Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 3 4 4 3 1 4 3 2 2 7 4 4 6 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  3. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Die Eulersche Zahl.
  5. Der Sinus zu einem Winkel .
  6. Ein Laplace-Raum.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.

  2. Eine Teilmenge heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus aus dieser Klasse gibt.
  3. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  4. Die Eulersche Zahl ist durch

    definiert.

  5. Zu einem Winkel versteht man unter die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes .
  6. Ein Laplace-Raum ist eine endliche Menge zusammen mit derjenigen Wahrscheinlichkeitsdichte

    die jedem Element den konstanten Wert zuweist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen
  2. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
  3. Der Satz von Vieta.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und . Es seien , , Elemente in . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

    mit

    wobei den -ten Standardvektor bezeichnet.
  2. Sei die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl . Sei eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ein Vielfaches von sind. Dann gibt es keine rationale Zahl mit der Eigenschaft
    d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt keine -te Wurzel.
  3. Es sei eine quadratische Gleichung in der Form

    gegeben und es seien und die Lösungen. Dann gilt

    und


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ist:


Lösung

Es ist ein Teiler von

daher ist , was die Reflexivität bedeutet. Sei . Dies bedeutet, dass ein Teiler von ist, was wiederum bedeutet, dass

mit einem gewissen ist. Durch Multiplikation mit erhält man

Also ist auch ein Teiler von und somit ist , was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich und . Somit ist

und

mit gewissen . Insgesamt ergibt sich

so dass auch ein Vielfaches von ist. Also ist .


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?


Lösung

  1. Die Zahlen sind Primzahlen.
  2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von bei Division durch . Wenn der Rest von ist, so sind die beiden anderen Reste gleich bzw. . Somit muss eine der drei Zahlen den Rest besitzen, also ein Vielfaches von sein. Da ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Lösung

Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist

und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige

für alle .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also

Dann ist


Aufgabe (1 Punkt)

Ist die reelle Zahl

rational?


Lösung

Da eine Primzahl ist, so ist nach Satz 42.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) irrational und dies überträgt sich auf den Kehrwert.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper beschränkt ist.


Lösung

Es sei die konvergente Folge mit dem Limes und es sei . Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass

Dann ist insbesondere

Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für .


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper , die in einem größeren angeordneten Körper

nicht konvergiert.


Lösung

Die Folge der Stammbrüche , konvergiert in gegen . Es gibt aber nichtarchimedisch angeordnete Körper . In einem solchen nichtarchimedisch angeordneten Körper konvergiert diese Folge nicht, da es dort positive gibt, die kleiner als jeder Stammbruch sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Schreibe die Menge

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.


Lösung

Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist

Somit ist die Gesamtmenge gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion


Lösung

Wir schreiben

Daher ist die durch gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist und eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ist nach der Vorbemerkung auch , also ist ein konstantes Polynom, und damit ist (da und ein Körper ist) und eine Lösung. Sei nun und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben und mit . Dann gilt mit die Beziehung

Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt und mit

Daraus ergibt sich insgesamt

so dass also und eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist . Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei und lösbar.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei derart, dass es ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit

gibt. Zeige, dass man

schreiben kann, wobei eine positive natürliche Zahl ist und es zu ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

gibt.


Lösung

Es sei

mit , , und . Wir multiplizieren dieses Polynom mit und können somit annehmen, dass normiert ist. Wir setzen

Aus

ergibt sich durch Multiplikation mit direkt

Dies bedeutet, dass eine Nullstelle des Polynoms

ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen

ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist

mit und der Zähler ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

  1. Berechne die Werte von an den Stellen .
  2. Skizziere den Graphen von oberhalb von . Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ?
  3. Bestimme eine Nullstelle von innerhalb von mit einem Fehler von maximal .


Lösung

  1. Da die Exponentialfunktion die Reihendarstellung besizt, handelt es sich bei um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt.
  2. Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss eine Nullstelle zwischen und besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit

    Es ist

    Die Nullstelle muss also zwischen und liegen.

Es ist

Also liegt eine Nullstelle im Intervall der Länge .


Aufgabe (6 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind

und

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

Also ist

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also

und


Aufgabe (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

ist.


Lösung

Jedes Paar besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit . Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass

ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für bei gegebenem gibt. Bei

gibt es für die Möglichkeiten

also insgesamt Möglichkeiten. Bei

gibt es Möglichkeiten für , bei

gibt es Möglichkeiten für , bei

gibt es Möglichkeiten für , bei

gibt es Möglichkeiten für , bei

gibt es Möglichkeit für . Insgesamt gibt es also

Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest ist, den Wert .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien Ereignisse mit und mit . Zeige


Lösung

Nach der Bayesschen Formel gilt

und ebenso unter Verwendung von

Somit gilt