Zum Inhalt springen

Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 1/latex

Aus Wikiversity

\setcounter{section}{1}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die Menge
\mathdisp {{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid 3 \leq \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \leq 5 , \, 2 \leq \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \leq 3 \right\} }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }

b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { 3+4 { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A := \{ z \in {\mathbb C} : \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \geq ( \operatorname{Re} \, { \left( z \right) })^2 +1 \} \subset {\mathbb C}$. Zeige die folgende Aussage: Sind $z_1, z_2 \in A$ und ist $\lambda \in [0,1]$, so ist auch $\lambda z_1 + (1- \lambda) z_2 \in A$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $n$ komplexe Zahlen
\mathl{z_1,z_2 , \ldots , z_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 1 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \betrag { z_i-w } }
{ \geq} { n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

Der Graph einer komplexen Funktion \maabbdisp {f} { D } { {\mathbb C} } {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ist schwer zu skizzieren, da er ja eine Teilmenge von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} \times {\mathbb C} }
{ \cong }{ \R^4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Als Ersatz skizziert man dann manchmal den Graphen der zugehörigen Betragsfunktion \maabbeledisp {} {D} { \R } {z} { \betrag { f(z) } } {.} Eine andere Möglichkeit ist, den Realteil und/oder den Imaginarteil der Funktion zu skizzieren.




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der folgenden Funktionen. \aufzaehlungdrei{ \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { \R } {z} { \betrag { z } } {.} }{ \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { \R } {z} { \betrag { z^2 } } {.} }{\maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { \R } {z} { \betrag { { \frac{ 1 }{ z } } } } {.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} eine Funktion, die $\R$ nach $\R$ abbildet. Die Funktion sei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {als komplexe Funktion} {} {} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} Zeige, dass dann auch die reelle Funktion $f {{|}}_{\R}$ \zusatzklammer {als Funktion von $\R$ nach $\R$} {} {} differenzierbar ist \zusatzklammer {und zwar mit der gleichen Ableitung} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { \betrag { z } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die \definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{} für die \definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und seien \maabbdisp {f_i} {D} { {\mathbb K} , \, i = 1 , \ldots , n } {,} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 { \cdots } f_n)' }
{ =} { \sum_{i = 1}^n f_1 { \cdots } f_{i-1} f_{i}' f_{i+1} { \cdots } f_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P\in {\mathbb C}[X]$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{,} $a \in {\mathbb C}$ und $n \in \N$. Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a)^n$ ist, wenn $a$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} sämtlicher \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $P,P^\prime ,P^{\prime \prime} , \ldots , P^{(n-1)}$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} \maabb {f} {U } { {\mathbb C} } {} eine nullstellenfreie \definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabb {g} {U} { {\mathbb C} } {} eine komplex differenzierbare Funktion mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { (g(z))^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(z) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ k } } \cdot { \frac{ 1 }{ (g (z))^{k-1} } } \cdot f'(z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \sum_{i = 0}^n a_iz^i }
{ \in }{ {\mathbb C}[X] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nichtkonstantes \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \defeq }{ {\max { \left( \betrag { a_i } , i = 0 , \ldots , n-1 \right) } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \defeq }{ {\max { \left( \frac{na+ \betrag { a_0 } +1}{ \betrag { a_n } } , 1 \right) } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { P(z) } }
{ \geq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ \geq} { r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} \mathkor {} {f \circ g} {und} {g \circ f} {} der beiden \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
\mathdisp {f(x)= { \frac{ 2x^2-4x+3 }{ x-2 } } \text{ und } g(x)= { \frac{ x+1 }{ x^2-4 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} wieder rational ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} einer \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} wieder eine rationale Funktion ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {F} {D} {{\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine \zusatzklammer {höhere} {} {} \definitionsverweis {Ableitung}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{(n)} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ X }{ (X-1)(X-{ \mathrm i} ) (X+2 { \mathrm i} ) } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ (X+1)(X-{ \mathrm i} )^2 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde eine Darstellung der \definitionsverweis {rationalen Zahl}{}{}
\mathl{1/100}{} als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner \definitionsverweis {Primzahlpotenzen}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{{ \frac{ x^2-1 }{ x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(y) }
{ = }{{ \frac{ y^2 }{ y-1 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von \mathkor {} {f} {und von} {g} {.}

b) Berechne die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x) }
{ = }{g(f(x)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

c) Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ t }{ t^2-1 } } & { \frac{ 1 }{ t^3 } } \\ { \frac{ t^2-4 }{ t } } & { \frac{ t-1 }{ t+1 } } \end{pmatrix}} { }
\zusatzklammer {über dem \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} $\R(t)$} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es auf einer \definitionsverweis {offenen Kreisscheibe}{}{} \definitionsverweis {unbeschränkte}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die komplexe Invertierung \maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} } {z} {z^{-1} } {,} nicht \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { \R } {z} { \betrag { z } } {,} \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl $z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten
\mathl{\pm \sqrt{z}}{} diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich $0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion $\sqrt{z}$ an der Stelle $-1$ nicht \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {Tipp: Betrachte diese Funktion auf dem Einheitskreisbogen um $-1$.}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { \betrag { z } } {,} in keinem Punkt \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass im \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mathl{K(X)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ X^r-1 }{ X^r } } }
{ =} { { \frac{ X-1 }{ X } } + { \frac{ X-1 }{ X^2 } } + \cdots + { \frac{ X-1 }{ X^{r-1 } }} + { \frac{ X-1 }{ X^r } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3-1 }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ X^3- { \mathrm i} X +1 }{ X^2(X^2+1)(X^2-1) } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $P/Q$ eine komplexe \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} derart, dass in der komplexen Partialbruchzerlegung alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{j1} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind. Zeige, dass $P/Q$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} besitzt.

}
{} {}