Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/2/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 7 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare Gleichung} {} zu einer Variablenmenge
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} über einem Körper $K$.

}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasen} {} {.}

}{Eine \stichwort {Relation} {} auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.

}{Die Zahl $\pi$.

}{Eine \stichwort {diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte} {} auf einer endlichen Menge $M$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Zu
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} nennt man
\mathdisp {a_1x_1 +a_2x_2 + \cdots + a_nx_n =0} { }
eine \zusatzklammer {homogene} {} {} lineare Gleichung in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} über $K$. }{Die $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { (a_{ij})_{ij} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te \definitionsverweis {Koordinate}{}{} von
\mathl{\varphi(e_j )}{} bezüglich der Standardbasis $e_i$ des $K^m$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$. }{Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge
\mathl{M \times M}{,} also
\mathl{R \subseteq M \times M}{.} }{Eine Folge in $M$ ist eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\N} {M } {n} {x_n } {.} }{Unter der Zahl $\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des \definitionsverweis {Einheitskreises}{}{.} }{Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf $M$ ist eine Abbildung \maabbeledisp {f} {M} { \R_{\geq 0} } {x} { f(x) } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{x \in M} f(x) }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.}{Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.}{Der Satz über die Verteilung bei einem $n$-fachen Münzwurf.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$. Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein \zusatzklammer {affiner} {} {} Unterraum des $K^n$. Dabei kann man jede Lösung
\mathl{P \in S}{} als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.}{Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung \zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {} besitzt.}{Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt, beträgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_{ { \frac{ 1 }{ 2 } },n } (k) }
{ =} { { \frac{ \binom { n } { k} }{ 2^n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

}
{

Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} 0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i=1 , \ldots , m$ ist das Nulltupel
\mathl{(0 , \ldots , 0)}{} eine Lösung. Es seien
\mathl{\left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} und
\mathl{\left( y_1 , \, \ldots , \, y_n \right)}{} Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu
\mathl{s \in K}{} ist dann für jedes $i$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( s x_j \right) } }
{ =} { s \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) } }
{ =} { s \cdot 0 }
{ =} {0 }
{ } { }
} {}{}{.} Entsprechend ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( x_j +y_j \right) } }
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( a_{ij} x_j +a_{ij} y_j \right) } }
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) } + { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) } }
{ =} { 0 +0 }
{ =} {0 }
} {} {}{} für alle $i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{

Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - { \frac{ 5 }{ 4 } } & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 12 }{ 11 } } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 4 }{ 11 } } \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 4 }{ 11 } } \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 12 }{ 11 } } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - { \frac{ 5 }{ 4 } } & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe
\mathl{\Z/(n)}{.}

}
{

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist der Restklassenring gleich $\Z$ selbst und kein Körper. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 0 }\, }
{ = }{ \overline{ 1 }\, }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und $1$ ist keine Primzahl. Sei also von nun an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {rs }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit kleineren Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ <} {r,s }
{ <} {n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} bedeutet dies, dass die Restklassen \mathkor {} {\overline{ r }\,} {und} {\overline{ s }\,} {} nicht $0$ sind, dass aber ihr Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ r }\, \overline{ s }\, }
{ =} {\overline{ rs }\, }
{ =} {\overline{ n }\, }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {}{}{} ist. Das kann nach Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) in einem Körper nicht sein.

Sei nun $n$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von $0$ verschiedene Restklasse
\mathbed {\overline{ r }\,} {}
{0 < r < n} {}
{} {} {} {,} ein inverses Element besitzt. Da $n$ prim ist, sind \mathkor {} {r} {und} {n} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ar+bn }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies führt im Restklassenring zur Identität
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \overline{ 1 }\, }
{ =} { \overline{ ar +bn }\, }
{ =} { \overline{ a }\, \overline{ r }\, + \overline{ b }\, \overline{ n }\, }
{ =} { \overline{ a }\, \overline{ r }\, }
{ } { }
} {} {}{,} die besagt, dass \mathkor {} {\overline{ r }\,} {und} {\overline{ a }\,} {} invers zueinander sind.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Drücke
\mathdisp {\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{7} }
{ =} { 4^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } \cdot 7^{ { \frac{ 1 }{ 5 } } } }
{ =} { { \left( 4^5 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 15 } } } \cdot { \left( 7^3 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 15 } } } }
{ =} { 1024^{ \frac{ 1 }{ 15 } } \cdot 343^{ \frac{ 1 }{ 15 } } }
{ =} { 351232^{ \frac{ 1 }{ 15 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sqrt[15]{351232 } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \begin{cases} { \frac{ 1 }{ k } } ,\, \text{ falls } n = 2^k \text{ mit } k \in \N_+ \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. \aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_1}{} und
\mathl{x_{8}}{.} } {Konvergiert die Folge in $\Q$? }

}
{

\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da zwar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ = }{2^0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} aber
\mathl{0 \notin \N_+}{} ist, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_8 }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Die Folge konvergiert gegen $0$. Zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mathl{k \in \N_+}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ k } } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n_0 }
{ =} {2^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt dann für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k } } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} zwei \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} mit
\mathl{x_n \geq y_n}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass dann
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n \geq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n}{} gilt.

}
{

Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} angenommen. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta }
{ \defeq} { y-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot \delta }
{ >} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann sind die $\epsilon$-Umgebungen \mathkor {} {[x-\epsilon, x+ \epsilon]} {und} {[ y -\epsilon, y + \epsilon]} {} disjunkt. Zu diesem $\epsilon$ gibt es ein \zusatzklammer {gemeinsames} {} {} $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Folgenglieder $x_n \in [x-\epsilon, x+ \epsilon]$ und die Folgenglieder $y_n \in [y -\epsilon, y+ \epsilon]$ liegen. Somit ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \leq} { x + \epsilon }
{ <} { y- \epsilon }
{ \leq} { y_n }
{ } { }
} {}{}{,} ein Widerspruch zur Voraussetzung.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Bestimme die Glieder $x_1,x_2$ der \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startglied
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_0 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Finde ganze Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a,b }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a+b \sqrt{3} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{

\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ =} { { \frac{ 1+3 }{ 2 } } }
{ =} { 2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2 }
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Von der Approximation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} }
{ \sim} { { \frac{ 7 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} her betrachten wir
\mathl{7 - 4 \sqrt{3}}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{49 }
{ =} {7^2 }
{ >} { (4 \sqrt{3})^2 }
{ =} { 48 }
{ } { }
} {}{}{} ist diese Zahl positiv. Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7 -4 \sqrt{3} }
{ \leq} { 0,1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6,9 }
{ \leq} { 4 \sqrt{3} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (6,9)^2 }
{ =} { 47,61 }
{ \leq} {48 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist dies richtig. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {{ \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit $n \geq 1$} {} {} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{

Wir erweitern mit
\mathl{n^{- { \frac{ 5 }{ 3 } } }}{} und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x_n }
{ =} {{ \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } } }
{ =} {{ \frac{ 5n^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } - { \frac{ 5 }{ 3 } } }+4 n^{ { \frac{ 4 }{ 3 } } - { \frac{ 5 }{ 3 } } } +n^{1 - { \frac{ 5 }{ 3 } } } }{ 7n^{ { \frac{ 5 }{ 3 } } - { \frac{ 5 }{ 3 } } } +6 n^{ { \frac{ 3 }{ 2 } }- { \frac{ 5 }{ 3 } } } } } }
{ =} { { \frac{ 5n^{ - { \frac{ 1 }{ 6 } } }+4 n^{- { \frac{ 1 }{ 3 } } } +n^{ - { \frac{ 2 }{ 3 } } } }{ 7+6 n^{ - { \frac{ 1 }{ 6 } } } } } }
{ } { }
} {} {}{.} Folgen der Form
\mathl{n^{- q }}{,}
\mathl{q \in \Q_+}{,} konvergieren gegen
\mathl{0}{,} nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen
\mathl{0}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{

Es seien \maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R } {} Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f }
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f }
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gelten muss.

}
{

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für
\mathl{x \in \R}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( h \cdot g \right) } \circ f \right) } (x) }
{ =} { { \left( h \cdot g \right) } { \left( f (x) \right) } }
{ =} { h(f(x)) \cdot g(f(x)) }
{ =} { { \left( h \circ f \right) } (x) \cdot { \left( g \circ f \right) } (x) }
{ =} { { \left( { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } \right) } (x) }
} {} {}{,} was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für
\mathl{f,g,h}{} jeweils die Identität, also die Abbildung
\mathl{x \mapsto x}{.} Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren
\mathl{x \mapsto x^2}{.} Daher ist in diesem Beispiel die Funktion
\mathdisp {{ \left( h \circ g \right) } \cdot f} { }
gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion
\mathdisp {{ \left( h\cdot f \right) } \circ { \left( g\cdot f \right) }} { }
hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung
\mathl{x \mapsto { \left( x^2 \right) }^2 =x^4}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+4+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^3-X^2-5X+6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Finde eine ganzzahlige Nullstelle von $P$. }{Finde sämtliche reellen Nullstellen von $P$. }{Bestimme eine Zerlegung von $P$ in Linearfaktoren. }

}
{

\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(2) }
{ =} { 8-4-10+6 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} somit ist $2$ eine Nullstelle von $P$. }{Mit einer Division mit Rest ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-X^2-5X+6 }
{ =} { (X-2)(X^2+X-3) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es geht also noch um die Nullstellen von $X^2+X-3$. Diese sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{1,2} }
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{ 1+12 }- 1 }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{ 13 }- 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { (X-2) { \left( X - { \frac{ \sqrt{ 13 }- 1 }{ 2 } } \right) } { \left( X + { \frac{ \sqrt{ 13 } + 1 }{ 2 } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{

Ein Schüler fragt: \anfuehrung{Ist
\mathl{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{} auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?}{} \aufzaehlungdrei{Was ist Ihre Antwort? }{Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein? }{Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort? }

}
{Schülerfrage/Summe von Quadratwurzeln/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \geq }{g(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b) }
{ \leq }{g(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen Punkt
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c) }
{ = }{g(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{

Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x) }
{ \defeq} {f(x) -g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Funktion ist nach Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) wieder stetig und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(a) }
{ =} {f(a) -g(a) }
{ \geq} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(b) }
{ =} {f(b) - g(b) }
{ \leq} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(c) }
{ =} {0 }
{ =} {f(c) -g(c) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(c) }
{ =} {g(c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Geraden.

}
{

Der Einheitskreis ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Darin setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+ { \frac{ 1 }{ 49 } } }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 }
{ =} { { \frac{ 48 }{ 49 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2} }
{ =} { \pm { \frac{ \sqrt{ 48 } }{ 7 } } }
{ =} { \pm { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } } }
{ } { }
{ } {}
} {} {}{.} Die Schnittpunkte sind also \mathkor {} {\left( { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } } , \, { \frac{ 1 }{ 7 } } \right)} {und} {\left( - { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } } , \, { \frac{ 1 }{ 7 } } \right)} {.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe $25$ ergibt.

}
{

Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2+3+4+5+6+7 }
{ =} { 27 }
{ >} {25 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} muss auf jeden Fall die $1$ und die $2$ gezogen werden. Wenn die $3$ nicht gezogen wird, so ist die einzige Möglichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+4+5+6+7 }
{ =} {25 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn die $4$ nicht gezogen wird, so muss die $5$ gezogen werden, und es ergibt sich die einzige Möglichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+3+5+6+8 }
{ =} {25 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn
\mathl{1,2,3,4}{} gezogen werden, so verbleiben die Möglichkeiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+3+4+6+9 }
{ =} {25 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+3+4+7+8 }
{ =} {25 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+3+4+5+10 }
{ =} {25 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es gibt also fünf Ziehmöglichkeiten, die die Summenbedingung erfüllen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis ist demnach gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ \binom { 49 } { 6} } } }
{ \cong} { { \frac{ 5 }{ 14 000 000 } } }
{ \cong} { { \frac{ 1 }{ 2 800 000 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $A$ das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei $B$ das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?

}
{

Das Ereignis $A$ hat die Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1024 } }}{.} Für das Ereignis $B$ haben wir die \zusatzklammer {groben} {} {} Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(B) }
{ =} { \sum_{k = 0}^{10} { \frac{ \binom { 100 } { k} }{ 2^{100} } } }
{ \leq} { 11 \cdot { \frac{ \binom { 100 } { 10} }{ 2^{100} } } }
{ =} {11 \cdot { \frac{ \,\, { \frac{ 100 \cdot 99 \cdots 91 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } } \, \, }{ 2^{100} } } }
{ \leq} { { \frac{ 11 \cdot 100^{10} }{ 2^{100} } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \frac{ 100^{11} }{ 2^{100} } } }
{ \leq} { { \frac{ 10^{22} }{ { \left( 2^{10} \right) }^{10} } } }
{ \leq} { { \frac{ 10^{22} }{ { \left( 10^{3} \right) }^{10} } } }
{ =} { { \frac{ 10^{22} }{ 10^{30} } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10^{8} } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.} Das Ereignis $A$ ist also wahrscheinlicher.

}