Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	$\sum$
Punkte	3	3	2	4	3	5	2	3	6	3	2	3	1	2	4	2	3	0	2	6	59

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
2. Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$.
3. Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl $a$ eine natürliche Zahl $b$ teilt.
4. Der Binomialkoeffizient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.
5. Die Addition von rationalen Zahlen $x=\frac{a}{b}$ und $y=\frac{c}{d}$.
6. Ein Dezimalbruch.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
3. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe die zweite binomische Formel für rationale Zahlen auf die zweite binomische Formel für ganze Zahlen zurück.

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Aufgabe (3 Punkte)

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.

Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$f:\mathbb{N}⟶\mathbb{Z},n⟼\{\begin{array}{c}-\frac{n}{2},\text{ falls }n\text{ gerade},\\ \frac{n+1}{2},\text{ falls }n\text{ ungerade}.\end{array}$

Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien $L,M,N$ Mengen und $F:L\to M$ und $G:M\to N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise in $\mathbb{N}$ die Gleichheit

$(n+k{)}^{\prime }=n^{\prime }+k$

durch Induktion über $k$ unter Verwendung der Gleichung  $n+k^{\prime }=(n+k{)}^{\prime }$,  wobei $x\mapsto x^{\prime }$ die Nachfolgerabbildung bezeichnet.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen eine totale Ordnung ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für  $n\ge 1$. 

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es findet das olympische 100-Meter-Finale mit acht Teilnehmern statt. Sie wissen, welche drei Teilnehmer eine Medaille gewinnen (aber nicht, wer welche Medaille gewinnt). Wie viele Möglichkeiten für das Gesamtergebnis aller acht Teilnehmer verbleiben (keine Platzierung ist doppelt besetzt)?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Führe im Zehnersystem die Addition

$794385+503819$

schriftlich durch.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme in $\mathbb{Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1071$ und $1029$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für ganze Zahlen.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen $2\cdot 3^2\cdot 7^4$ und $2^4\cdot 3^3\cdot 5^{11}\cdot 7$.

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen $2\cdot 3^2\cdot 6\cdot 7$ und $2^2\cdot 3^3\cdot 5^4$.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere den Begriff Dreisatzaufgabe samt Lösungsverfahren anhand eines typischen Beispiels.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass das Produkt von zwei Dezimalbrüchen wieder eine Dezimalbruch ist.

Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab $,5$ nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mithilfe der Gaußklammer $\lfloor \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl $p(i)$ berechnet.

b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei $n=99$. Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei $n=101$. Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei $n=102$. Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?