Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}T$ ein topologischer Raum und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von kompakt konvergenten Funktionen. Zeige, dass die Folge auch punktweise konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius  ${}r>0$  und der Grenzfunktion ${}f$. Zeige, dass

${}f_{n}(z)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\,$

auf ${}U{\left(0,r\right)}$ kompakt gegen ${}f$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge der Potenzfunktionen  ${}f_{n}(z)=z^{n}$  auf der offenen Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ nicht gleichmäßig, aber lokal gleichmäßig konvergiert.

Es sei ${}X_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von topologischen Räumen. Unter dem Produktraum versteht man die Produktmenge ${}\prod _{i\in I}X_{i}$, versehen mit der Produkttopologie, bei der beliebige Vereinigungen von Mengen der Form ${}\prod _{i\in I}U_{i}$ mit  ${}U_{i}\subseteq X_{i}$  offen für alle  ${}i\in I$  und  ${}U_{i}=X_{i}$  bis auf endlich viele Ausnahmen als offen erklärt werden.

Aufgabe *

Es sei ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Familie von metrischen Räumen. Zeige, dass der Produktraum ${}\prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$ ein metrischer Raum ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung. Zeige, dass die Topologie der kompakten Konvergenz unabhängig von der gewählten kompakten Ausschöpfung ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz konvergiert, wenn sie kompakt konvergiert.

Ein Hausdorffraum ${}X$ heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Z$ ein metrischer Raum und sei  ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$  eine Menge von Abbildungen von ${}X$ nach ${}Z$. Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig in einem Punkt  ${}x\in X$,  wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  eine offene Umgebung  ${}x\in U\subseteq X$  derart gibt, dass für alle  ${}x'\in U$  und alle  ${}f\in T$  gilt

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$

Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig, wenn ${}T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt  ${}x\in X$  ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei  ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$,  versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Zeige, dass ${}T$ genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}T$ ist abgeschlossen.
2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt  ${}x\in X$  ist das Auswertungsbild ${}\left\{f(x)\mid f\in T\right\}$ beschränkt.

Aufgabe

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und sei ${}f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert. Es sei  ${}P\in U$  ein Punkt. Zeige, dass die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von ${}f_{k}$ in ${}P$ gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von ${}f$ in ${}P$ konvergieren.

Aufgabe *

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und sei  ${}T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$  eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf ${}U$, die nicht lokal beschränkt sei. Zeige, dass es dann eine Folge in ${}T$ gibt, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.

Eine Folge von Funktionen

$g_{k}\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }$

auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt normal konvergent, wenn es für jeden Punkt  ${}P\in X$  eine offene Umgebung  ${}P\in U\subseteq X$  derart gibt, dass

${}\sum _{k\in \mathbb {N} }\Vert {g_{k}{|}_{U}}\Vert _{\text{sup}}<\infty \,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}g_{k}\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine normal konvergente Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass die Folge

${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}g_{k}\,$

lokal gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}g_{k}\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine normal konvergente Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der ${}g_{k}$ normal konvergent ist.

Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für  ${}s\in {\mathbb {C} }$  mit Realteil  ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$  durch

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

definiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

für eine komplexe Zahl ${}s$ mit  ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$  absolut konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktionenfolge

${}g_{n}(z)={\frac {1}{n^{z}}}\,$

für  ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}>1$  normal konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Riemannsche Zetafunktion

${}\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\,$

für  ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}>1$  holomorph ist.

Die folgende Aussage heißt Satz von Mittag-Leffler und ist eine weitgehende Verallgemeinerung von Aufgabe 19.23.

Aufgabe *

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und sei ${}\sum _{P\in U}h_{P}$ eine Hauptteilverteilung auf ${}U$. Zeige, dass es eine meromorphe Funktion auf ${}U$ gibt, die diese Hauptteilverteilung realisiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ ein lokal kompakter topologischer Raum und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum ${}T$ und eine Funktionenfolge

$f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die kompakt konvergiert, aber nicht lokal gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine punktweise konvergente Folge ${}f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ von holomorphen Funktionen auf einem Gebiet  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  mit einer holomorphen Grenzfunktion derart, dass die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von ${}f_{k}$ in  ${}P\in U$  gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von ${}f$ in ${}P$ konvergieren, ${}f_{k}$ aber nicht kompakt konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die reelle Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

${}f_{n}(x)={\frac {\sin \left(n!x\right)}{n}}\,.$

Zeige, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, dass aber die Folge der Ableitungen ${}f_{n}'$ nicht punktweise konvergiert.