Lösung
- Unter einer
Geraden in Punktvektorform
versteht man einen
affinen Unterraum
der Form
-
mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .
- Die
-
Matrix
-
wobei die -te
Koordinate
von bezüglich der Standardbasis des ist, heißt die beschreibende Matrix zu .
- Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine
Relation,
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
(für beliebige ).
- .
- Aus folgt .
- Aus und folgt .
- Unter einem
Dedekindschen Schnitt
versteht man ein Paar bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
- und sind nicht leer.
-
d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
- Für jedes und jedes ist
.
- Zu gibt es ein mit
.
- Zu einem Winkel
(im Bogenmaß)
nennt man denjenigen Punkt auf dem
Einheitskreis,
den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen lange bewegt, den trigonometrischen Punkt zu diesem Winkel.
- Unter einem
endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
versteht man eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten
diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
- Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper .
- Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
Lösung
- Es sei ein Körper und
-
eine lineare Gleichung über in den Variablen . Es sei . Dann steht die Lösungsmenge der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum , und zwar über die Abbildungen
-
und
-
- Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
- Ein Element
ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
Ein
lineares Ungleichungssystem
sei durch die Ungleichungen
-
-
-
-
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
Lösung
a) Wir lösen jeweils nach auf und erhalten die vier Ungleichungen
-
-
-
-
Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.
b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen
(die zu den Ungleichungen gehören)
gegeben sind. Diese sind
-
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
-
im gegebene Gerade.
Lösung
Es ist eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
-
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
Beweise das
Injektivitätskriterium
für eine
lineare Abbildung
-
Lösung
Lösung
Bestimme das inverse Element zu in .
Lösung
Es sei ein
Körper.
Wir betrachten die Abbildung
-
Welche Eigenschaften eines
Ringhomomorphismus
erfüllt die Abbildung , welche nicht?
Lösung
Es ist
-
die Abbildung ist also nicht mit der Addition verträglich.
Es ist
-
die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.
Es ist
-
die Abbildung bildet also die auf die ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.
Es sei
ein
Intervall
in einem
angeordneten Körper
. Beschreibe die Menge
-
als ein Intervall.
Lösung
Wir behaupten
-
Die Negationsabbildung ist streng fallend. Somit ist
Berechne
-
Lösung
Es ist
Entscheide, ob die
Folge
-
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Lösung
Lösung
Lösung
Bestimme die
rationale Zahl,
die im Dezimalsystem durch
-
gegeben ist.
Lösung
Es ist
Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.
Lösung Geometrisches Mittel/Geometrische Relevanz/Aufgabe/Lösung
Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Lösung
Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist
Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.
Im Allgemeinen schreiben wir
Der rechte Term ist bei
-
stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei
-
hat es genau die eine angegebene Nullstelle.
Es sei
-
ein normiertes Polynom über einem Körper . Es seien drei
(verschiedene)
Zahlen aus . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von sind, wenn sie das Gleichungssystem
-
-
-
erfüllen.
Lösung
Nach
Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
ist eine Zahl genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Linearfaktor von ist. Da verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von genau dann, wenn
-
ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man
-
Dies stimmt mit
genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig
-
-
-
gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.
Lösung
Die Funktion ist im Nullpunkt nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.
Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu
(man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).
-
-
-
-
-
-
Lösung
-
-
-
-
-
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto
(genau)
drei Richtige hat.
Lösung
Wir zählen die Möglichkeiten, also die sechselementigen Teilmengen von , die für das in Rede stehende Ereignis günstig sind. Von den getippten sechs Zahlen werden genau drei Zahlen gezogen, dafür gibt es
-
Möglichkeiten. Wenn diese drei Zahlen als Treffer fixiert sind, so müssen diese drei Zahlen gezogen werden, die drei anderen getippten Zahlen nicht. Dafür gibt es jeweils
-
Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
-
Möglichkeiten, drei Richtige zu haben, und somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich
Wir betrachten den
Wahrscheinlichkeitsraum
mit der
Laplace-Dichte.
Es sei das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist, und das Ereignis, dass eine Zahl aus
ein Vielfaches der ist. Sind
und
unabhängig?
Lösung
Es ist
-
und
-
Somit sind die Wahrscheinlichkeiten gleich
und
.
Da
und
teilerfremd sind, ist nur die ein gemeinsamer Teiler der Zahlen in . Daher ist
-
und wegen
-
liegt Unabhängigkeit vor.