Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 4 4 7 2 3 4 5 3 5 6 3 3 2 3 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare Gleichung zu einer Variablenmenge über einem Körper .
  2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    (bezüglich der Standardbasen).

  3. Eine Relation auf einer Menge .
  4. Eine Folge in einer Menge .
  5. Die Zahl .
  6. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer endlichen Menge .


Lösung

  1. Zu nennt man

    eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen über .

  2. Die -Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, heißt die beschreibende Matrix zu .

  3. Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
  4. Eine Folge in ist eine Abbildung
  5. Unter der Zahl versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
  6. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf ist eine Abbildung

    mit


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
  2. Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
  3. Der Satz über die Verteilung bei einem -fachen Münzwurf.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und

    ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über . Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum

    des . Dabei kann man jede Lösung als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
  2. Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem - fachen Münzwurf genau -fach Kopf fällt, beträgt


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Lösung

Wegen

für alle ist das Nulltupel eine Lösung. Es seien und Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ist dann für jedes

Entsprechend ist

für alle . Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Lösung

Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist

Somit ist insgesamt


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe .


Lösung

Bei ist der Restklassenring gleich selbst und kein Körper. Bei besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist . Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ist keine Primzahl. Sei also von nun an . Wenn keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung

mit kleineren Zahlen

Im Restklassenring bedeutet dies, dass die Restklassen und nicht sind, dass aber ihr Produkt

ist. Das kann nach Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) in einem Körper nicht sein.

Sei nun eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von verschiedene Restklasse , , ein inverses Element besitzt. Da prim ist, sind und teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen mit

Dies führt im Restklassenring zur Identität

die besagt, dass und invers zueinander sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Die Folge sei durch

definiert.

  1. Bestimme und .
  2. Konvergiert die Folge in ?


Lösung

  1. Es ist , da zwar , aber ist, und .
  2. Die Folge konvergiert gegen . Zu gegebenem gibt es ein mit

    Mit

    gilt dann für alle die Abschätzung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Lösung

Es seien und die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

angenommen. Wir setzen

und

Dann sind die -Umgebungen und disjunkt. Zu diesem gibt es ein (gemeinsames) derart, dass für alle die Folgenglieder und die Folgenglieder liegen. Somit ergibt sich

ein Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Glieder der Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startglied
  2. Finde ganze Zahlen

    mit


Lösung

  1. Es ist

    und

  2. Von der Approximation

    her betrachten wir . Wegen

    ist diese Zahl positiv. Wir behaupten

    Dies ist äquivalent zu

    Wegen

    ist dies richtig.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern mit und erhalten

Folgen der Form , , konvergieren gegen , nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen .


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Lösung

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für ist

was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für jeweils die Identität, also die Abbildung . Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren . Daher ist in diesem Beispiel die Funktion

gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion

hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung .


Aufgabe (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von .
  2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von .
  3. Bestimme eine Zerlegung von in Linearfaktoren.


Lösung

  1. Es ist

    somit ist eine Nullstelle von .

  2. Mit einer Division mit Rest ergibt sich

    Es geht also noch um die Nullstellen von . Diese sind

  3. Es ist


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Ein Schüler fragt: „Ist auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?“

  1. Was ist Ihre Antwort?
  2. Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein?
  3. Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort?


Lösung Schülerfrage/Summe von Quadratwurzeln/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Lösung

Wir betrachten

Diese Funktion ist nach Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) wieder stetig und es ist

und

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein mit

also ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

gegebenen Geraden.


Lösung

Der Einheitskreis ist durch

gegeben. Darin setzen wir

ein und erhalten

Also ist

und damit

Die Schnittpunkte sind also und .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe ergibt.


Lösung

Wegen

muss auf jeden Fall die und die gezogen werden. Wenn die nicht gezogen wird, so ist die einzige Möglichkeit

Wenn die nicht gezogen wird, so muss die gezogen werden, und es ergibt sich die einzige Möglichkeit

Wenn gezogen werden, so verbleiben die Möglichkeiten

Es gibt also fünf Ziehmöglichkeiten, die die Summenbedingung erfüllen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis ist demnach gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?


Lösung

Das Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit . Für das Ereignis haben wir die (groben) Abschätzungen

Das Ereignis ist also wahrscheinlicher.