Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 4 2 4 4 3 3 3 2 3 4 2 3 1 5 5 2 2 4 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Gerade in Punktvektorform im .
  2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    bezüglich der Standardbasen.

  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  4. Ein Dedekindscher Schnitt.
  5. Der trigonometrische Punkt zu einem Winkel .
  6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.


Lösung

  1. Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum der Form

    mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .

  2. Die -Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, heißt die beschreibende Matrix zu .

  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
    1. .
    2. Aus folgt .
    3. Aus und folgt .
  4. Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
    1. und sind nicht leer.
    2. d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.

    3. Für jedes und jedes ist .
    4. Zu gibt es ein mit .
  5. Zu einem Winkel (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen lange bewegt, den trigonometrischen Punkt zu diesem Winkel.
  6. Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
  2. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper .
  3. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und

    eine lineare Gleichung über in den Variablen . Es sei . Dann steht die Lösungsmenge der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum , und zwar über die Abbildungen

    und

  2. Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
  3. Ein Element ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.


Lösung

Lineares Ungleichungssystem.png

a) Wir lösen jeweils nach auf und erhalten die vier Ungleichungen

Die zugehörigen Geraden begrenzen dann die Lösungsmenge.

b) Die Eckpunkte sind Schnittpunkte der eingrenzenden Geraden, die durch die Gleichungen (die zu den Ungleichungen gehören) gegeben sind. Diese sind


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Lösung

Es ist eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung


Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen anderen Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Lösung

Es sei . Da ganze Zahlen sind, ist ganzzahlig. Damit gilt

Sei nun mit . Aus der definierenden Beziehung

folgt

daher muss

sein. Somit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

Somit ist

Daher ist

das inverse Element zu in .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?


Lösung

Es ist

die Abbildung ist also nicht mit der Addition verträglich.

Es ist

die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist

die Abbildung bildet also die auf die ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.


Lösung

Wir behaupten

Die Negationsabbildung ist streng fallend. Somit ist


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als

schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.


Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte , ,

gibt. Dann ist . Wir betrachten . Wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

und wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für . Sei mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .


Lösung

Wir nehmen an. Dann ist . Dann ist auch und die Voraussetzung, angewandt auf , ergibt , woraus sich durch beidseitige Subtraktion von der Widerspruch ergibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.


Lösung Geometrisches Mittel/Geometrische Relevanz/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.


Lösung

Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist

Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.

Im Allgemeinen schreiben wir

Der rechte Term ist bei

stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei

hat es genau die eine angegebene Nullstelle.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

ein normiertes Polynom über einem Körper . Es seien drei (verschiedene) Zahlen aus . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von sind, wenn sie das Gleichungssystem

erfüllen.


Lösung

Nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist eine Zahl genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Linearfaktor von ist. Da verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von genau dann, wenn

ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man

Dies stimmt mit genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig

gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.


Aufgabe (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Lösung

Die Funktion ist im Nullpunkt nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).





Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto (genau) drei Richtige hat.


Lösung

Wir zählen die Möglichkeiten, also die sechselementigen Teilmengen von , die für das in Rede stehende Ereignis günstig sind. Von den getippten sechs Zahlen werden genau drei Zahlen gezogen, dafür gibt es

Möglichkeiten. Wenn diese drei Zahlen als Treffer fixiert sind, so müssen diese drei Zahlen gezogen werden, die drei anderen getippten Zahlen nicht. Dafür gibt es jeweils

Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

Möglichkeiten, drei Richtige zu haben, und somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum mit der Laplace-Dichte. Es sei das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist, und das Ereignis, dass eine Zahl aus ein Vielfaches der ist. Sind und unabhängig?


Lösung

Es ist

und

Somit sind die Wahrscheinlichkeiten gleich und . Da und teilerfremd sind, ist nur die ein gemeinsamer Teiler der Zahlen in . Daher ist

und wegen

liegt Unabhängigkeit vor.