Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/10/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 63 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Gerade in Punktvektorform} {}
im
\mathl{K^n}{.}
}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} bezüglich der Standardbasen.
}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Dedekindscher Schnitt} {.}
}{Der \stichwort {trigonometrische Punkt} {}
\mathl{P(\alpha)}{} zu einem Winkel $\alpha$.
}{Ein \stichwort {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Unter einer
Geraden in Punktvektorform
versteht man einen
\definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {P + K v
}
{ =} { { \left\{ P+sv \mid s \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem von $0$ verschiedenen Vektor
\mathl{v \in K^n}{} und einem Aufpunkt
\mathl{P \in K^n}{.}
}{Die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te
\definitionsverweis {Koordinate}{}{}
von
\mathl{\varphi(e_j )}{} bezüglich der Standardbasis $e_i$ des $K^m$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
}{Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine
\definitionsverweis {Relation}{}{,}
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige $x,y,z \in M$} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$x \sim x$.
}{Aus $x \sim y$ folgt $y \sim x$.
}{Aus $x \sim y$ und $y \sim z$ folgt $x \sim z$.
}
}{Unter einem
Dedekindschen Schnitt
versteht man ein Paar
\mathl{(A,B)}{} bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungvier{$A$ und $B$ sind nicht leer.
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \uplus B
}
{ =} {\Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
}{Für jedes
\mathl{x \in A}{} und jedes
\mathl{y \in B}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Zu
\mathl{x \in A}{} gibt es ein
\mathl{x' \in A}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ > }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}{Zu einem Winkel $\alpha$
\zusatzklammer {im Bogenmaß} {} {}
nennt man denjenigen Punkt auf dem
\definitionsverweis {Einheitskreis}{}{,}
den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in
\mathl{(1,0)}{} startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen $\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt
\mathl{P(\alpha)}{} zu diesem Winkel.
}{Unter einem
endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
versteht man eine endliche Menge $M$ zusammen mit einer fixierten
\definitionsverweis {diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{}
\maabb {f} {M} {\R_{\geq 0}
} {.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.}{Der \stichwort {Satz über die Eindeutigkeit des Limes} {} in einem angeordneten Körper $K$.}{Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{}.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x_1 +a_2x_2 + \cdots + a_nx_n
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{.} Es sei $a_1 \neq 0$. Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum
\mathl{K^{n-1}}{,} und zwar über die Abbildungen
\maabbeledisp {} {L} { K^{n-1}
} { \left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {,}
und
\maabbeledisp {} {K^{n-1}} {L
} { \left( x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( \frac{1}{a_1} \left( c- a_2x_2 - \cdots - a_nx_n \right) , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {.}}{Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+2)}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y
}
{ \leq} {-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x
}
{ \leq} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lineares Ungleichungssystem.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lineares Ungleichungssystem.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
a) Wir lösen jeweils nach $y$ auf und erhalten die vier Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq} { -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ \geq} { x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \leq} { { \frac{ 2 }{ 5 } } x + { \frac{ 3 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.
b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen
\zusatzklammer {die zu den Ungleichungen gehören} {} {}
gegeben sind. Diese sind
\mathdisp {(0,0),\, \left( 0 , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } \right), \, \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } \right) ,\, \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } , \, - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{
Es ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix}}{} eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}}{} ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 3 }{ 7 } } \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix} \mid t \in \Q \right\} }} { }
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen anderen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ = }{ y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{\left \lfloor x \right \rfloor, \left \lfloor y \right \rfloor}{} ganze Zahlen sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{\left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganzzahlig. Damit gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y
}
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (y - \left \lfloor y \right \rfloor )
}
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (x - \left \lfloor x \right \rfloor )
}
{ =} { x + \left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { x + n
}
}
{}
{}{.}
Es sei nun
\mathl{y=x+n}{} mit
\mathl{n \in \Z}{.} Aus der definierenden Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ \leq} {x
}
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor +n
}
{ \leq} {x +n
}
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + n+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x+n \right \rfloor
}
{ =} {\left \lfloor x \right \rfloor + n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ =} {x +n - \left \lfloor x+n \right \rfloor
}
{ =} { x+n - ( \left \lfloor x \right \rfloor + n)
}
{ =} { x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{37}}{} in
\mathl{\Z/(89)}{.}
}
{
Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{89
}
{ =} { 2 \cdot 37 + 15
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{37
}
{ =} { 2 \cdot 15 +7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{15
}
{ =} { 2 \cdot 7 +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1
}
{ =} { 15 -2 \cdot 7
}
{ =} { 15- 2 \cdot ( 37- 2 \cdot 15 )
}
{ =} { 5 \cdot 15 - 2 \cdot 37
}
{ =} { 5 \cdot (89-2 \cdot 37) - 2 \cdot 37
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 5 \cdot 89 -12 \cdot 37
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-12
}
{ =} { 77
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das inverse Element zu $37$ in
\mathl{\Z/(89)}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } {.} Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(a+b)
}
{ =} { \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ \neq} { \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \varphi(a) + \varphi(b)
}
}
{}{}{,}
die Abbildung ist also nicht mit der Addition verträglich.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(a \cdot b)
}
{ =} { \begin{pmatrix} a \cdot b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \varphi(a) \cdot \varphi(b)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(1)
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Abbildung bildet also die $1$ auf die $1$ ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$. Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - x \in [a,b] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Intervall.
}
{
Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { [- b ,- a ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Negationsabbildung
\mathl{x \mapsto - x}{} ist streng fallend. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - x \in [a,b] \right\} }
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a \leq - x \leq b \right\} }
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - a \geq - { \left( - x \right) } \geq - b \right\} }
}
{ =} {{ \left\{ x \in K \mid - a\geq x \geq -b \right\} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { [ -b,-a ]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }} { . }
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } -{ \frac{ 3 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 3 } } \cdot 5 + { \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \right) } \sqrt{5}
}
{ =} { { \frac{ 28 }{ 15 } } - { \frac{ 75 }{ 6 } } + { \left( { \frac{ 35 }{ 9 } } - { \frac{ 6 }{ 5 } } \right) } \sqrt{5}
}
{ =} { { \frac{ 56 -375 }{ 30 } } + { \frac{ 175 - 54 }{ 45 } } \cdot \sqrt{5}
}
{ =} { - { \frac{ 319 }{ 30 } } + { \frac{ 121 }{ 45 } } \cdot \sqrt{5}
}
}
{}
{}{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {{ \frac{ 7 n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Für $n \geq 1$ kann man die Folge
\zusatzklammer {durch Erweiterung mit $1/n^4$} {} {} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 7n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } }
}
{ =} { { \frac{ 7-2 { \frac{ 1 }{ n^2 } } +5 { \frac{ 1 }{ n^4 } } }{ 4 -5 { \frac{ 1 }{ n } }+ { \frac{ 1 }{ n^3 } }-6 { \frac{ 1 }{ n^4 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Folgen vom Typ
\mathkor {} {a/n, \, a/n^2,\, a/n^3} {und} {a/n^4} {}
sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $7$ und der Nenner gegen $4$, sodass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen $7/4 \in \Q$ konvergiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} eindeutig bestimmt ist.
}
{
Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte
\mathbed {x,y} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,}
gibt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \defeq }{ \betrag { x-y }
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ \defeq }{ d/3
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0} { }
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_0'$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-y } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0'} { . }
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{\max\{n_0,n_0'\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der
Dreiecksungleichung der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { \betrag { x-y }
}
{ \leq} { \betrag { x-x_n } + \betrag { x_n-y }
}
{ \leq} { \epsilon+ \epsilon
}
{ =} { 2 d/3
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $x \in \R_{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes $\epsilon \in \R,\, \epsilon >0$, gelte $x \leq \epsilon$. Zeige $x = 0$.
}
{
Wir nehmen $x \neq 0$ an. Dann ist $x > 0$. Dann ist auch ${ \frac{ x }{ 2 } } > 0$ und die Voraussetzung, angewandt auf $\epsilon = { \frac{ x }{ 2 } }$, ergibt $x \leq { \frac{ x }{ 2 } }$, woraus sich durch beidseitige Subtraktion von ${ \frac{ x }{ 2 } }$ der Widerspruch ${ \frac{ x }{ 2 } } \leq 0$ ergibt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0{,}7 \overline{41}} { }
gegeben ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0{,}7 \overline{41}
}
{ =} { 0{,}7 + 0{,}0 \overline{41}
}
{ =} { 0{,}7 + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 0{,}\overline{41}
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 41 \cdot 0{,} \overline{01}
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 41 \cdot { \frac{ 1 }{ 99 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 7 }{ 10 } } + { \frac{ 41 }{ 990 } }
}
{ =} { { \frac{ 693+41 }{ 990 } }
}
{ =} { { \frac{ 734 }{ 990 } }
}
{ =} { { \frac{ 367 }{ 495 } }
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.
}
{Geometrisches Mittel/Geometrische Relevanz/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
}
{
Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ a { \left( { \frac{ \pm \sqrt{ b^2 -4ac } -b }{ 2a } } \right) }^2 +b { \left( { \frac{ \pm \sqrt{ b^2 -4ac } -b }{ 2a } } \right) } + c
}
{ =} {a { \frac{ b^2-4ac + \mp 2b \sqrt{ b^2 -4ac } + b^2 }{ 4a^2 } } + { \frac{ \pm b \sqrt{ b^2 -4ac } -b^2 }{ 2a } } +c
}
{ =} { { \frac{ b^2-4ac + \mp 2b \sqrt{ b^2 -4ac } + b^2 \pm 2b \sqrt{ b^2 -4ac } - 2 b^2 +4ac }{ 4a } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.
Im Allgemeinen schreiben wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{aX^2+bX+c
}
{ =} { a { \left( X^2 + { \frac{ b }{ a } } X+ { \frac{ c }{ a } } \right) }
}
{ =} { a { \left( { \left( X + { \frac{ b }{ 2a } } \right) }^2 - { \frac{ b^2 }{ 4a^2 } } + { \frac{ c }{ a } } \right) }
}
{ =} { a { \left( { \left( X + { \frac{ b }{ 2a } } \right) }^2 - { \frac{ b^2-4ac }{ 4a^2 } } \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der rechte Term ist bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^2 -4ac
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^2 -4ac
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat es genau die eine angegebene Nullstelle.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3+bX^2+cX+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein normiertes Polynom über einem Körper $K$. Es seien
\mathl{u,v,w}{} drei
\zusatzklammer {verschiedene} {} {}
Zahlen aus $K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von $P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uvw
}
{ =} {-d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uv+uw+vw
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+v+w
}
{ =} {-b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
erfüllen.
}
{
Nach
Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
ist eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine Nullstelle von $P$, wenn
\mathl{X-u}{} ein Linearfaktor von $P$ ist. Da
\mathl{u,v,w}{} verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von $P$ genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { (X-u)(X-v) (X-w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-u)(X-v) (X-w)
}
{ =} { X^3 - (u+v+w)X^2 + (uv+uw+vw)X- uvw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies stimmt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{X^3+bX^2+cX+d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uvw
}
{ =} {-d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uv+uw+vw
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+v+w
}
{ =} {-b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Fridolin sagt:
\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} { { \frac{ 1 }{ x } }
} {,}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [-1,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{}
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
}
{
Die Funktion ist im Nullpunkt $0$ nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu
\zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.}
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}
-
a) -
b) -
c)
-
d) -
e) -
f)
}
{
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1 : \, b} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1 : \, a} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1 : \, d} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1 : \, e} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1 : \, c} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1 : \, f} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto \zusatzklammer {genau} {} {} drei Richtige hat.
}
{
Wir zählen die Möglichkeiten, also die sechselementigen Teilmengen von
\mathl{\{1 , \ldots , 49\}}{,} die für das in Rede stehende Ereignis günstig sind. Von den getippten sechs Zahlen werden genau drei Zahlen gezogen, dafür gibt es
\mathdisp {\binom { 6 } { 3 }} { }
Möglichkeiten. Wenn diese drei Zahlen als Treffer fixiert sind, so müssen diese drei Zahlen gezogen werden, die drei anderen getippten Zahlen nicht. Dafür gibt es jeweils
\mathdisp {\binom { 43 } { 3 }} { }
Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
\mathdisp {\binom { 6 } { 3 } \cdot \binom { 43 } { 3 }} { }
Möglichkeiten, drei Richtige zu haben, und somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 6 } { 3 } \cdot \binom { 43 } { 3 } }{ \binom { 49 } { 6 } } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 \cdot 5 \cdot 4 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } } \cdot { \frac{ 43 \cdot 42 \cdot 41 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } } }{ { \frac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } } }
}
{ =} { { \frac{ 5 \cdot 4 \cdot 43 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 } }
}
{ =} {{ \frac{ 43 \cdot 41 \cdot 5 }{ 7 \cdot 6 \cdot 47 \cdot 23 \cdot 11 } }
}
{ =} {0,0176504 ...
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{1,2,3 , \ldots , 143\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.}
Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$
ein Vielfaches der $13$ ist. Sind
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {unabhängig}{}{?}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ 11 k \mid k = 1,2 , \ldots , 13 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { { \left\{ 13 k \mid k = 1,2 , \ldots , 11 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit sind die Wahrscheinlichkeiten gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(E)
}
{ = }{ { \frac{ 13 }{ 243 } }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 11 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(E)
}
{ = }{ { \frac{ 11 }{ 243 } }
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 13 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathkor {} {11} {und} {13} {}
teilerfremd sind, ist nur die $143$ ein gemeinsamer Teiler der Zahlen in $M$. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E \cap F)
}
{ =} { P(\{143\})
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 143 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 143 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 11 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 13 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liegt Unabhängigkeit vor.
}