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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 24/latex

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\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {,} \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {kompakt konvergenten}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Folge auch \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }}{} eine komplexe \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Grenzfunktion $f$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(z) }
{ =} { \sum_{i = 0}^n a_iz^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} kompakt gegen $f$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Folge der Potenzfunktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(z) }
{ = }{ z^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf der offenen Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} nicht \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{,} aber \definitionsverweis {lokal gleichmäßig}{}{} konvergiert.

}
{} {}


Es sei
\mathbed {X_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{.} Unter dem \definitionswort {Produktraum}{} versteht man die \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\prod_{i \in I} X_i}{,} versehen mit der \definitionswort {Produkttopologie}{,} bei der beliebige Vereinigungen von Mengen der Form
\mathl{\prod_{i \in I} U_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i }
{ \subseteq }{ X_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i }
{ = }{ X_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis auf endlich viele Ausnahmen als offen erklärt werden.





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathbed {M_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine Familie von \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{\prod_{n \in \N} M_n}{} ein metrischer Raum ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{} unabhängig von der gewählten kompakten Ausschöpfung ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {X} { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Folge genau dann in der \definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn sie \definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}

}
{} {}


Ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} $X$ heißt \definitionswort {lokal kompakt}{,} wenn jeder Punkt eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {Umgebung}{}{} besitzt.


Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} $Z$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \operatorname{Abb} \, { \left( X , Z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Menge von Abbildungen von $X$ nach $Z$. Man nennt $T$ \definitionswort {gleichgradig stetig}{} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x' }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Man nennt $T$ \definitionswort {gleichgradig stetig}{,} wenn $T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {lokal kompakter}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} besitze, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} versehen mit der \definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{.} Zeige, dass $T$ genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{$T$ ist \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.} }{$T$ ist \definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{.} }{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist das Auswertungsbild
\mathl{{ \left\{ f(x) \mid f \in T \right\} }}{} \definitionsverweis {beschränkt}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und sei \maabb {f_k} {U} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{,} die gegen die Grenzfunktion $f$ \definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass die Koeffizienten der \definitionsverweis {Potenzreihenentwicklung}{}{} von $f_k$ in $P$ gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f$ in $P$ \definitionsverweis {konvergieren}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \Gamma (U, {\mathcal O} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge von \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} auf $U$, die nicht \definitionsverweis {lokal beschränkt}{}{} sei. Zeige, dass es dann eine Folge in $T$ gibt, die keine \definitionsverweis {kompakt konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} besitzt.

}
{} {}


Eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {Funktionen}{}{} \maabbdisp {g_k} {X} { {\mathbb C} } {} auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$ heißt \definitionswort {normal konvergent}{,} wenn es für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k \in \N} \Vert {g_k {{|}} _U} \Vert_{ \text{sup} } }
{ <} { \infty }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {g_k} {X} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {normal konvergente}{}{} Reihe von \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$. Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n }
{ =} { \sum_{ k= 0}^n g_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {lokal gleichmäßig konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {g_k} {X} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {normal konvergente}{}{} Reihe von \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der $g_k$ normal konvergent ist.

}
{} {}


Die \definitionswort {Riemannsche $\zeta$-Funktion}{} ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Realteil
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( s \right) } }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta(s) }
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}} { }
für eine komplexe Zahl $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( s \right) } }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Funktionenfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_n(z) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^z } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {normal konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Riemannsche Zetafunktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta(z) }
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty { \frac{ 1 }{ n^z } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {holomorph}{}{} ist.

}
{} {}

Die folgende Aussage heißt \stichwort {Satz von Mittag-Leffler} {} und ist eine weitgehende Verallgemeinerung von Aufgabe 19.23.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und sei
\mathl{\sum_{P \in U} h_P}{} eine \definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{} auf $U$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} auf $U$ gibt, die diese Hauptteilverteilung realisiert.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $T$ ein \definitionsverweis {lokal kompakter}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {,} \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Funktionenfolge genau dann \definitionsverweis {kompakt konvergent}{}{,} wenn sie \definitionsverweis {lokal gleichmäßig konvergent}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $T$ und eine Funktionenfolge \maabbdisp {f_n} {T} {\R } {,} die \definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {lokal gleichmäßig konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {punktweise konvergente}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} \maabb {f_k} {U} { {\mathbb C} } {} von \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer holomorphen Grenzfunktion derart, dass die Koeffizienten der \definitionsverweis {Potenzreihenentwicklung}{}{} von $f_k$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f$ in $P$ \definitionsverweis {konvergieren}{}{,} $f_k$ aber nicht \definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die reelle Funktionenfolge \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(x) }
{ =} { { \frac{ \sin \left( n! x \right) }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Folge \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen die Nullfunktion konvergiert, dass aber die Folge der \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $f_n'$ nicht \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}

}
{} {}