strategien. Als Beispiel soll die Funktion

betrachtet werden.

Mittels der geometrischen Reihe[Bearbeiten]

Durch Faktorisieren des Nenners und anschließender Anwendung der Formel für Summe einer geometrischen Reihe erhält man eine Darstellung der Funktion als Produkt von unendlichen Reihen:

Produkt der geometrischen Reihen[Bearbeiten]

Beide Reihen sind Potenzreihen um den Entwicklungspunkt und können daher in der oben genannten Weise multipliziert werden. Dasselbe Ergebnis liefert auch die Cauchy-Produktformel

Koeffizienten der einzelnen Reihen[Bearbeiten]

Es gilt

und

Cauchy-Produktformel[Bearbeiten]

Daraus folgt durch Anwendung der Formel für die Partialsumme einer geometrischen Reihe

als geschlossene Darstellung für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe. Damit ist die Potenzreihendarstellung der Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gegeben durch

.

Anwendung geometrischer Reihen oder Koeffizientenvergleich[Bearbeiten]

Alternativ zu geometrische Reihe bietet sich als Alternative der Koeffizientenvergleich an: Man nimmt an, dass eine Potenzreihendarstellung für existiert:

Dabei hat die Funktion die unbekannte Koeffizientenfolge existiert. Nach dem Durchmultiplizieren des Nenners und einer Indexverschiebung ergibt sich die Identität:

Dabei wird die Potenzreihe mit der Potenzreihe verglichen. Beide Potenzreihen haben den gleichen Entwicklungspunkt . Daher müssen auch die Koeffizienten beider Potenzreihen übereinstimmen. Also als Kooeffizient von muss gelten , für als Kooeffizient von gilt , ...

Rekursionsformel für Koeffizienten[Bearbeiten]

Da aber zwei Potenzreihen genau dann gleich sind, wenn ihre Koeffizientenfolgen übereinstimmen, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich

und die Rekursionsgleichung

,

aus der mittels vollständiger Induktion die obige geschlossene Darstellung folgt.

Vorteile Koeffizientenvergleich[Bearbeiten]

Das Vorgehen mittels Koeffizientenvergleiches hat auch den Vorteil, dass andere Entwicklungspunkte als möglich sind. Betrachte als Beispiel den Entwicklungspunkt . Zuerst muss die gebrochen rationale Funktion als Polynom in dargestellt werden:

Andere Entwicklungspunkte[Bearbeiten]

Analog zu oben nimmt man nun an, dass eine formale Potenzreihe um den Entwicklungspunkt existiert mit unbekannter Koeffizientenfolge und multipliziert mit dem Nenner durch:

Wieder ergibt sich mittels Koeffizientenvergleiches

und als Rekursionsgleichung für die Koeffizienten:

Partialbruchzerlegung[Bearbeiten]

Wendet man auf die gegebene Funktion zuerst Polynomdivision und dann die Partialbruchzerlegung an, so erhält man die Darstellung

.

Durch Einsetzen der geometrischen Reihe ergibt sich:

Die ersten drei Folgenglieder der Koeffizientenfolge sind alle null und damit stimmt die hier gegebene Darstellung mit der oberen überein.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Potenzreihen lassen sich nicht nur für definieren, sondern sind auch verallgemeinerbar. So sind z. B. das Matrixexponential und der Matrixlogarithmus Verallgemeinerungen von Potenzreihen auf dem Raum der quadratischen Matrizen.

Kommen in einer Reihe auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten vor, so spricht man von einer Laurent-Reihe. Erlaubt man den Exponenten, auch gebrochene Werte anzunehmen, handelt es sich um eine Puiseux-Reihe.

Formale Potenzreihen werden beispielsweise als erzeugende Funktionen in der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitstheorie (etwa als wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen) verwendet. In der Algebra werden formale Potenzreihen über allgemeinen kommutativen Ringen untersucht.

Literatur[Bearbeiten]

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