Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 1

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Menge

$\{z\in ℂ\mid 3\le \mathrm{Re}\left(z\right)\le 5,2\le \mathrm{Im}\left(z\right)\le 3\}.$

Aufgabe *

a) Berechne

$(4-7\mathrm{i})(5+3\mathrm{i}).$

b) Bestimme das inverse Element $z^{-1}$ zu

$z=3+4\mathrm{i}.$

c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe

Es sei

$A:=\{z\in ℂ\mid \mathrm{Im}\left(z\right)\ge (\mathrm{Re}\left(z\right){)}^2+1\}\subset ℂ.$

Zeige die folgende Aussage: Sind  $z_1,z_2\in A$  und ist  $\lambda \in [0,1]$,  so ist auch  $\lambda z_1+(1-\lambda )z_2\in A$. 

Aufgabe

Es seien $n$ komplexe Zahlen $z_1,z_2,\dots ,z_n$ in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in  $B=\{z\in ℂ\mid |z|\le 1\}$,  gegeben. Zeige, dass es einen Punkt  $w\in B$  mit der Eigenschaft

$\sum _{i=1}^n|z_i-w|\ge n$

gibt.

Der Graph einer komplexen Funktion

$f:D⟶ℂ,$

 $D\subseteq ℂ$,  ist schwer zu skizzieren, da er ja eine Teilmenge von  $ℂ\times ℂ\cong {ℝ}^4$  ist. Als Ersatz skizziert man dann manchmal den Graphen der zugehörigen Betragsfunktion

$D⟶ℝ,z⟼|f(z)|.$

Eine andere Möglichkeit ist, den Realteil und/oder den Imaginarteil der Funktion zu skizzieren.

Aufgabe

Skizziere den Graphen der folgenden Funktionen.

1. $ℂ⟶ℝ,z⟼|z|.$

2. $ℂ⟶ℝ,z⟼|z^2|.$

3. $ℂ\setminus \{0\}⟶ℝ,z⟼|\frac{1}{z}|.$

Aufgabe

Es sei $f:ℂ\to ℂ$ eine Funktion, die $ℝ$ nach $ℝ$ abbildet. Die Funktion sei in  $a\in ℝ$  (als komplexe Funktion) differenzierbar. Zeige, dass dann auch die reelle Funktion $f{|}_{ℝ}$ (als Funktion von $ℝ$ nach $ℝ$) differenzierbar ist (und zwar mit der gleichen Ableitung).

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼|z|,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe

Es sei  $D\subseteq 𝕂$  offen und seien

$f_i:D⟶𝕂,i=1,\dots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

$(f_1\cdots f_n{)}^{\prime }=\sum _{i=1}^n{f}_1\cdots f_{i-1}{f}_{i^{\prime }}{f}_{i+1}\cdots f_n.$

Aufgabe

Es sei  $P\in ℂ[X]$  ein Polynom,  $a\in ℂ$  und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a{)}^n$ ist, wenn $a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen $P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\dots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgabe *

Es sei  $U\subseteq ℂ$  offen $f:U\to ℂ$ eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$  und sei $g:U\to ℂ$ eine komplex differenzierbare Funktion mit

$f(z)=(g(z){)}^k$

für alle  $z\in ℂ$.  Zeige

$g^{\prime }(z)=\frac{1}{k}\cdot \frac{1}{(g(z){)}^{k-1}}\cdot f^{\prime }(z).$

Aufgabe *

Es sei  $P=\sum _{i=0}^n{a}_i{z}^i\in ℂ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom mit  $a_n\ne 0$.  Wir setzen  $a:=max(|a_i|,i=0,\dots ,n-1)$  und  $r:=max(\frac{na+|a_0|+1}{|a_n|},1)$.  Zeige, dass

$|P(z)|\ge 1$

für alle  $z\in ℂ$  mit

$|z|\ge r$

gilt.

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen $f\circ g$ und $g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)=\frac{2x^2-4x+3}{x-2}\text{ und }g(x)=\frac{x+1}{x^2-4}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei

$F:D⟶ℂ$

eine rationale Funktion. Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit  $F^{(n)}=0$  gibt.

Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

$\frac{X}{(X-1)(X-\mathrm{i})(X+2\mathrm{i})}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{(X+1)(X-\mathrm{i}{)}^2}.$

Aufgabe

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl $1/100$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.

Aufgabe *

Es sei  $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$  und  $g(y)=\frac{y^2}{y-1}$. 

a) Bestimme die Ableitung von $f$ und von $g$.

b) Berechne die Hintereinanderschaltung  $h(x)=g(f(x))$. 

c) Bestimme die Ableitung von $h$ mithilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.

Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}\frac{t}{t^2-1}& \frac{1}{t^3}\\ \frac{t^2-4}{t}& \frac{t-1}{t+1}\end{array}\right)$

(über dem Körper der rationalen Funktionen $ℝ(t)$).

Aufgabe

Zeige, dass es auf einer offenen Kreisscheibe unbeschränkte holomorphe Funktionen gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Invertierung

$ℂ\setminus \{0\}⟶ℂ,z⟼z^{-1},$

nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Betrag

$ℂ⟶ℝ,z⟼|z|,$

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl $z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten $\pm \sqrt{z}$ diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich $0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion $\sqrt{z}$ an der Stelle $-1$ nicht stetig ist.

Tipp: Betrachte diese Funktion auf dem Einheitskreisbogen um $-1$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼|z|,$

in keinem Punkt differenzierbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass im Funktionenkörper $K(X)$ die Gleichheit

$\frac{X^r-1}{X^r}=\frac{X-1}{X}+\frac{X-1}{X^2}+\cdots +\frac{X-1}{X^{r-1}}+\frac{X-1}{X^r}$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

$\frac{1}{X^3-1}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

$\frac{X^3-\mathrm{i}X+1}{X^2(X^2+1)(X^2-1)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $P/Q$ eine komplexe rationale Funktion derart, dass in der komplexen Partialbruchzerlegung alle  $c_{j1}=0$  sind. Zeige, dass $P/Q$ eine Stammfunktion besitzt.

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