Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben

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Die Cauchy-Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der Residuensatz.

Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Ist offen, holomorph, ein Punkt in und eine beschränkte Kreisscheibe in , dann gilt für alle (also für alle mit :

Dabei ist die positiv orientierte Kurve für über den Rand der Kreisscheibe .

Beweis 1[Bearbeiten]

Für festes sei die Funktion definiert durch für und für . ist stetig auf und holomorph auf . Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun

.

Beweis 2[Bearbeiten]

Die Funktion , ist holomorph mit der Ableitung , welche verschwindet, da der Integrand eine Stammfunktion (nämlich ) hat. Also ist konstant, und wegen ist .

Folgerungen CIS[Bearbeiten]

Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIS) ergeben sich folgende Korrolare:

Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe[Bearbeiten]

Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei . Test

Ableitungen - Cauchy-Integralformel - CIF[Bearbeiten]

Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für und :

Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen[Bearbeiten]

Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar für .

Mit der Integralformel für folgt sofort, dass die Koeffizienten genau die Taylor-Koeffizienten sind.

Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe[Bearbeiten]

Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn für gilt:

Der Satz von Liouville (jede auf ganz holomorphe beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. Damit kann man dann leicht den Fundamentalsatz der Algebra (jedes Polynom zerfällt in in Linearfaktoren) beweisen.

Beweis 1[Bearbeiten]

Die Cauchy-Integralformel wird partiell differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf:

Beweis 2a: Cauchy-Kern[Bearbeiten]

Entwicklung von in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt (Cauchy-Kern)

Beweis 2: Cauchy-Kern - Taylorreihe[Bearbeiten]

Beweis 2b: Cauchy-Kern[Bearbeiten]

Da für die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Entwicklungskoeffizienten sind:

Beweis 3: Abschätzung der Koeffizienten[Bearbeiten]

Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein mit für . Dann gilt für :

Beweis 4: Satz von Liouville[Bearbeiten]

Ist auf ganz holomorph und beschränkt, also für alle , dann gilt wie vorher für alle :

Da beliebig war, gilt dann für alle . Somit folgt aus der Beschränktheit von :

Das heißt jede beschränkte auf ganz holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville).

Beispiel[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:

Cauchy-Integralformel für Zyklen[Bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:

Ist ein Gebiet, holomorph und ein nullhomologer Zyklus in , dann gilt für alle , die nicht auf liegen, folgende Integralformel:

Dabei bezeichnet die Windungszahl oder Umlaufzahl von um .

Cauchysche Integralformel für Polyzylinder[Bearbeiten]

Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum verallgemeinert. Seien Kreisscheiben in , dann ist ein Polyzylinder in . Sei eine holomorphe Funktion und Dann ist die cauchysche Integralformel durch

erklärt.

Einschränkungen mehrdimensionaler Raum[Bearbeiten]

Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von Induktion aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der Multiindexschreibweise kann die Formel wieder zu

,

mit verkürzt werden.

Polyzylinder[Bearbeiten]

Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei und der Radius des Polyzylinders ist.[1] Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die Bochner-Martinelli-Formel.


Vorgehen im mehrdimensionalen Fall[Bearbeiten]

Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel

für die Ableitungen der holomorphen Funktion als auch die cauchysche Ungleichung

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.

Literatur[Bearbeiten]

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).

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