Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben

Einführung

Die Cauchy-Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion $f$ im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der Residuensatz.

Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz

Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von $f:G\to \mathbb {C}$ mit dem Lemma von Goursat in die in die Integraldarstellung von $f(z)$ eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein Holomorphiekriterium darstellt:

{\begin{array}{cccl}\mathbf {(CIF)} &f(z)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(\xi )\,d\xi \\\mathbf {(CIS)} &0&=&\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz\\\end{array}}

Schritte

Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium.

der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für $f(z)$ .
die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist.
Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern).

Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale

Mit der Cauchy-Integralformel kann man beliebige Punkte $z$ im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe ${\overline {D_{r}(z_{o})}}\subset G$ durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable $\zeta \in \partial U$ im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu $z$ als Argument von $f(z)$ ist, wobei $z$ im Inneren der Kreisscheibe liegt, also $z\in D_{r}(z_{o})$ .

Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben

Ist $G\subseteq \mathbb {C}$ offen, $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph, $z_{o}\in G$ ein Punkt in $z_{o}\in G$ und $U:=D_{r}(z_{o})\subset G$ eine beschränkte Kreisscheibe mit ${\overline {U}}\subset G$ , dann gilt für alle $z\in D_{r}(z_{o})$ (also für alle $z$ mit $|z-z_{o}|<r$ :

f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\displaystyle \oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta

Dabei ist $\partial U$ die positiv orientierte Kurve $t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm {i} t}$ für $t\in [0,2\pi ]$ über den Rand der Kreisscheibe $U$ .

Bemerkung - Rand der Kreisscheibe

Die Bedingung ${\overline {U}}\subset G$ bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in $U$ liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in $G$ liegt und die Funktion $f$ auf dem Rand definiert ist.

Beweis 1 - Definition der Funktion g

Für festes $z\in U$ sei die Funktion $g\colon U\to \mathbb {C}$ definiert durch:

{\begin{array}{rrcl}g:&U&\rightarrow &\mathbb {C} \\&\xi &\mapsto &g(\xi )={\begin{cases}{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}&,&\xi \not =z\\f'(z)&,&\xi =z\\\end{cases}}\end{array}}

$g$ ist stetig auf $U$ und holomorph auf $U\setminus \{z\}$ . Ziel ist die Anwendung des Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes.

Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität

Mit der Definition $g$ und $w\not =z$ kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen:

{\begin{array}{rcl}0&=&\displaystyle \oint _{\partial U}g(\zeta )d\zeta =\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )-f(z)}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&=&\displaystyle \oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta -\oint _{\partial U}{\frac {f(z)}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&=&\displaystyle \oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta -f(z)\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z}}\end{array}}

.

Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms

Die Funktion $h\colon U\to \mathbb {C}$ , $\textstyle w\mapsto \oint _{\partial U}{\tfrac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -w}}$ ist holomorph mit der Ableitung $\textstyle h'(w)=\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\left(\zeta -w\right)^{2}}}$ .

Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion

Der Integrand ${\widehat {h}}:\zeta \mapsto {\tfrac {1}{(\zeta -w)^{2}}}$ hat als Stammfunktion ${\widehat {H}}:\zeta \mapsto -{\tfrac {1}{\zeta -w}}$ eine Stammfunktion. Daher ergibt sich ein Wegintegral über Weg $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ über ${\widehat {H}}(\gamma (b))-{\widehat {H}}(\gamma (a))$ und das Wegintegral über geschlossene Wege ist 0, da $\gamma (a)=\gamma (b)$ gilt.

Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung

Die Funktion $h'$ hat die Stammfunktion $h$ und für das geschlossene Wegintegral gilt $\textstyle h'(w)=\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\left(\zeta -w\right)^{2}}}=0$ . Damit $h'$ die Nullfunktion und damit muss $h$ konstant sein.

Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen

Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für $h(z_{o})$ wie folgt berechnen:

h(z_{o})=\oint _{\partial U}{\tfrac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z_{o}}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {i\cdot r\cdot e^{it}}{r\cdot e^{it}}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }i\,\mathrm {d} t=2\pi i

Beweis 7 - Konstanz von h

Wegen der Konstanz der Funktion $h$ muss $h$ auf dem gesamten Definitionsbereich $z\in D_{r}(z_{o})$ konstant sein:

h(z)=\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\left(\zeta -z\right)}}=2\pi i

.

\Box

Folgerungen CIF

Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare:

(CIF1) Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe,
(CIF2) Integraldarstellung von Ableitungen,
(CIF3) Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe,
(CIF4) Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen,

CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe

Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei $\zeta (t)=z_{o}+re^{\mathrm {i} t}\,,\ \mathrm {d} \zeta =\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\mathrm {d} t$ . Test

{\begin{aligned}f|_{U}(z_{o})&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z_{o}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})}{re^{\mathrm {i} t}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})\,\mathrm {d} t\end{aligned}}

CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel

Jede holomorphe Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ auf einem Gebiet ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für $|z-z_{o}|<r$ , $U:=D_{r}(z_{o})$ , ${\overline {U}}\subset G$ und $n\in \mathbb {N} _{0}$ :

f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta .

Beweis - CIF2

In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen.

{\begin{aligned}f^{(n)}|_{U}(z)&={\frac {\partial ^{n}f}{\partial z^{n}}}|_{U}(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\cdot {\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(\zeta )\underbrace {{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}{\frac {1}{\zeta -z}}} _{n!/(\zeta -z)^{1+n}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{1+n}}}\mathrm {d} \zeta \end{aligned}}

CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe

Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn $|f(z)|\leq M$ für $|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)$ gilt:

|a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}

Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten

Für die Koeffizienten $a_{n}\in \mathbb {C}$ gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein $M>0$ mit $|f(z)|\leq M$ für $|z-z_{o}|=r$ . Dann gilt für $n\in \mathbb {N} _{0}$ :

{\begin{aligned}|a_{n}|&=\left|{\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\right|\\&\leq {\frac {1}{2\pi r^{n}}}\underbrace {\int _{0}^{2\pi }\underbrace {|f(z_{o}+re^{\mathrm {i} t})|} _{\leq M}\,\mathrm {d} t} _{\leq M\cdot 2\pi }\leq {\frac {M}{r^{n}}}\end{aligned}}

CIF4 - Satz von Liouville

Der Satz von Liouville (jede auf ganz $\mathbb {C}$ holomorphe beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen.

Beweis CIF4 - Satz von Liouville

Ist $f$ auf ganz $\mathbb {C}$ holomorph und beschränkt, also $|f(z)|=|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}|\leq M$ für alle $z\in \mathbb {C}$ , dann gilt wie vorher für alle $r>0$ :

|a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}

Da $r$ beliebig war, gilt dann $a_{n}=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Somit folgt aus der Beschränktheit von $f$ :

f(z)=a_{0}

Das heißt jede beschränkte auf ganz $\mathbb {C}$ holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville).

CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra

Mit Satz von Liouville kann man wiederum leicht den Fundamentalsatz der Algebra beweisen, und damit jedes Polynom $p$ vom Grad $n$ in in $\mathbb {C}$ in $n$ Linearfaktoren mit $z_{k}\in \mathbb {C}$ zerfällt.

p(z)=\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k})

Siehe Beweis Fundamentalsatz der Algebra.

Beispiel

Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:

\oint _{\partial U_{2}(0)}{\frac {e^{2\zeta }}{\left(\zeta +1\right)^{4}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {2\pi \mathrm {i} }{3!}}\cdot {\frac {\partial ^{3}}{\partial z^{3}}}e^{2z}|_{z=-1}={\frac {8\pi \mathrm {i} }{3e^{2}}}

Cauchysche Integralformel für Polyzylinder

Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum $\mathbb {C} ^{n}$ verallgemeinert. Seien $U_{1},\ldots ,U_{n}$ Kreisscheiben in $\mathbb {C}$ , dann ist $\textstyle U:=\prod _{i=1}^{n}U_{i}$ ein Polyzylinder in $\mathbb {C} ^{n}$ . Sei $f\colon U\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und $\xi \in U.$ Dann ist die cauchysche Integralformel durch

f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})\cdots (\xi _{n}-z_{n})}}\mathrm {d} \xi _{1}\cdots \mathrm {d} \xi _{n}

erklärt.

Einschränkungen mehrdimensionaler Raum

Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von Induktion aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der Multiindexschreibweise kann die Formel wieder zu

f(z)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)}}\,\mathrm {d} \xi

,

mit $\partial U=\partial U_{1}\times \cdots \times \partial U_{n}$ verkürzt werden.

Polyzylinder

Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei $\textstyle M:=\max _{\xi \in U}|f(\xi )|$ und $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ der Radius des Polyzylinders $\textstyle U:=\prod _{i=1}^{n}U_{i}$ ist.^[1] Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die Bochner-Martinelli-Formel.

Vorgehen im mehrdimensionalen Fall

Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel

D^{k}f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {k!}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}

für die Ableitungen der holomorphen Funktion $f$ als auch die cauchysche Ungleichung

\left|D^{k}f(z)\right|\leq {\frac {M\cdot k!}{r^{k}}},

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.

Literatur

Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).

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[1] Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.

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