Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben

Wir erinnern an die folgenden Definitionen.


Ein nichtleerer metrischer Raum heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung

mit und gibt.


Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von gibt (nämlich und selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.


Aufgabe

Zeige, dass der wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei und ein Punkt. Zeige, dass wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei eine offene (oder abgeschlossene) Kugel im . Zeige, dass wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Es seien endlich viele Punkte und sei . Zeige, dass es zu je zwei Punkten eine differenzierbare Kurve

mit und gibt.


Aufgabe *


Aufgabe *

Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.


Insbesondere braucht man bei einer offenen Teilmenge nicht zwischen zusammenhängend und wegzusammenhängend zu unterscheiden.

Aufgabe

Zeige, dass

eine bijektive differenzierbare Funktion ist, deren Umkehrabbildung nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass

eine bijektive differenzierbare Funktion ist, die nicht affin-linear ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls differenzierbar ist.


Aufgabe


Aufgabe *

Bestimme die Ableitungsfunktion einer gebrochen-linearen Funktion

(mit ) und insbesondere die Ableitung (bei ) im Nullpunkt.


Aufgabe *

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit die offene Kreisscheibe in sich abbilden.


Aufgabe *

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen , die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form

mit und gebracht werden können.


Aufgabe

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit

eine Untergruppe der gebrochen-linearen Funktionen mit der Hintereinanderschaltung bilden.


Aufgabe

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit

die offene Kreisscheibe in sich abbilden.


Aufgabe *

Es sei . Zeige, dass es eine gebrochen-lineare Funktion der Form mit

und mit gibt.


Aufgabe

Es seien komplexe Zahlen. Zeige, dass und zueinander biholomorph sind.


Aufgabe

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe und darauf die Abbildung

  1. Zeige, dass stetig ist.
  2. Beschreibe die Wirkungsweise von mit Worten.
  3. Was sind die Fixpunkte von ?
  4. Wie ist die Wirkungsweise von auf dem Einheitskreis?


Aufgabe

Es seien und jeweils verschiedene Punkte in der reellen Ebene . Skizziere einen Beweisansatz, dass und zueinander homöomorph sind.

Dabei hilft Aufgabe 2.16.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene und der längs der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitungen der Abbildungen

und


Aufgabe

Zeige, dass die punktierte Kreisscheibe und der nach außen unbeschränkte Kreisring biholomorph zueinander sind.


Aufgabe

Es sei der offene Kreisring zu den Radien um den Nullpunkt. Zeige, dass die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung

induziert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Menge der affin-linearen Abbildungen auf , also Abbildungen der Form mit , mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen, eine nichtkommutative Gruppe ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine gebrochen-lineare Funktion auf durch eine Matrix mit Determinante repräsentiert werden kann.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Abbildungen

und

zueinander invers sind unter Verwendung von Lemma 2.5.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine reelle Gerade in und sei eine der dadurch definierten offenen Halbebenen. Stifte eine biholomorphe Abbildung zwischen und der oberen Halbebene .


Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

  1. Charakterisiere, wann ein Polynom eine injektive Abbildung

    definiert.

  2. Charakterisiere, wann eine rationale Funktion eine injektive Abbildung

    definiert (wobei der maximale Definitionsbereich sei).

Verwende den Fundamentalsatz der Algebra



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