Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/28/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	7	0	0	0	0	8	0	0	4	0	2	0	0	3	30

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.

1. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
2. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
3. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
4. Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}c\in K_{+}$. Zu einem positiven ${}y_{0}\in K_{+}$ betrachten wir die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die durch die Rekursionsvorschrift

${}y_{n+1}:={\frac {y_{n}+2c+{\frac {c^{2}}{y_{n}}}}{4}}\,$

definiert sei.

1. Berechne die Glieder ${}y_{1},y_{2}$ zu ${}c=5$ und ${}y_{0}=1$.
2. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ zum positiven Startwert ${}x_{0}$, der

   ${}x_{0}^{2}=y_{0}\,$

   erfülle. Zeige

   ${}y_{n}=x_{n}^{2}\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

3. Zeige, dass ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}c$ konvergiert (und zwar unabhängig davon, ob es in ${}K$ eine Quadratwurzel von ${}c$ gibt).

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

$f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$. Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Vereinfache den Term

${\frac {{\sqrt {8}}^{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}^{\sqrt {8}}}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine typische Fehlvorstellung, die man zum Zahlenstrahl haben kann. Wie kann man diese erkennen und gegebenenfalls ausräumen?