Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 65 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Ein \stichwort {Repräsentantensystem} {} zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Die \stichwort {Eulersche Zahl} {.}
}{Der \stichwort {Sinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.
}{Ein \stichwort {Laplace-Raum} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
\mathdisp {AB} { }
diejenige
\mathl{m\times p}{-}Matrix, deren Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
}{Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede
\definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{}
genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
}{Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n,m \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Die Eulersche Zahl ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter
\mathl{\sin \alpha}{} die zweite Koordinate des
\definitionsverweis {trigonometrischen Punktes}{}{}
$P(\alpha)$.
}{Ein Laplace-Raum ist eine
\definitionsverweis {endliche Menge}{}{}
$M$ zusammen mit derjenigen
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{}
\maabbdisp {\lambda} {M} { \R_{\geq 0}
} {,}
die jedem Element
\mathl{x \in M}{} den konstanten Wert
\mathl{{ \frac{ 1 }{ { \# \left( M \right) } } }}{} zuweist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}}{Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.}{Der \stichwort {Satz von Vieta} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{m,n \in \N}{.} Es seien
\mathbed {w_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
Elemente in $K^m$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
mit
\mathdisp {\varphi(e_i) = w_i \text { für alle } i = 1 , \ldots , n} { , }
wobei $e_i$ den $i$-ten Standardvektor bezeichnet.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha_i$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl $q$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { q^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt $n$ keine $k$-te Wurzel.}{Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+px+q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben und es seien
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
die Lösungen. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 +x_2
}
{ =} {- p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 \cdot x_2
}
{ =} {q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweisechs {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 0 & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & 0 \\ -{ \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & { \frac{ 3 }{ 2 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 & 0 \\ - { \frac{ 1 }{ 2 } } & -1 & 3 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 2 } } & 2 & -6 \\ - { \frac{ 1 }{ 2 } } & -1 & 3 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass die folgende Relation eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 7 \text{ ein Teiler von } x-y \text{ ist}} { . }
}
{
Es ist $7$ ein Teiler von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {x-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was die Reflexivität bedeutet. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass $7$ ein Teiler von
\mathl{x-y}{} ist, was wiederum bedeutet, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y
}
{ =} { 7 \cdot c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen
\mathl{c \in \Z}{} ist. Durch Multiplikation mit $-1$ erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-x
}
{ =} { - (x-y)
}
{ =} { 7 \cdot (- c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist $7$ auch ein Teiler von
\mathl{y-x}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y
}
{ =} { 7c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-z
}
{ =} { 7 d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit gewissen
\mathl{c,d \in \Z}{.} Insgesamt ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-z
}
{ =} {(x-y) +(y-z)
}
{ =} {7c+7d
}
{ =} {7 (c+d)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass auch
\mathl{x-z}{} ein Vielfaches von $7$ ist. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind?
} {Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Zahlen
\mathl{3,13,23}{} sind Primzahlen.
} {Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von $x, x+10, x+20$ bei Division durch $3$. Wenn $r$ der Rest von $x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich
\mathl{r+1}{} bzw.
\mathl{r+2}{.} Somit muss eine der drei Zahlen den Rest $0$ besitzen, also ein Vielfaches von $3$ sein. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {.}
}
{
Wenn $\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_G$ auf $e_H$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_H$ gehen, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ker \varphi
}
{ = }{ \{e_G\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g, \tilde{g}
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beide auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geschickt werden. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g \tilde{g}^{-1} \right) }
}
{ =} { \varphi(g) \varphi (\tilde{g})^{-1}
}
{ =} { h h^{-1}
}
{ =} { e_H
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \tilde{g}^{-1}
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \tilde{g}^{-1}
}
{ = }{ e_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach Voraussetzung und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{\tilde{g}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{c \in K_+}{} ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert
\mathl{x_0 \in K_+}{.} Es sei
\mathl{u \in K_+}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{c \cdot u^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{ u x_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {u x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n\in \N}{.}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {ux_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ y_n + { \frac{ d }{ y_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ u x_n + { \frac{ u^2 c }{ u x_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ u x_n + u \cdot { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { u \cdot { \frac{ x_n + { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { u \cdot x_{n+1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Ist die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 11 } } }} { }
rational?
}
{
Da $11$ eine Primzahl ist, so ist nach Satz 42.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) $\sqrt{11}$ irrational und dies überträgt sich auf den Kehrwert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \max_{n <n_0}\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$, die in einem größeren angeordneten Körper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht konvergiert.
}
{
Die Folge der Stammbrüche
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }, n \in \N_+}{,} konvergiert in $\Q$ gegen $0$. Es gibt aber nichtarchimedisch angeordnete Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In einem solchen nichtarchimedisch angeordneten Körper konvergiert diese Folge nicht, da es dort positive $\epsilon$ gibt, die kleiner als jeder Stammbruch sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Schreibe die Menge
\mathdisp {]-3,-2[ \, \cup \, \{7\} \, \cup \, { \left( [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ] \right) } \, \cup \, [1, { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [- { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 6 }{ 5 } } [ \, \cup \, { \left( \, ]-7,-6] \cap \R_+ \right) }} { }
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
}
{
Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ]
}
{ =} {[- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 4 }{ 3 } } ] \, \cup \, ] - 1 , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die Gesamtmenge gleich
\mathdisp {]-3, - { \frac{ 4 }{ 3 } } ] \, \cup \, ]- 1 , { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [7,7]} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-5x-9 } {.}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x)
}
{ =} {x^2-5x-9
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 25 }{ 4 } } -9
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 61 }{ 4 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist
\mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {}
eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (TP)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist
\zusatzklammer {da
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ ein Körper ist} {} {}
\mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {}
eine Lösung. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
\mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {}
mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ P'
}
{ \defeq} { P-TH
}
{ =} { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n}{b_k} b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n}{b_k} b_{0} \right) } X^{n-k} + a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
\mathkor {} {Q'} {und} {R'} {}
mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { P'+TH
}
{ =} { TQ'+TH+R'
}
{ =} { T(Q'+H)+R'
}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'+H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung ist.
\teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ TQ+R
}
{ = }{ TQ'+R'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q')
}
{ = }{ R'-R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lösbar.}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit rationalen Koeffizienten und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ u }{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben kann, wobei $v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu $u$ ein normiertes Polynom $Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(u)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { c_n X^n + \cdots + c_2X^2 +c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{ { \frac{ a_i }{ b_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{a_i, b_i \in \Z}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_i
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir multiplizieren dieses Polynom mit
\mathl{c_n^{-1}}{} und können somit annehmen, dass $P$ normiert ist.
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { b_0b_1 \cdots b_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P (z)
}
{ =} { z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots + c_2 z^2 +c_1z +c_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich durch Multiplikation mit $b^n$ direkt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { b^n { \left( z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots + c_2 z^2 +c_1z +c_0 \right) }
}
{ =} { b^nz^n + b^n c_{n-1}z^{n-1} + \cdots + b^n c_2 z^2 + b^nc_1z + b^nc_0
}
{ =} { b^nz^n + b c_{n-1} b^{n-1}z^{n-1} + \cdots + b^{n-2} c_2 b^2 z^2 + b^{n-1} c_1 b z + b^n c_0
}
{ =} { (bz)^n+ b c_{n-1} (bz)^{n-1} + \cdots + b^{n-2} c_2 ( bz)^2 + b^{n-1} c_1 (b z) + b^n c_0
}
}
{}
{}{.}
Dies bedeutet, dass
\mathl{bz}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q
}
{ =} { X^n+ b c_{n-1} X^{n-1} + \cdots + b^{n-2} c_2 X^2 + b^{n-1} c_1 X + b^n c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^{n-i} c_i
}
{ =} { { \left( b_0 b_1 \cdots b_{n-1} \right) }^{n-i} { \frac{ a_i }{ b_i } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ bz }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{b \in \N}{} und der Zähler
\mathl{bz}{} ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (1+1+3)}
{
Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {1+X + { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } X^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne die Werte von $P$ an den Stellen
\mathl{-2,-1,0,1,2}{.}
}{Skizziere den Graphen von $P$ auf dem Intervall
\mathl{[-2,2]}{.} Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion $e^x$?
}{Bestimme eine Nullstelle von $P$ innerhalb von
\mathl{[-2,2]}{} mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.}
}
}
{
\aufzaehlungdrei{\wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {-2} {-1} {0} {1} {2} }
{ $P(x)$ }
{\mazeileundfuenf { - { \frac{ 1 }{ 3 } } } { { \frac{ 1 }{ 3 } } } {1} { { \frac{ 8 }{ 3 } } } { { \frac{ 19 }{ 3 } } } }
}{Da die Exponentialfunktion $e^x$ die Reihendarstellung
\mathl{\sum_{k = 0}^\infty { \frac{ x^k }{ k! } }}{} besitzt, handelt es sich bei $P$ um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt.
}{Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss $P$ eine Nullstelle zwischen
\mathkor {} {-2} {und} {-1} {}
besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {6 P
}
{ =} {6+6x +3x^2+x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q (- { \frac{ 3 }{ 2 } } )
}
{ =} {6 -6 \cdot { \frac{ 3 }{ 2 } } + 3 { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 + { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^3
}
{ =} { 6-9 + { \frac{ 27 }{ 4 } } - { \frac{ 27 }{ 8 } }
}
{ =} { -3 + { \frac{ 27 }{ 8 } }
}
{ >} { 0
}
}
{}
{}{.}
Die Nullstelle muss also zwischen
\mathkor {} {-2} {und} {- { \frac{ 3 }{ 2 } }} {}
liegen.
}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q (- { \frac{ 7 }{ 4 } } )
}
{ =} {6 -6 \cdot { \frac{ 7 }{ 4 } } + 3 { \left( - { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^2 + { \left( - { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^3
}
{ =} { 6- { \frac{ 21 }{ 2 } } + { \frac{ 3 \cdot 49 }{ 16 } } - { \frac{ 343 }{ 64 } }
}
{ =} { - { \frac{ 9 }{ 2 } } + { \frac{ 588-343 }{ 64 } }
}
{ =} { - { \frac{ 288 }{ 64 } } + { \frac{ 245 }{ 64 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ <} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Also liegt eine Nullstelle im Intervall
\mathl{[ - { \frac{ 7 }{ 4 } }, - { \frac{ 3 }{ 2 } } ]}{} der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{
Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-3)^2 + (y-4)^2
}
{ =} { x^2 - 6x +y^2 -8 y +25
}
{ =} {36
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+8)^2 + (y-1)^2
}
{ =} { x^2 + 16x +y^2 -2 y + 65
}
{ =} {49
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 22x + 6y +40
}
{ =} { 13
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x^2 -6x + { \left( { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } \right) }^2 -8 { \frac{ -22 x -27 }{ 6 } } -11
}
{ =} { x^2 + { \frac{ 121 }{ 9 } }x^2 -6x + 33 x + { \frac{ 81 }{ 4 } } + { \frac{ 88 }{ 3 } } x + 36 -11
}
{ =} { { \frac{ 130 }{ 9 } } x^2 + { \frac{ 169 }{ 3 } } x + { \frac{ 181 }{ 4 } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ - { \frac{ 169 }{ 3 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 28561 }{ 9 } } -4 \cdot { \frac{ 130 }{ 9 } } \cdot { \frac{ 181 }{ 4 } } } }{ { \frac{ 260 }{ 9 } } } }
}
{ =} { { \frac{ -169 \pm \sqrt{ 28561 - 130 \cdot 181 } }{ { \frac{ 260 }{ 3 } } } }
}
{ =} { { \frac{ -3 \cdot 169 \pm 3 \sqrt{ 28561 - 23530 } }{ 260 } }
}
{ =} { { \frac{ - 507 \pm 3 \sqrt{ 5031 } }{ 260 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ - 507 \pm 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_1
}
{ =} { { \frac{ -22 x_1-27 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ -22 { \frac{ - 507 +9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } -27 }{ 6 } }
}
{ =} { -11 { \frac{ - 169 + 3 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
{ =} { - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 11 \cdot 13 }{ 20 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_2
}
{ =} { { \frac{ -22 x_2-27 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ -22 { \frac{ - 507 - 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } -27 }{ 6 } }
}
{ =} { -11 { \frac{ - 169 - 3 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 11 \cdot 13 }{ 20 } } - { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die Schnittpunkte sind also
\mathdisp {\left( { \frac{ - 507 + 9 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } , \, - { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } \right)} { }
und
\mathdisp {\left( { \frac{ - 507 - 9\sqrt{ 559 } }{ 260 } } , \, { \frac{ 33 \sqrt{ 559 } }{ 260 } } + { \frac{ 53 }{ 20 } } \right)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
\mathl{x,y}{} aus
\mathl{\{1,2 , \ldots , 10\}}{} gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ \geq} {48
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Jedes Paar
\mathl{(x,y)}{} besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${ \frac{ 1 }{ 100 } }$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ \geq} { 48
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für $y$ bei gegebenem $x$ gibt. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es für $y$ die Möglichkeiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {5,6,7,8,9,10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also insgesamt $6$ Möglichkeiten. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $4$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $3$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $1$ Möglichkeit für $y$. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6+5+5+4+3+1
}
{ =} { 24
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest $48$ ist, den Wert
\mathl{{ \frac{ 24 }{ 100 } } ={ \frac{ 6 }{ 25 } }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Ereignisse mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(A \cap B)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(A),P(B)
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ P( B {{|}} A) }{ P( M \setminus B {{|}} A) } }
}
{ =} { { \frac{ P( B ) }{ P( M \setminus B ) } } \cdot { \frac{ P( A {{|}} B) }{ P( A {{|}} M \setminus B ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Nach
der Bayesschen Formel
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P( B {{|}} A )
}
{ =} { { \frac{ P(B) \cdot P( A {{|}} B ) }{ P(B) \cdot P( A {{|}} B ) + P(M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ebenso unter Verwendung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M \setminus { \left( M \setminus B \right) }
}
{ = }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P( M \setminus B {{|}} A )
}
{ =} { { \frac{ P( M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) }{ P( M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) + P( B) \cdot P( A {{|}} B ) } }
}
{ =} { { \frac{ P( M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) }{ P(B) \cdot P( A {{|}} B ) + P(M \setminus B) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ P( B {{|}} A) }{ P( M \setminus B {{|}} A) } }
}
{ =} { { \frac{ P( B ) \cdot P( A {{|}} B) }{ P( M \setminus B ) \cdot P( A {{|}} M \setminus B ) } }
}
{ =} { { \frac{ P( B ) }{ P( M \setminus B ) } } \cdot { \frac{ P( A {{|}} B) }{ P( A {{|}} M \setminus B ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}