Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/23/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	3	3	0	1	2	5	1	2	3	1	1	3	4	6	1	2	2	2	3	7	1	4	0	3	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

3. Eine Primzahl.
4. Ein Ring ${}R$.
5. Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$.
6. Ein Dezimalbruch.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
2. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von ${}1$ bis ${}10$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise die Integritätseigenschaft für die natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch ${}8$ teilbar ist.

1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.

Aufgabe * (1 Punkt)

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${}117$ und Old Shatterhand sieht ${}94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${}39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von ${}1$ bis ${}6$ derart zu nummerieren, dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets ${}7$ ergibt?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien ${}a,b$ Elemente in einem kommutativen Halbring ${}R$. Berechne

$(a+2b)\cdot (2a+3b).$

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne (Klammern um die Minuszeichen wurden weggelassen)

$----------------7\cdot -------11.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche ${}n\geq 2$ der Binomialkoeffizient

${\binom {n}{2}}$

eine Primzahl ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}$

ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q,r$ mit ${}0\leq r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Aufgabe (1 Punkt)

In einem mathematischen Text steht „${}n=1,2$“. Welche Bedeutungen könnten damit gemeint sein?

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

1. ${}-(-x)=x\,,$

2. ${}x^{2}-3x+5=0\,.$

3. ${}13-8=5\,,$

4. ${}a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${}>99$, die ein Vielfaches von ${}99$ ist und in deren Darstellung im Dezimalsystem nur Neunen vorkommen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es bezeichne ${}N$ die Nachfolgerabbildung und ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die Umlegungsregel

${}x+y=N(x)+V(y)\,$

unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge ${}1$ (das Einheitsquadrat) wird als ${}1$ festgelegt.

1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}a,b\in \mathbb {N}$ sind, den Flächeninhalt ${}ab$ besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}x,y\in \mathbb {Q} _{+}$ sind, den Flächeninhalt ${}xy$ besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl ${}n$ derart, dass

${}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,$

ist.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

1. Durch welche ganze Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?
2. Durch welche rationalen Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf ${}\mathbb {N}$.