Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/10/Klausur mit Lösungen/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 2 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleeinundzwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Gerade in Punktvektorform} {} im
\mathl{K^n}{.}

}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} bezüglich der Standardbasen.

}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.

}{Ein \stichwort {Dedekindscher Schnitt} {.}

}{Der \stichwort {trigonometrische Punkt} {}
\mathl{P(\alpha)}{} zu einem Winkel $\alpha$.

}{Ein \stichwort {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} {P + K v }
{ =} { { \left\{ P+sv \mid s \in K \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem von $0$ verschiedenen Vektor
\mathl{v \in K^n}{} und einem Aufpunkt
\mathl{P \in K^n}{.} }{Die $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { (a_{ij})_{ij} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te \definitionsverweis {Koordinate}{}{} von
\mathl{\varphi(e_j )}{} bezüglich der Standardbasis $e_i$ des $K^m$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$. }{Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine \definitionsverweis {Relation}{}{,} die die folgenden drei Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige $x,y,z \in M$} {} {.} \aufzaehlungdrei{$x \sim x$. }{Aus $x \sim y$ folgt $y \sim x$. }{Aus $x \sim y$ und $y \sim z$ folgt $x \sim z$. } }{Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar
\mathl{(A,B)}{} bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen. \aufzaehlungvier{$A$ und $B$ sind nicht leer. }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \uplus B }
{ =} {\Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor. }{Für jedes
\mathl{x \in A}{} und jedes
\mathl{y \in B}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ < }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Zu
\mathl{x \in A}{} gibt es ein
\mathl{x' \in A}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x' }
{ > }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } }{Zu einem Winkel $\alpha$ \zusatzklammer {im Bogenmaß} {} {} nennt man denjenigen Punkt auf dem \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{,} den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in
\mathl{(1,0)}{} startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen $\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt
\mathl{P(\alpha)}{} zu diesem Winkel. }{Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge $M$ zusammen mit einer fixierten \definitionsverweis {diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{} \maabb {f} {M} {\R_{\geq 0} } {.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.}{Der \stichwort {Satz über die Eindeutigkeit des Limes} {} in einem angeordneten Körper $K$.}{Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{}.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x_1 +a_2x_2 + \cdots + a_nx_n }
{ =} { c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{.} Es sei $a_1 \neq 0$. Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum
\mathl{K^{n-1}}{,} und zwar über die Abbildungen \maabbeledisp {} {L} { K^{n-1} } { \left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } {,} und \maabbeledisp {} {K^{n-1}} {L } { \left( x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( \frac{1}{a_1} \left( c- a_2x_2 - \cdots - a_nx_n \right) , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } {.}}{Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+2)}
{

Ein \definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{} sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y }
{ \leq} {-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x }
{ \leq} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lineares Ungleichungssystem.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Lineares Ungleichungssystem.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

a) Wir lösen jeweils nach $y$ auf und erhalten die vier Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \geq} { -x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y }
{ \geq} { x-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \leq} { { \frac{ 2 }{ 5 } } x + { \frac{ 3 }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.

b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen \zusatzklammer {die zu den Ungleichungen gehören} {} {} gegeben sind. Diese sind
\mathdisp {(0,0),\, \left( 0 , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } \right), \, \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } \right) ,\, \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } , \, - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{

Es ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix}}{} eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}}{} ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix} \mid t \in \Q \right\} }} { }
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mathl{0 \in K^n}{} keinen anderen Vektor
\mathl{v \in V}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und seien
\mathl{v_1,v_2 \in V}{} gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1) }
{ = }{ \varphi(v_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2) }
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mathl{v_1-v_2 \in \operatorname{kern} \varphi}{} und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1 }
{ = }{v_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ = }{ y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da
\mathl{\left \lfloor x \right \rfloor, \left \lfloor y \right \rfloor}{} ganze Zahlen sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{\left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganzzahlig. Damit gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y }
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (y - \left \lfloor y \right \rfloor ) }
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (x - \left \lfloor x \right \rfloor ) }
{ =} { x + \left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor }
{ =} { x + n }
} {} {}{.}

Sei nun
\mathl{y=x+n}{} mit
\mathl{n \in \Z}{.} Aus der definierenden Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor }
{ \leq} {x }
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor +n }
{ \leq} {x +n }
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + n+1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x+n \right \rfloor }
{ =} {\left \lfloor x \right \rfloor + n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ =} {x +n - \left \lfloor x+n \right \rfloor }
{ =} { x+n - ( \left \lfloor x \right \rfloor + n) }
{ =} { x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ } { }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{37}}{} in
\mathl{\Z/(89)}{.}

}
{

Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{89 }
{ =} { 2 \cdot 37 + 15 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{37 }
{ =} { 2 \cdot 15 +7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{15 }
{ =} { 2 \cdot 7 +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1 }
{ =} { 15 -2 \cdot 7 }
{ =} { 15- 2 \cdot ( 37- 2 \cdot 15 ) }
{ =} { 5 \cdot 15 - 2 \cdot 37 }
{ =} { 5 \cdot (89-2 \cdot 37) - 2 \cdot 37 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 5 \cdot 89 -12 \cdot 37 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-12 }
{ =} { 77 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das inverse Element zu $37$ in
\mathl{\Z/(89)}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } {.} Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(a+b) }
{ =} { \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ \neq} { \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \varphi(a) + \varphi(b) }
} {}{}{,} die Abbildung ist also nicht mit der Addition verträglich.

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(a \cdot b) }
{ =} { \begin{pmatrix} a \cdot b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \varphi(a) \cdot \varphi(b) }
{ } { }
} {}{}{,} die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(1) }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Abbildung bildet also die $1$ auf die $1$ ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein \definitionsverweis {Intervall}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$. Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ x\in K \mid - x \in [a,b] \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als ein Intervall.

}
{

Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { [- b ,- a ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Negationsabbildung
\mathl{x \mapsto - x}{} ist streng fallend. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M }
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - x \in [a,b] \right\} } }
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a \leq - x \leq b \right\} } }
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - a \geq - { \left(- x \right) } \geq - b \right\} } }
{ =} {{ \left\{ x \in K \mid - a\geq x \geq -b \right\} } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { [ -b,-a ] }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }} { . }

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) } }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } -{ \frac{ 3 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 3 } } \cdot 5 + { \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \right) } \sqrt{5} }
{ =} { { \frac{ 28 }{ 15 } } - { \frac{ 75 }{ 6 } } + { \left( { \frac{ 35 }{ 9 } } - { \frac{ 6 }{ 5 } } \right) } \sqrt{5} }
{ =} { { \frac{ 56 -375 }{ 30 } } + { \frac{ 175 - 54 }{ 45 } } \cdot \sqrt{5} }
{ =} { - { \frac{ 319 }{ 30 } } + { \frac{ 121 }{ 45 } } \cdot \sqrt{5} }
} {} {}{}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {{ \frac{ 7 n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{

Für $n \geq 1$ kann man die Folge \zusatzklammer {durch Erweiterung mit $1/n^4$} {} {} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 7n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } } }
{ =} { { \frac{ 7-2 { \frac{ 1 }{ n^2 } } +5 { \frac{ 1 }{ n^4 } } }{ 4 -5 { \frac{ 1 }{ n } }+ { \frac{ 1 }{ n^3 } }-6 { \frac{ 1 }{ n^4 } } } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben. Folgen vom Typ \mathkor {} {a/n, \, a/n^2,\, a/n^3} {und} {a/n^4} {} sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $7$ und der Nenner gegen $4$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen $7/4 \in \Q$ konvergiert.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} eindeutig bestimmt ist.

}
{

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte
\mathbed {x,y} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,} gibt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \defeq }{ \betrag { x-y } }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ \defeq }{ d/3 }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0} { }
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_0'$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-y } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0'} { . }
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{\max\{n_0,n_0'\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d }
{ =} {\betrag { x-y } }
{ \leq} {\betrag { x-x_n } + \betrag { x_n-y } }
{ \leq} {\epsilon+ \epsilon }
{ =} {2 d/3 }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei $x \in \R_{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes $\epsilon \in \R,\, \epsilon >0$, gelte $x \leq \epsilon$. Zeige $x = 0$.

}
{

Wir nehmen $x \neq 0$ an. Dann ist $x > 0$. Dann ist auch ${ \frac{ x }{ 2 } } > 0$ und die Voraussetzung, angewandt auf $\epsilon = { \frac{ x }{ 2 } }$, ergibt $x \leq { \frac{ x }{ 2 } }$, woraus sich durch beidseitige Subtraktion von ${ \frac{ x }{ 2 } }$ der Widerspruch ${ \frac{ x }{ 2 } } \leq 0$ ergibt.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0{,}7 \overline{41}} { }
gegeben ist.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0{,}7 \overline{41} }
{ =} { 0{,}7 + 0{,}0 \overline{41} }
{ =} { 0{,}7 + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 0{,}\overline{41} }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 41 \cdot 0{,} \overline{01} }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 41 \cdot { \frac{ 1 }{ 99 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 7 }{ 10 } } + { \frac{ 41 }{ 990 } } }
{ =} { { \frac{ 693+41 }{ 990 } } }
{ =} { { \frac{ 734 }{ 990 } } }
{ =} { { \frac{ 367 }{ 495 } } }
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.

}
{Geometrisches Mittel/Geometrische Relevanz/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

}
{

Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ a { \left( { \frac{ \pm \sqrt{ b^2 -4ac } -b }{ 2a } } \right) }^2 +b { \left( { \frac{ \pm \sqrt{ b^2 -4ac } -b }{ 2a } } \right) } + c }
{ =} {a { \frac{ b^2-4ac + \mp 2b \sqrt{ b^2 -4ac } + b^2 }{ 4a^2 } } + { \frac{ \pm b \sqrt{ b^2 -4ac } -b^2 }{ 2a } } +c }
{ =} { { \frac{ b^2-4ac + \mp 2b \sqrt{ b^2 -4ac } + b^2 \pm 2b \sqrt{ b^2 -4ac } - 2 b^2 +4ac }{ 4a } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {}{}{.} Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.

Im Allgemeinen schreiben wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{aX^2+bX+c }
{ =} { a { \left( X^2 + { \frac{ b }{ a } } X+ { \frac{ c }{ a } } \right) } }
{ =} { a { \left( { \left( X + { \frac{ b }{ 2a } } \right) }^2 - { \frac{ b^2 }{ 4a^2 } } + { \frac{ c }{ a } } \right) } }
{ =} { a { \left( { \left( X + { \frac{ b }{ 2a } } \right) }^2 - { \frac{ b^2-4ac }{ 4a^2 } } \right) } }
{ } { }
} {} {}{.} Der rechte Term ist bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^2 -4ac }
{ <} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^2 -4ac }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} hat es genau die eine angegebene Nullstelle.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^3+bX^2+cX+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein normiertes Polynom über einem Körper $K$. Es seien
\mathl{u,v,w}{} drei \zusatzklammer {verschiedene} {} {} Zahlen aus $K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von $P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uvw }
{ =} {-d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uv+uw+vw }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+v+w }
{ =} {-b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} erfüllen.

}
{

Nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist eine Zahl $u \in K$ genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn
\mathl{X-u}{} ein Linearfaktor von $P$ ist. Da
\mathl{u,v,w}{} verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von $P$ genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { (X-u)(X-v) (X-w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-u)(X-v) (X-w) }
{ =} { X^3 - (u+v+w)X^2 + (uv+uw+vw)X- uvw }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies stimmt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{X^3+aX^2+bX+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uvw }
{ =} {-d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uv+uw+vw }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+v+w }
{ =} {-b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Fridolin sagt:

\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1) }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mathl{x \in [-1,1]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{}

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

}
{

Die Funktion ist im Nullpunkt $0$ nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu \zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.} \aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}




}
{

\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1 : \, b} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1 : \, a} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1 : \, d} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1 : \, e} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1 : \, c} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1 : \, f} { . }
}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto \zusatzklammer {genau} {} {} drei Richtige hat.

}
{

Wir zählen die Möglichkeiten, also die sechselementigen Teilmengen von
\mathl{\{1 , \ldots , 49\}}{,} die für das in Rede stehende Ereignis günstig sind. Von den getippten sechs Zahlen werden genau drei Zahlen gezogen, dafür gibt es
\mathdisp {\binom { 6 } { 3}} { }
Möglichkeiten. Wenn diese drei Zahlen als Treffer fixiert sind, so müssen diese drei Zahlen gezogen werden, die drei anderen getippten Zahlen nicht. Dafür gibt es jeweils
\mathdisp {\binom { 43 } { 3}} { }
Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
\mathdisp {\binom { 6 } { 3} \cdot \binom { 43 } { 3}} { }
Möglichkeiten, drei Richtige zu haben, und somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 6 } { 3} \cdot \binom { 43 } { 3} }{ \binom { 49 } { 6} } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 \cdot 5 \cdot 4 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } } \cdot { \frac{ 43 \cdot 42 \cdot 41 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } } }{ { \frac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } } } }
{ =} { { \frac{ 5 \cdot 4 \cdot 43 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 } } }
{ =} {{ \frac{ 43 \cdot 41 \cdot 5 }{ 7 \cdot 6 \cdot 47 \cdot 23 \cdot 11 } } }
{ =} {0,0176504 ... }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{\{1,2,3 , \ldots , 143\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.} Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $13$ ist. Sind \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {unabhängig}{}{?}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ 11 k \mid k = 1,2 , \ldots , 13 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { { \left\{ 13 k \mid k = 1,2 , \ldots , 11 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit sind die Wahrscheinlichkeiten gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(E) }
{ = }{ { \frac{ 13 }{ 243 } } }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 11 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(E) }
{ = }{ { \frac{ 11 }{ 243 } } }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 13 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da \mathkor {} {11} {und} {13} {} teilerfremd sind, ist nur die $143$ ein gemeinsamer Teiler der Zahlen in $M$. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E \cap F) }
{ =} { P(\{143\}) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 143 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 143 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 11 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 13 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} liegt Unabhängigkeit vor.

}