Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl

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Definition[Bearbeiten]

Es sei ein Zyklus in , und ein Punkt, den nicht trifft. Dann heißt

die Umlaufzahl von um .

Motivation[Bearbeiten]

Betrachten wir zunächst den Fall, dass nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist in homolog zu einem -fach (für ein ) durchlaufenen Kreis um mit . Nun ist

zählt dieses Integral, wie oft die Kurve den Punkt umläuft.

Aufgabe[Bearbeiten]

Sei der geschlossene Integrationweg wie folgt definiert:

  • Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für an.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für an.
  • Geben Sie die Umlaufzahl für an.

Additivität des Integrals[Bearbeiten]

Für einen Zyklus mit geschlossenen ist wegen der Additivität des Integrals gerade

also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt umlaufen wird.

Länge des Zyklus[Bearbeiten]

Für einen Zyklus mit geschlossenen wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert.

Siehe auch[Bearbeiten]