Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 24
- Übungsaufgaben
Es sei ein topologischer Raum und sei
() eine Folge von kompakt konvergenten Funktionen. Zeige, dass die Folge auch punktweise konvergiert.
Es sei eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius und der Grenzfunktion . Zeige, dass
auf kompakt gegen konvergiert.
Zeige, dass die Folge der Potenzfunktionen auf der offenen Kreisscheibe nicht gleichmäßig, aber lokal gleichmäßig konvergiert.
Es sei , , eine Familie von topologischen Räumen. Unter dem Produktraum versteht man die Produktmenge , versehen mit der Produkttopologie, bei der beliebige Vereinigungen von Mengen der Form mit offen für alle und bis auf endlich viele Ausnahmen als offen erklärt werden.
Es sei , , eine Familie von metrischen Räumen. Zeige, dass der Produktraum ein metrischer Raum ist.
Es sei ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung. Zeige, dass die Topologie der kompakten Konvergenz unabhängig von der gewählten kompakten Ausschöpfung ist.
Es sei ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei
eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz konvergiert, wenn sie kompakt konvergiert.
Ein Hausdorffraum heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.
Es sei ein topologischer Raum, ein metrischer Raum und sei eine Menge von Abbildungen von nach . Man nennt gleichgradig stetig in einem Punkt , wenn es zu jedem eine offene Umgebung derart gibt, dass für alle und alle gilt
Man nennt gleichgradig stetig, wenn gleichgradig stetig in jedem Punkt ist.
Es sei ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei , versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Zeige, dass genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- ist abgeschlossen.
- ist gleichgradig stetig.
- Für jeden Punkt ist das Auswertungsbild beschränkt.
Es sei ein Gebiet und sei eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion kompakt konvergiert. Es sei ein Punkt. Zeige, dass die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von in gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von in konvergieren.
Es sei ein Gebiet und sei eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf , die nicht lokal beschränkt sei. Zeige, dass es dann eine Folge in gibt, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.
Eine Folge von Funktionen
auf einem topologischen Raum heißt normal konvergent, wenn es für jeden Punkt eine offene Umgebung derart gibt, dass
gilt.
Es sei eine normal konvergente Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum . Zeige, dass die Folge
Es sei eine normal konvergente Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum . Zeige, dass dann auch jede Umordnung der normal konvergent ist.
Die Riemannsche -Funktion ist für mit Realteil durch
definiert.
Die folgende Aussage heißt Satz von Mittag-Leffler und ist eine weitgehende Verallgemeinerung von
Aufgabe 19.23.
Es sei ein Gebiet und sei eine Hauptteilverteilung auf . Zeige, dass es eine meromorphe Funktion auf gibt, die diese Hauptteilverteilung realisiert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein lokal kompakter topologischer Raum und sei
() eine Folge von Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum und eine Funktionenfolge
die kompakt konvergiert, aber nicht lokal gleichmäßig konvergiert.
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine punktweise konvergente Folge von holomorphen Funktionen auf einem Gebiet mit einer holomorphen Grenzfunktion derart, dass die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von in gegen die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von in konvergieren, aber nicht kompakt konvergiert.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die reelle Funktionenfolge
Zeige, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, dass aber die Folge der Ableitungen nicht punktweise konvergiert.
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