Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 6 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 6 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}

}{Eine \stichwort {Verknüpfung} {} $\circ$ auf einer Menge $M$.

}{Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl $a$ eine natürliche Zahl $b$ \stichwort {teilt} {}

}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k}}{.}

}{Die \stichwort {Addition} {} von \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} \mathkor {} {x = { \frac{ a }{ b } }} {und} {y = { \frac{ c }{ d } }} {.}

}{Ein \stichwort {Dezimalbruch} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.}{Die \stichwort {Division mit Rest} {} für natürliche Zahlen.}{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Führe die zweite binomische Formel für rationale Zahlen auf die zweite binomische Formel für ganze Zahlen zurück.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+1+1)}
{

Folgende Aussagen seien bekannt. \aufzaehlungsieben{Der frühe Vogel fängt den Wurm. }{Doro wird nicht von Lilly gefangen. }{Lilly ist ein Vogel oder ein Igel. }{Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät. }{Doro ist ein Wurm. }{Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh. }{Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs. } Beantworte folgende Fragen. \aufzaehlungdrei{Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel? }{Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier? }{Fängt der späte Igel den Wurm? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\N} {\Z } {n} {\begin{cases} -\frac{n}{2}, \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\\ \frac{n+1}{2}, \text{ falls } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} } {} Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und \maabb {F} {L} {M } {} und \maabb {G} {M} {N } {} \definitionsverweis {injektive Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls injektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise in $\N$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(n+k)' }
{ =} {n' +k }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} durch Induktion über $k$ unter Verwendung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n+k' }
{ = }{(n+k)' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $x \mapsto x^\prime$ die Nachfolgerabbildung bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Zeige, dass die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen eine totale Ordnung ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise durch Induktion die folgende Formel für
\mathl{n \geq 1}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n k }
{ =} {{ \frac{ n(n+1) }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es findet das olympische 100-Meter-Finale mit acht Teilnehmern statt. Sie wissen, welche drei Teilnehmer eine Medaille gewinnen \zusatzklammer {aber nicht, wer welche Medaille gewinnt} {} {.} Wie viele Möglichkeiten für das Gesamtergebnis aller acht Teilnehmer verbleiben \zusatzklammer {keine Platzierung ist doppelt besetzt} {} {?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Führe im Dezimalsystem die Addition
\mathdisp {794385 +503819} { }
schriftlich durch.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise das Lemma von Euklid für ganze Zahlen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{

a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}

b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Erläutere den Begriff \stichwort {Dreisatzaufgabe} {} samt Lösungsverfahren anhand eines typischen Beispiels.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige, dass das Produkt von zwei Dezimalbrüchen wieder eine Dezimalbruch ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis \zusatzklammer {die Ja-Antworten} {} {} in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab
\mathl{,5}{} nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} $\lfloor \, \, \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl
\mathl{p(i)}{} berechnet.

b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei
\mathl{n=99}{.} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei
\mathl{n=101}{.} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei
\mathl{n=102}{.} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

}
{} {}