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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 2/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

Wir erinnern an die folgenden Definitionen.


Ein nichtleerer \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} $X$ heißt \definitionswort {wegzusammenhängend}{,} wenn es zu je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {X } {} mit \mathkor {} {\gamma(a)=x} {und} {\gamma(b) =y} {} gibt.


Ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} heißt \definitionswort {zusammenhängend}{,} wenn es genau zwei Teilmengen von $X$ gibt \zusatzklammer {nämlich \mathkor {} {\emptyset} {und} {X} {} selbst} {} {,} die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass $\R^n \setminus \{P\}$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine \definitionsverweis {offene}{}{} \zusatzklammer {oder \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Kugel}{}{} im $\R^n$. Zeige, dass $T$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} endlich viele Punkte und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \R^2 \setminus \{ P_1 , \ldots , P_n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es zu je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\varphi} {[0,1]} {M } {} mit \mathkor {} {\varphi(0)=P} {und} {\varphi(1)=Q} {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {wegzusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine offene \definitionsverweis {zusammenhängende Teilmenge}{}{.} Zeige, dass $U$ auch \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

Insbesondere braucht man bei einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht zwischen zusammenhängend und wegzusammenhängend zu unterscheiden.




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^3 } {,} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion ist, deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} nicht differenzierbar ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^3+x } {,} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion ist, die nicht \definitionsverweis {affin-linear}{}{} ist und deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} ebenfalls differenzierbar ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} einer \definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktion}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungsfunktion}{}{} einer \definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} \setminus \{ - { \frac{ d }{ c } } \} } { {\mathbb C} } {z} { { \frac{ az+b }{ cz+d } } } {,} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ ad-bc }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und insbesondere die Ableitung \zusatzklammer {bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{} der Form
\mathl{z \mapsto { \frac{ z+c }{ 1+ \overline{ c }z } }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c } }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die offene Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} in sich abbilden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{}
\mathl{z \mapsto { \frac{ az+b }{ c z+ d } }}{,} die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form
\mathdisp {\alpha \cdot { \frac{ z+\beta }{ \overline{ \beta } z +1 } }} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \alpha } }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \beta } }
{ \neq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gebracht werden können.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{} der Form
\mathl{z \mapsto { \frac{ az+b }{ \overline{ b } z+ \overline{ a } } }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a }^2 - \betrag { b }^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} eine Untergruppe der gebrochen-linearen Funktionen mit der Hintereinanderschaltung bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {gebrochen-linearen Funktionen}{}{} der Form
\mathl{z \mapsto { \frac{ az+b }{ \overline{ b } z+ \overline{ a } } }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a }^2 - \betrag { b }^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die offene Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} in sich abbilden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ U { \left( 0,1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {gebrochen-lineare Funktion}{}{} $g$ der Form
\mathl{z \mapsto { \frac{ az+b }{ \overline{ b } z+ \overline{ a } } }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a }^2 - \betrag { b }^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(0) }
{ = }{ w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \neq }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} komplexe Zahlen. Zeige, dass \mathkor {} {{\mathbb C} \setminus \{P,Q\}} {und} {{\mathbb C} \setminus \{0,1\}} {} zueinander \definitionsverweis {biholomorph}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{} \definitionsverweis {Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( 0,2 \right) }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und darauf die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {B \left( 0,2 \right) } {B \left( 0,2 \right) } { \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} \operatorname{cos} \, \sqrt{a^2+b^2} \pi & - \operatorname{sin} \, \sqrt{a^2+b^2} \pi \\ \operatorname{sin} \, \sqrt{a^2+b^2} \pi & \operatorname{cos} \, \sqrt{a^2+b^2} \pi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} } {.} \aufzaehlungvier{Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist. }{Beschreibe die Wirkungsweise von $\varphi$ mit Worten. }{Was sind die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von $\varphi$? }{Wie ist die Wirkungsweise von $\varphi$ auf dem Einheitskreis? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} und
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} jeweils verschiedene Punkte in der reellen Ebene $\R^2$. Skizziere einen Beweisansatz, dass \mathkor {} {\R^2 \setminus \{ P_1 , \ldots , Q_n \}} {und} {\R^2 \setminus \{ Q_1 , \ldots , Q_n \}} {} zueinander \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {Dabei hilft Aufgabe 2.17.}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { {\mathbb C} \setminus { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \leq 0 , \, \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } = 0 \right\} } } { z} { - z^2 } {,} eine \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} zwischen der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ${\mathbb H}$ und der längs der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} der \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {punktierte Kreisscheibe}{}{}
\mathl{U { \left( 0,1 \right) } \setminus \{0\}}{} und der nach außen unbeschränkte \definitionsverweis {Kreisring}{}{}
\mathl{{\mathbb C} \setminus B \left( 0,1 \right)}{} \definitionsverweis {biholomorph}{}{} zueinander sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $U(r,R)$ der \definitionsverweis {offene Kreisring}{}{} zu den Radien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ < }{ r }
{ < }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} um den Nullpunkt. Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Invertierung}{}{} eine \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {U(r,R)} { U(R^{-1},r^{-1}) } {} induziert.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {affin-linearen Abbildungen}{}{} auf ${\mathbb C}$, also Abbildungen der Form
\mathl{z \mapsto uz+v}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von Abbildungen, eine nichtkommutative \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {gebrochen-lineare Funktion}{}{} auf ${\mathbb C}$ durch eine Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} mit \definitionsverweis {Determinante}{}{} $1$ repräsentiert werden kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {,} zueinander invers sind unter Verwendung von Lemma 2.5.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $L$ eine reelle Gerade in ${\mathbb C}$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine der dadurch definierten offenen Halbebenen. Stifte eine \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} zwischen $E$ und der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ${\mathbb H}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5 (1+4)}
{

\aufzaehlungzwei {Charakterisiere, wann ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} [X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{} \maabbdisp {P} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} definiert. } {Charakterisiere, wann eine rationale Funktion
\mathl{P/Q}{} eine injektive Abbildung \maabbdisp {P/Q} { U } { {\mathbb C} } {} definiert \zusatzklammer {wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der maximale Definitionsbereich sei} {} {.} }

}
{} {Verwende den Fundamentalsatz der Algebra}