Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/3/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	4	4	3	1	4	3	2	2	7	4	5	6	4	3	65

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Matrizenmultiplikation.
2. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
3. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Die Eulersche Zahl.
5. Der Sinus zu einem Winkel ${}\alpha$.
6. Ein Laplace-Raum.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

   $AB$

   diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

   ${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

   gegeben sind.

2. Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus ${}T$ aus dieser Klasse gibt.
3. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

4. Die Eulersche Zahl ist durch

   ${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

   definiert.

5. Zu einem Winkel ${}\alpha$ versteht man unter ${}\sin \alpha$ die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes ${}P(\alpha )$.
6. Ein Laplace-Raum ist eine endliche Menge ${}M$ zusammen mit derjenigen Wahrscheinlichkeitsdichte

   $\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

   die jedem Element ${}x\in M$ den konstanten Wert ${}{\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

2. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
3. Der Satz von Vieta.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Es seien ${}w_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, Elemente in ${}K^{m}$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   mit

   $\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$

   wobei ${}e_{i}$ den ${}i$-ten Standardvektor bezeichnet.
2. Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl ${}q$ mit der Eigenschaft

   ${}n=q^{k}\,,$

   d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt ${}n$ keine ${}k$-te Wurzel.
3. Es sei eine quadratische Gleichung in der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   gegeben und es seien ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ die Lösungen. Dann gilt

   ${}x_{1}+x_{2}=-p\,$

   und

   ${}x_{1}\cdot x_{2}=q\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&3\\0&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{2}}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&3\\0&0&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{2}}&1&0\\-{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&{\frac {3}{2}}\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&1&-2\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\-{\frac {1}{2}}&-1&3\\{\frac {1}{2}}&1&-2\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&2&-6\\-{\frac {1}{2}}&-1&3\\{\frac {1}{2}}&1&-2\end{pmatrix}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Z}$ ist:

$x\sim y,{\text{ falls }}7{\text{ ein Teiler von }}x-y{\text{ ist}}.$

Lösung

Es ist ${}7$ ein Teiler von

${}0=x-x\,,$

daher ist ${}x\sim x$, was die Reflexivität bedeutet. Sei ${}x\sim y$. Dies bedeutet, dass ${}7$ ein Teiler von ${}x-y$ ist, was wiederum bedeutet, dass

${}x-y=7\cdot c\,$

mit einem gewissen ${}c\in \mathbb {Z}$ ist. Durch Multiplikation mit ${}-1$ erhält man

${}y-x=-(x-y)=7\cdot (-c)\,.$

Also ist ${}7$ auch ein Teiler von ${}y-x$ und somit ist ${}y\sim x$, was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$. Somit ist

${}x-y=7c\,$

und

${}y-z=7d\,$

mit gewissen ${}c,d\in \mathbb {Z}$. Insgesamt ergibt sich

${}x-z=(x-y)+(y-z)=7c+7d=7(c+d)\,,$

so dass auch ${}x-z$ ein Vielfaches von ${}7$ ist. Also ist ${}x\sim z$.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Lösung

1. Die Zahlen ${}3,13,23$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${}x,x+10,x+20$ bei Division durch ${}3$. Wenn ${}r$ der Rest von ${}x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich ${}r+1$ bzw. ${}r+2$. Somit muss eine der drei Zahlen den Rest ${}0$ besitzen, also ein Vielfaches von ${}3$ sein. Da ${}x=3$ ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Lösung

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${}h\in H$ höchstens ein Element aus ${}G$ gehen. Da ${}e_{G}$ auf ${}e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${}e_{H}$ gehen, d.h. ${}\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${}g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf ${}h\in H$ geschickt werden. Dann ist

${}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$

und damit ist ${}g{\tilde {g}}^{-1}\in \ker \varphi$, also ${}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit ${}g={\tilde {g}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$. Es sei ${}u\in K_{+}$, ${}d=c\cdot u^{2}$, ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$. Zeige

${}y_{n}=ux_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also

${}y_{n}=ux_{n}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}y_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {d}{y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+{\frac {u^{2}c}{ux_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+u\cdot {\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot {\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot x_{n+1}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Ist die reelle Zahl

${\sqrt {\frac {1}{11}}}$

rational?

Lösung

Da ${}11$ eine Primzahl ist, so ist nach Satz 42.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) ${}{\sqrt {11}}$ irrational und dies überträgt sich auf den Kehrwert.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ beschränkt ist.

Lösung

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit dem Limes ${}x\in K$ und es sei ein ${}\epsilon >0$ gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Dann ist insbesondere

$\vert {x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {x-x_{n}}\vert \leq \vert {x}\vert +\epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Unterhalb von ${}n_{0}$ gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

${}B:=\max _{n<n_{0}}\{\vert {x_{n}}\vert ,\,\vert {x}\vert +\epsilon \}\,$

wohldefiniert ist. Daher ist ${}B$ eine obere Schranke und ${}-B$ eine untere Schranke für ${}{\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$, die in einem größeren angeordneten Körper

${}K\subseteq L\,$

nicht konvergiert.

Lösung

Die Folge der Stammbrüche ${}{\frac {1}{n}},n\in \mathbb {N} _{+}$, konvergiert in ${}\mathbb {Q}$ gegen ${}0$. Es gibt aber nichtarchimedisch angeordnete Körper ${}\mathbb {Q} \subset L$. In einem solchen nichtarchimedisch angeordneten Körper konvergiert diese Folge nicht, da es dort positive ${}\epsilon$ gibt, die kleiner als jeder Stammbruch sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Schreibe die Menge

$]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}$

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Lösung

Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist

${}[-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]=[-{\frac {5}{2}},-{\frac {4}{3}}]\,\cup \,]-1,-{\frac {1}{3}}]\,.$

Somit ist die Gesamtmenge gleich

$]-3,-{\frac {4}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[7,7].$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-5x-9.$

Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-5x-9\\&={\left(x-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}-{\frac {25}{4}}-9\\&={\left(x-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}-{\frac {61}{4}}.\end{aligned}}$

Daher ist die durch ${}x={\frac {5}{2}}$ gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von ${}P$. Wenn der Grad von ${}T$ größer als der Grad von ${}P$ ist, so ist ${}Q=0$ und ${}R=P$ eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ${}\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch ${}\operatorname {grad} \,(TP)=0$, also ist ${}T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da ${}T\neq 0$ und ${}K$ ein Körper ist) ${}Q=P/T$ und ${}R=0$ eine Lösung. Es sei nun ${}\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und ${}T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit ${}a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit ${}H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung

${}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom ${}P'$ hat einen Grad kleiner als ${}n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt ${}Q'$ und ${}R'$ mit

$P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$

Daraus ergibt sich insgesamt

${}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$

so dass also ${}Q=Q'+H$ und ${}R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei ${}P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist ${}T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz ${}R'-R$ einen Grad kleiner als ${}\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei ${}R=R'$ und ${}Q=Q'$ lösbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ derart, dass es ein Polynom ${}P\neq 0$ mit rationalen Koeffizienten und mit

${}P(z)=0\,$

gibt. Zeige, dass man

${}z={\frac {u}{v}}\,$

schreiben kann, wobei ${}v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu ${}u$ ein normiertes Polynom ${}Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${}Q(u)=0\,$

gibt.

Lösung

Es sei

${}P=c_{n}X^{n}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,$

mit ${}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$, ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, ${}b_{i}>0$ und ${}c_{n}\neq 0$. Wir multiplizieren dieses Polynom mit ${}c_{n}^{-1}$ und können somit annehmen, dass ${}P$ normiert ist. Wir setzen

${}b=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\,.$

Aus

${}P(z)=z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}=0\,$

ergibt sich durch Multiplikation mit ${}b^{n}$ direkt

${}{\begin{aligned}0&=b^{n}{\left(z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}\right)}\\&=b^{n}z^{n}+b^{n}c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n}c_{2}z^{2}+b^{n}c_{1}z+b^{n}c_{0}\\&=b^{n}z^{n}+bc_{n-1}b^{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}b^{2}z^{2}+b^{n-1}c_{1}bz+b^{n}c_{0}\\&=(bz)^{n}+bc_{n-1}(bz)^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}(bz)^{2}+b^{n-1}c_{1}(bz)+b^{n}c_{0}.\end{aligned}}$

Dies bedeutet, dass ${}bz$ eine Nullstelle des Polynoms

${}Q=X^{n}+bc_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}X^{2}+b^{n-1}c_{1}X+b^{n}c_{0}\,$

ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen

${}b^{n-i}c_{i}={\left(b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\right)}^{n-i}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist

${}z={\frac {bz}{b}}\,$

mit ${}b\in \mathbb {N}$ und der Zähler ${}bz$ ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

${}P=1+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}\,.$

1. Berechne die Werte von ${}P$ an den Stellen ${}-2,-1,0,1,2$.
2. Skizziere den Graphen von ${}P$ auf dem Intervall ${}[-2,2]$. Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ${}e^{x}$?
3. Bestimme eine Nullstelle von ${}P$ innerhalb von ${}[-2,2]$ mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {1}{4}}$.

Lösung

1. ${}x$	${}-2$	${}-1$	${}0$	${}1$	${}2$
   ${}P(x)$	${}-{\frac {1}{3}}$	${}{\frac {1}{3}}$	${}1$	${}{\frac {8}{3}}$	${}{\frac {19}{3}}$

2. Da die Exponentialfunktion ${}e^{x}$ die Reihendarstellung ${}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$ besitzt, handelt es sich bei ${}P$ um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt.
3. Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss ${}P$ eine Nullstelle zwischen ${}-2$ und ${}-1$ besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit

   ${}Q=6P=6+6x+3x^{2}+x^{3}\,.$

   Es ist

   ${}{\begin{aligned}Q(-{\frac {3}{2}})&=6-6\cdot {\frac {3}{2}}+3{\left(-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\left(-{\frac {3}{2}}\right)}^{3}\\&=6-9+{\frac {27}{4}}-{\frac {27}{8}}\\&=-3+{\frac {27}{8}}\\&>0.\end{aligned}}$

   Die Nullstelle muss also zwischen ${}-2$ und ${}-{\frac {3}{2}}$ liegen.

Es ist

${}{\begin{aligned}Q(-{\frac {7}{4}})&=6-6\cdot {\frac {7}{4}}+3{\left(-{\frac {7}{4}}\right)}^{2}+{\left(-{\frac {7}{4}}\right)}^{3}\\&=6-{\frac {21}{2}}+{\frac {3\cdot 49}{16}}-{\frac {343}{64}}\\&=-{\frac {9}{2}}+{\frac {588-343}{64}}\\&=-{\frac {288}{64}}+{\frac {245}{64}}\\&<0.\end{aligned}}$

Also liegt eine Nullstelle im Intervall ${}[-{\frac {7}{4}},-{\frac {3}{2}}]$ der Länge ${}{\frac {1}{4}}$.

Aufgabe (6 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Lösung

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind

${}(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=x^{2}-6x+y^{2}-8y+25=36\,$

und

${}(x+8)^{2}+(y-1)^{2}=x^{2}+16x+y^{2}-2y+65=49\,.$

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

${}22x+6y+40=13\,.$

Also ist

${}y={\frac {-22x-27}{6}}\,.$

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

${}{\begin{aligned}x^{2}-6x+{\left({\frac {-22x-27}{6}}\right)}^{2}-8{\frac {-22x-27}{6}}-11&=x^{2}+{\frac {121}{9}}x^{2}-6x+33x+{\frac {81}{4}}+{\frac {88}{3}}x+36-11\\&={\frac {130}{9}}x^{2}+{\frac {169}{3}}x+{\frac {181}{4}}\\&=0.\end{aligned}}$

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-{\frac {169}{3}}\pm {\sqrt {{\frac {28561}{9}}-4\cdot {\frac {130}{9}}\cdot {\frac {181}{4}}}}}{\frac {260}{9}}}\\&={\frac {-169\pm {\sqrt {28561-130\cdot 181}}}{\frac {260}{3}}}\\&={\frac {-3\cdot 169\pm 3{\sqrt {28561-23530}}}{260}}\\&={\frac {-507\pm 3{\sqrt {5031}}}{260}}\\&={\frac {-507\pm 9{\sqrt {559}}}{260}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}y_{1}&={\frac {-22x_{1}-27}{6}}\\&={\frac {-22{\frac {-507+9{\sqrt {559}}}{260}}-27}{6}}\\&=-11{\frac {-169+3{\sqrt {559}}}{260}}-{\frac {9}{2}}\\&=-{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {11\cdot 13}{20}}-{\frac {9}{2}}\\&=-{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}y_{2}&={\frac {-22x_{2}-27}{6}}\\&={\frac {-22{\frac {-507-9{\sqrt {559}}}{260}}-27}{6}}\\&=-11{\frac {-169-3{\sqrt {559}}}{260}}-{\frac {9}{2}}\\&={\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {11\cdot 13}{20}}-{\frac {9}{2}}\\&={\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also

$\left({\frac {-507+9{\sqrt {559}}}{260}},\,-{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}\right)$

und

$\left({\frac {-507-9{\sqrt {559}}}{260}},\,{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

${}xy\geq 48\,$

ist.

Lösung

Jedes Paar ${}(x,y)$ besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{100}}$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass

${}xy\geq 48\,$

ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für ${}y$ bei gegebenem ${}x$ gibt. Bei

${}x=10\,$

gibt es für ${}y$ die Möglichkeiten

${}y=5,6,7,8,9,10\,,$

also insgesamt ${}6$ Möglichkeiten. Bei

${}x=9\,$

gibt es ${}5$ Möglichkeiten für ${}y$, bei

${}x=8\,$

gibt es ${}5$ Möglichkeiten für ${}y$, bei

${}x=7\,$

gibt es ${}4$ Möglichkeiten für ${}y$, bei

${}x=6\,$

gibt es ${}3$ Möglichkeiten für ${}y$, bei

${}x=5\,$

gibt es ${}1$ Möglichkeit für ${}y$. Insgesamt gibt es also

${}6+5+5+4+3+1=24\,$

Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest ${}48$ ist, den Wert ${}{\frac {24}{100}}={\frac {6}{25}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien ${}A,B\subseteq M$ Ereignisse mit ${}P(A\cap B)\neq 0$ und mit ${}P(A),P(B)<1$. Zeige

${}{\frac {P(B{|}A)}{P(M\setminus B{|}A)}}={\frac {P(B)}{P(M\setminus B)}}\cdot {\frac {P(A{|}B)}{P(A{|}M\setminus B)}}\,.$

Lösung

Nach der Bayesschen Formel gilt

${}P(B{|}A)={\frac {P(B)\cdot P(A{|}B)}{P(B)\cdot P(A{|}B)+P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}\,$

und ebenso unter Verwendung von ${}M\setminus {\left(M\setminus B\right)}=B$

${}{\begin{aligned}P(M\setminus B{|}A)&={\frac {P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}{P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)+P(B)\cdot P(A{|}B)}}\\&={\frac {P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}{P(B)\cdot P(A{|}B)+P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}.\end{aligned}}$

Somit gilt

${}{\begin{aligned}{\frac {P(B{|}A)}{P(M\setminus B{|}A)}}&={\frac {P(B)\cdot P(A{|}B)}{P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}\\&={\frac {P(B)}{P(M\setminus B)}}\cdot {\frac {P(A{|}B)}{P(A{|}M\setminus B)}}.\end{aligned}}$