Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	2	4	2	4	3	4	2	2	4	2	2	5	3	5	2	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Disjunktheit von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die Kommutativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$

3. Der Betrag einer ganzen Zahl.
4. Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$.
5. Die gekürzte Darstellung einer rationalen Zahl.
6. Eine streng fallende Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen.
2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
3. Der Satz über die algebraische Struktur von ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von ${}20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
3. Linda engagiert sich bei Attac.

Aufgabe * (3 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von ${}20$ Cent begleichen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Summe von zwei ungeraden natürlichen Zahlen gerade ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Addition auf den natürlichen Zahlen durch die Bedingungen

$x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$

eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von ${}M$ in die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ geben kann.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler ungerade ist. Zeige, dass ${}n$ eine Quadratzahl ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Welche Arten von Gleichungen kennen Sie? Geben Sie typische Beispiele.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. ${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
2. ${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}8$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}311$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Biologin Hertha McGillen ist eine renommierte Forscherin über fliegende Fische. Zur Beobachtung hat ihr Team eine Drohne entwickelt, die sowohl oberhalb als auch unterhalb des Meeresspiegels fliegen kann. Bei einem Einsatz startet die Drohne vom Ausgangspunkt auf dem Schiff, der vier Meter oberhalb des Meeresspiegels liegt. Sie steigt zunächst drei Meter in die Höhe, fliegt dann elf Meter nach unten, dann einen Meter nach oben, dann zwei Meter nach unten, dann sechs Meter nach oben, dann fünf Meter nach unten, dann drei Meter nach oben, dann vier Meter nach unten, dann reißt der Funkkontakt ab.

Wie hoch bzw. tief ist die Drohne insgesamt von ihrem Ausgangspunkt aus geflogen und auf welcher Höhe unter- oder oberhalb des Meeresspiegels brach der Kontakt ab? Wie oft ist die Drohne ein- und wie oft aufgetaucht?

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien zwei rationale Zahlen ${}x<y$ gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl ${}n$ die rationale Zahl

${}z_{n}:={\frac {x+ny}{1+n}}\,$

echt zwischen ${}x$ und ${}y$ liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen ${}z_{n}$ zueinander?

Aufgabe * (2 Punkte)

Ist die Zahl

$\sum _{n=1}^{10}{\frac {1}{n}}.$

ein Dezimalbruch?

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion gegenüber Potenzfunktionen.