Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl

Definition

Es sei $\mathrm{\Gamma }$ ein Zyklus in $ℂ$, und $z\in ℂ$ ein Punkt, den $\mathrm{\Gamma }$ nicht trifft. Dann heißt

$n(\mathrm{\Gamma },z):=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{1}{w-z}dw$

die Umlaufzahl von $\mathrm{\Gamma }$ um $z$.

Motivation

Betrachten wir zunächst den Fall, dass $\mathrm{\Gamma }=\gamma$ nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist $\gamma$ in $ℂ\setminus \{z\}$ homolog zu einem $n$-fach (für ein $n\in \mathbb{Z}$) durchlaufenen Kreis $\partial D_r(z)$ um $z$ mit $r>0$. Nun ist

${\int }_{\gamma }\frac{1}{w-z}dw={\int }_{n\cdot \partial B(z)}\frac{1}{w-z}dw=n{\int }_{\partial B(z)}\frac{1}{w-z}dw=2\pi i\cdot n$

zählt dieses Integral, wie oft die Kurve $\gamma$ den Punkt $z$ umläuft.

Aufgabe für Studierende

Sei der geschlossene Integrationweg $\gamma :[-\pi ,+\pi ]\to ℂ$ wie folgt definiert:

$\gamma (t):=(2+cos(t))\cdot e^{2it}$

• Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges.
• Geben Sie die Umlaufzahl für $n(\gamma ,0)$ an.
• Geben Sie die Umlaufzahl für $n(\gamma ,1)$ an, wenn diese berechenbar ist.

Falls die Umlaufzahl nicht berechenbar ist, geben Sie den Grund dafür an.

Veranschaulichung zu Aufgabe

Welche Umlaufzahl hat der eingezeichnet Punkt $z$ in der folgenden Animation?

GIF animation cos induced radius of a circular path - created with OpenSource Geogebra and exported as GIF animation

Additivität des Integrals

Für einen Zyklus $\mathrm{\Gamma }=\sum _{i=1}^k{n}_i\cdot {\gamma }_i$ mit geschlossenen ${\gamma }_i$ ist wegen der Additivität des Integrals gerade

$n(\mathrm{\Gamma },z)=\sum _{i=1}^k{n}_i\cdot n({\gamma }_i,z)$

also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt $z$ umlaufen wird.

Länge des Zyklus

Für einen Zyklus $\mathrm{\Gamma }=\sum _{i=1}^k{n}_i{\gamma }_i$ mit geschlossenen ${\gamma }_i$ wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert.

$ℒ(\mathrm{\Gamma }):=\sum _{i=1}^k{n}_i\cdot ℒ({\gamma }_i).$

Siehe auch

• Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben
• CIF - Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen
• CIS - Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen
• nullhomolog

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