Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/3/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 1 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 65 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}

}{Ein \stichwort {Repräsentantensystem} {} zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$.

}{Die \stichwort {Eulersche Zahl} {.}

}{Der \stichwort {Sinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.

}{Ein \stichwort {Laplace-Raum} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
\mathdisp {AB} { }
diejenige
\mathl{m\times p}{-}Matrix, deren Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik} }
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{jk} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben sind. }{Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede \definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{} genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt. }{Eine \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n,m \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Die Eulersche Zahl ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. }{Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter
\mathl{\sin \alpha}{} die zweite Koordinate des \definitionsverweis {trigonometrischen Punktes}{}{} $P(\alpha)$. }{Ein Laplace-Raum ist eine \definitionsverweis {endliche Menge}{}{} $M$ zusammen mit derjenigen \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{} \maabbdisp {\lambda} {M} { \R_{\geq 0} } {,} die jedem Element
\mathl{x \in M}{} den konstanten Wert
\mathl{{ \frac{ 1 }{ { \# \left( M \right) } } }}{} zuweist. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}}{Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.}{Der \stichwort {Satz von Vieta} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{m,n \in \N}{.} Es seien
\mathbed {w_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} Elemente in $K^m$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} mit
\mathdisp {\varphi(e_i) = w_i \text { für alle } i = 1 , \ldots , n} { , }
wobei $e_i$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha_i$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl $q$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { q^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt $n$ keine $k$-te Wurzel.}{Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+px+q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben und es seien \mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {} die Lösungen. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 +x_2 }
{ =} {- p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 \cdot x_2 }
{ =} {q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{

\matabellezweisechs {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 0 & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & 0 \\ -{ \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & { \frac{ 3 }{ 2 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 & 0 \\ - { \frac{ 1 }{ 2 } } & -1 & 3 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 2 } } & 2 & -6 \\ - { \frac{ 1 }{ 2 } } & -1 & 3 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix} } }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass die folgende Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 7 \text{ ein Teiler von } x-y \text{ ist}} { . }

}
{

Es ist $7$ ein Teiler von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {x-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was die Reflexivität bedeutet. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies bedeutet, dass $7$ ein Teiler von
\mathl{x-y}{} ist, was wiederum bedeutet, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y }
{ =} { 7 \cdot c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem gewissen
\mathl{c \in \Z}{} ist. Durch Multiplikation mit $-1$ erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-x }
{ =} { - (x-y) }
{ =} { 7 \cdot (- c) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist $7$ auch ein Teiler von
\mathl{y-x}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \sim }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \sim }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y }
{ =} { 7c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-z }
{ =} { 7 d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit gewissen
\mathl{c,d \in \Z}{.} Insgesamt ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-z }
{ =} {(x-y) +(y-z) }
{ =} {7c+7d }
{ =} {7 (c+d) }
{ } { }
} {}{}{,} so dass auch
\mathl{x-z}{} ein Vielfaches von $7$ ist. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind? } {Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind? }

}
{

\aufzaehlungzwei {Die Zahlen
\mathl{3,13,23}{} sind Primzahlen. } {Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x, x+10, x+20$ bei Division durch $3$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich
\mathl{r+1}{} bzw.
\mathl{r+2}{.} Somit muss eine der drei Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $3$ sein. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {.}

}
{

Wenn $\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element
\mathl{h \in H}{} höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_G$ auf $e_H$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_H$ gehen, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ker \varphi }
{ = }{ \{e_G\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass
\mathl{g, \tilde{g} \in G}{} beide auf
\mathl{h \in H}{} geschickt werden. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g \tilde{g}^{-1} \right) } }
{ =} {\varphi(g) \varphi (\tilde{g})^{-1} }
{ =} {h h^{-1} }
{ =} {e_H }
{ } { }
} {}{}{} und damit ist
\mathl{g \tilde{g}^{-1} \in \ker \varphi}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \tilde{g}^{-1} }
{ = }{ e_G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach Voraussetzung und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ = }{\tilde{g} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei
\mathl{c \in K_+}{} ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert
\mathl{x_0 \in K_+}{.} Sei
\mathl{u \in K_+}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{c \cdot u^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0 }
{ = }{ u x_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ =} {u x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{n\in \N}{.}

}
{

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ =} {ux_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_{n+1} }
{ =} { { \frac{ y_n + { \frac{ d }{ y_n } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ u x_n + { \frac{ u^2 c }{ u x_n } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ u x_n + u \cdot { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } } }
{ =} { u \cdot { \frac{ x_n + { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { u \cdot x_{n+1} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Ist die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 11 } } }} { }
rational?

}
{

Da $11$ eine Primzahl ist, so ist nach Satz 42.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) $\sqrt{11}$ irrational und dies überträgt sich auf den Kehrwert.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B }
{ \defeq} { \max_{n <n_0}\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die in einem größeren angeordneten Körper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq} {L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht konvergiert.

}
{

Die Folge der Stammbrüche
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }, n \in \N_+}{,} konvergiert in $\Q$ gegen $0$. Es gibt aber nichtarchimedisch angeordnete Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subset }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} In einem solchen nichtarchimedisch angeordneten Körper konvergiert diese Folge nicht, da es dort positive $\epsilon$ gibt, die kleiner als jeder Stammbruch sind.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Schreibe die Menge
\mathdisp {]-3,-2[ \, \cup \, \{7\} \, \cup \, { \left( [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ] \right) } \, \cup \, [1, { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [- { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 6 }{ 5 } } [ \, \cup \, { \left(\, ]-7,-6] \cap \R_+ \right) }} { }
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

}
{

Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ] }
{ =} {[- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 4 }{ 3 } } ] \, \cup \, ] - 1 , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist die Gesamtmenge gleich
\mathdisp {]-3, - { \frac{ 4 }{ 3 } } ] \, \cup \, [- { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [7,7]} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-5x-9 } {.}

}
{

Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x) }
{ =} {x^2-5x-9 }
{ =} { { \left( x- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 25 }{ 4 } } -9 }
{ =} { { \left( x- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 61 }{ 4 } } }
{ } { }
} {} {}{.} Daher ist die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ { \frac{ 5 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.

}
{

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den \definitionsverweis {Grad}{}{} von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist \mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {} eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (TP) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist \zusatzklammer {da \mathlk{T \neq 0}{} und $K$ ein Körper ist} {} {} \mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {} eine Lösung. Sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P) }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben \mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {} mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P' }
{ \defeq} { P-TH }
{ =} { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n}{b_k} b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n}{b_k} b_{0} \right) } X^{n-k} + a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0 }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt \mathkor {} {Q'} {und} {R'} {} mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, (T) \text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {P'+TH }
{ =} {TQ'+TH+R' }
{ =} {T(Q'+H)+R' }
{ } {}
} {}{}{,} so dass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q'+H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{R' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Lösung ist. \teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ TQ+R }
{ = }{ TQ'+R' }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q') }
{ = }{ R'-R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{R' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} lösbar.}
{}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{z \in \R}{} derart, dass es ein Polynom $P \neq 0$ mit rationalen Koeffizienten und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(z) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. Zeige, dass man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { { \frac{ u }{ v } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben kann, wobei $v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu $u$ ein normiertes Polynom $Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(u) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { c_n X^n + \cdots + c_2X^2 +c_1X+c_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i }
{ = }{ { \frac{ a_i }{ b_i } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mathl{a_i, b_i \in \Z}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_i }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir multiplizieren dieses Polynom mit
\mathl{c_n^{-1}}{} und können somit annehmen, dass $P$ normiert ist. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b }
{ =} { b_0b_1 \cdots b_{n-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P (z) }
{ =} { z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots + c_2 z^2 +c_1z +c_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich durch Multiplikation mit $b^n$ direkt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0 }
{ =} { b^n { \left( z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots + c_2 z^2 +c_1z +c_0 \right) } }
{ =} { b^nz^n + b^n c_{n-1}z^{n-1} + \cdots + b^n c_2 z^2 + b^nc_1z + b^nc_0 }
{ =} { b^nz^n + b c_{n-1} b^{n-1}z^{n-1} + \cdots + b^{n-2} c_2 b^2 z^2 + b^{n-1} c_1 b z + b^n c_0 }
{ =} { (bz)^n+ b c_{n-1} (bz)^{n-1} + \cdots + b^{n-2} c_2 ( bz)^2 + b^{n-1} c_1 (b z) + b^n c_0 }
} {} {}{.} Dies bedeutet, dass
\mathl{bz}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q }
{ =} { X^n+ b c_{n-1} X^{n-1} + \cdots + b^{n-2} c_2 X^2 + b^{n-1} c_1 X + b^n c_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^{n-i} c_i }
{ =} { { \left( b_0 b_1 \cdots b_{n-1} \right) }^{n-i} { \frac{ a_i }{ b_i } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { { \frac{ bz }{ b } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{b \in \N}{} und der Zähler
\mathl{bz}{} ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (1+1+3)}
{

Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {1+X + { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } X^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Berechne die Werte von $P$ an den Stellen
\mathl{-2,-1,0,1,2}{.} }{Skizziere den Graphen von $P$ auf dem Intervall
\mathl{[-2,2]}{.} Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion $e^x$? }{Bestimme eine Nullstelle von $P$ innerhalb von
\mathl{[-2,2]}{} mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.} }

}
{

\aufzaehlungdrei{\wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {-2} {-1} {0} {1} {2} }
{ $P(x)$ }
{\mazeileundfuenf { - { \frac{ 1 }{ 3 } } } { { \frac{ 1 }{ 3 } } } {1} { { \frac{ 8 }{ 3 } } } { { \frac{ 19 }{ 3 } } } } }{Da die Exponentialfunktion $e^x$ die Reihendarstellung
\mathl{\sum_{k = 0}^\infty { \frac{ x^k }{ k! } }}{} besizt, handelt es sich bei $P$ um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt. }{Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss $P$ eine Nullstelle zwischen \mathkor {} {-2} {und} {-1} {} besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q }
{ =} {6 P }
{ =} {6+6x +3x^2+x^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q (- { \frac{ 3 }{ 2 } } ) }
{ =} {6 -6 \cdot { \frac{ 3 }{ 2 } } + 3 { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 + { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^3 }
{ =} { 6-9 + { \frac{ 27 }{ 4 } } - { \frac{ 27 }{ 8 } } }
{ =} { -3 + { \frac{ 27 }{ 8 } } }
{ >} { 0 }
} {} {}{.} Die Nullstelle muss also zwischen \mathkor {} {-2} {und} {- { \frac{ 3 }{ 2 } }} {} liegen. } Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q (- { \frac{ 7 }{ 4 } } ) }
{ =} {6 -6 \cdot { \frac{ 7 }{ 4 } } + 3 { \left( - { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^2 + { \left( - { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^3 }
{ =} { 6- { \frac{ 21 }{ 2 } } + { \frac{ 3 \cdot 49 }{ 16 } } - { \frac{ 343 }{ 64 } } }
{ =} { - { \frac{ 9 }{ 2 } } + { \frac{ 588-343 }{ 64 } } }
{ =} { - { \frac{ 288 }{ 64 } } + { \frac{ 245 }{ 64 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ <} { 0 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Also liegt eine Nullstelle im Intervall
\mathl{[ - { \frac{ 7 }{ 4 } }, - { \frac{ 3 }{ 2 } } ]}{} der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise \mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,} wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.

}
{

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-3)^2 + (y-4)^2 }
{ =} { x^2 - 6x +y^2 -8 y +25 }
{ =} {36 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+8)^2 + (y-1)^2 }
{ =} { x^2 + 16x +y^2 -2 y + 65 }
{ =} {49 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 22x + 6y +40 }
{ =} { 13 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x^2 -6x + { \left( { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } \right) }^2 -8 { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } -11 }
{ =} { x^2 + { \frac{ 121 }{ 9 } }x^2 -6x + 33 x + { \frac{ 81 }{ 4 } } + { \frac{ 88 }{ 3 } } x + 36 -11 }
{ =} { { \frac{ 130 }{ 9 } } x^2 + { \frac{ 169 }{ 3 } } x + { \frac{ 181 }{ 4 } } }
{ =} {0 }
{ } { }
} {} {}{.} Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2} }
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 169 }{ 3 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 28561 }{ 9 } } -4 \cdot { \frac{ 130 }{ 9 } } \cdot { \frac{ 181 }{ 4 } } } }{ { \frac{ 260 }{ 9 } } } } }
{ =} { { \frac{ -169 \pm \sqrt{ 28561 - 130 \cdot 181 } }{ { \frac{ 260 }{ 3 } } } } }
{ =} { { \frac{ -3 \cdot 169 \pm 3 \sqrt{ 28561 - 23530 } }{ 260 } } }
{ =} { { \frac{ - 507 \pm 3 \sqrt{ 5031 } }{ 260 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ - 507 \pm 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_1 }
{ =} { { \frac{ -22 x_1-27 }{ 6 } } }
{ =} { { \frac{ -22 { \frac{ - 507 +9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } -27 }{ 6 } } }
{ =} { -11 { \frac{ - 169 + 3 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } } }
{ =} { - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 11 \cdot 13 }{ 20 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_2 }
{ =} { { \frac{ -22 x_2-27 }{ 6 } } }
{ =} { { \frac{ -22 { \frac{ - 507 - 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } -27 }{ 6 } } }
{ =} { -11 { \frac{ - 169 - 3 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 11 \cdot 13 }{ 20 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Die Schnittpunkte sind also
\mathdisp {\left( { \frac{ - 507 + 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } , \, - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } \right)} { }
und
\mathdisp {\left( { \frac{ - 507 - 9\sqrt{ 559 } }{ 260 } } , \, { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } \right)} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
\mathl{x,y}{} aus
\mathl{\{1,2 , \ldots , 10\}}{} gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy }
{ \geq} {48 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{

Jedes Paar
\mathl{(x,y)}{} besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${ \frac{ 1 }{ 100 } }$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy }
{ \geq} { 48 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für $y$ bei gegebenem $x$ gibt. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es für $y$ die Möglichkeiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {5,6,7,8,9,10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also insgesamt $6$ Möglichkeiten. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $4$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $3$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $1$ Möglichkeit für $y$. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6+5+5+4+3+1 }
{ =} { 24 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest $48$ ist, den Wert
\mathl{{ \frac{ 24 }{ 100 } } ={ \frac{ 6 }{ 25 } }}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Ereignisse mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(A \cap B) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(A),P(B) }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ P( B {{|}} A) }{ P( M \setminus B {{|}} A) } } }
{ =} { { \frac{ P( B ) }{ P( M \setminus B ) } } \cdot { \frac{ P( A {{|}} B) }{ P( A {{|}} M \setminus B ) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Nach der Bayesschen Formel gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P( B {{|}} A ) }
{ =} { { \frac{ P(B) \cdot P( A {{|}} B ) }{ P(B) \cdot P( A {{|}} B ) + P(M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und ebenso unter Verwendung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M \setminus { \left( M \setminus B \right) } }
{ = }{ B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P( M \setminus B {{|}} A ) }
{ =} { { \frac{ P( M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) }{ P( M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) + P( B) \cdot P( A {{|}} B ) } } }
{ =} { { \frac{ P( M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) }{ P(B) \cdot P( A {{|}} B ) + P(M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) } } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Somit gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ P( B {{|}} A) }{ P( M \setminus B {{|}} A) } } }
{ =} { { \frac{ P( B ) \cdot P( A {{|}} B) }{ P( M \setminus B ) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) } } }
{ =} { { \frac{ P( B ) }{ P( M \setminus B ) } } \cdot { \frac{ P( A {{|}} B) }{ P( A {{|}} M \setminus B ) } } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.}

}