Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/5/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 63 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {affiner Unterraum} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {Elementarmatrizen} {.}

}{Die \stichwort {Antisymmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.

}{Eine \stichwort {irrationale} {} Zahl.

}{Der \stichwort {Logarithmus} {} zu einer reellen Basis
\mathl{b>0}{,}
\mathl{b \neq 1}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt affiner Unterraum, wenn $S$ leer ist oder es einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einen Punkt
\mathl{P \in K^n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} {P+U }
{ =} { { \left\{ P+ v \mid v \in U \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }{Mit
\mathl{B_{ij}}{} bezeichnen wir diejenige $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die an der Stelle
\mathl{(i,j)}{} den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \defeq E_{ n } - B_{ii} -B_{jj} + B_{ij} +B_{ji}$. }{$S_k (s) \defeq E_{ n } + (s-1) B_{kk} \text{ für } s \neq 0$. }{$A_{ij}(a) \defeq E_{ n } + a B_{ij} \text{ für } i \neq j \text{ und } a \in K$. } }{Die Relation $R$ heißt antisymmetrisch, wenn aus
\mathl{xRy}{} und
\mathl{yRx}{} stets
\mathl{x=y}{} folgt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus
\mathl{\R \setminus \Q}{.} }{Der Logarithmus zur Basis $b$ ist die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} zur \definitionsverweis {reellen Exponentialfunktion}{}{} zur Basis $b$. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Restklassenkörper von $\Z$.}{Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Sei
\mathl{n \in \N}{.} Der Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} ist genau dann ein Körper, wenn $n$ eine Primzahl ist.}{Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper \mathkor {} {\R_1} {und} {\R_2} {} vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {\R_1} { \R_2 } {.}}{Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} und $n$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in K}{} gegeben. Dann gibt es ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} derart, dass
\mathl{P(a_i)= b_i}{} für alle $i$ ist.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.

}
{

Durch Umnummerieren kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{x_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erreichen. Es sei $G$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax_1 + \sum_{i = 2}^n a_ix_i }
{ =} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{a \neq 0}{}} {} {} und $H$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ cx_1 + \sum_{i = 2}^n c_ix_i }
{ =} {d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann hat die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H' }
{ =} {H - { \frac{ c }{ a } } G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 2}^n { \left(c_i- { \frac{ c }{ a } } a_i\right) } x_i }
{ =} { d -{ \frac{ c }{ a } } b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} in der $x_1$ nicht mehr vorkommt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{H' + { \frac{ c }{ a } } G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind die Gleichungssysteme \definitionsverweis {äquivalent}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {endliche Mengen}{}{} mit $m$ bzw. $n$ Elementen und sei \maabbdisp {f} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{.} Wie viele Abbildungen \maabbdisp {s} {N} {M } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f \circ s }
{ =} { \operatorname{Id}_{ N } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es?

}
{

Die Elemente aus $N$ seien mit
\mathl{1,2 , \ldots , n}{} bezeichnet. Zu jedem
\mathl{i \in N}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_i }
{ =} { { \left\{ x \in M \mid f(x) = i \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_i }
{ =} { { \# \left( M_i \right) } }
{ =} { { \# \left( { \left\{ x \in M \mid f(x) = i \right\} } \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Anzahl der Elemente aus $M$, die auf $i$ abgebildet werden. Wegen der Surjektivität ist stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m_i }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \circ s }
{ =} { \operatorname{Id}_{ N } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten soll, muss
\mathl{s(i) \in M_i}{} für jedes $i$ gelten. Somit gibt es
\mathdisp {m_1 \cdot m_2 \cdots m_n} { }
Möglichkeiten für solche Abbildungen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } - { \frac{ 3 }{ 7 } } \sqrt{3} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 4 } } - { \frac{ 2 }{ 3 } } \sqrt{3} \right) }} { . }

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } - { \frac{ 3 }{ 7 } } \sqrt{3} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 4 } } - { \frac{ 2 }{ 3 } } \sqrt{3} \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } - { \frac{ 4 }{ 15 } } \sqrt{3} - { \frac{ 3 }{ 28 } } \sqrt{3} + { \frac{ 2 }{ 7 } } \cdot \sqrt{3}^2 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } + { \frac{ 6 }{ 7 } } - { \left( { \frac{ 4 }{ 15 } } + { \frac{ 3 }{ 28 } } \right) } \sqrt{3} }
{ =} { { \frac{ 7+60 }{ 70 } } - { \frac{ 112 + 45 }{ 420 } } \sqrt{3} }
{ =} { { \frac{ 67 }{ 70 } } - { \frac{ 157 }{ 420 } } \sqrt{3} }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x' }
{ =} { 2^{-1} \cdot { \left(x + { \frac{ c }{ x } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} des Heron-Verfahrens in
\mathl{\Z/(7)}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.

}
{

Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist der Ausdruck sicher nicht definiert. Für alle anderen Stellen berechnen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { 2^{-1} { \left( x + { \frac{ 3 }{ x } } \right) } }
{ =} { 4 { \left( x + { \frac{ 3 }{ x } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei ergibt sich die Wertetabelle \wertetabellesechsausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{ {6} }
{ $f(x)$ }
{\mazeileundfuenf { 2} {0} {2} {5} {0} }
{ {5} } Daraus erkennt man, dass spätestens
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so dass $x_3$ nicht definiert ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ sei durch einen Anfangswert $x_0 \in K_+$ und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} { { \left( x_n \right) }^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

}
{

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Folge konstant gleich $1$, da ja $1$ das inverse Element zu $1$ ist. Diese Folge konvergiert. Für jeden anderen Startwert
\mathbed {x_0 \in K_+} {}
{x_0 \neq 1} {}
{} {} {} {,} konvergiert die Folge nicht. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1} }
{ =} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wechseln sich in der Folge $x_0$ und ${ \left( x_0 \right) }^{-1}$ ab, und bei positivem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \neq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind dies verschiedene Werte. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) } }
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{

Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \epsilon' }
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} { \epsilon' }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon' }
{ = }{ { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $n_0'$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-y } }
{ \leq} { \epsilon' }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N }
{ =} { {\max { \left( n_0 , n_0' \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {unter Verwendung der Dreiecksungleichung} {} {} die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_n+y_n -(x+y) } }
{ =} { \betrag { x_n+y_n -x-y } }
{ =} { \betrag { x_n-x +y_n -y } }
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { y_n -y } }
{ \leq} { \epsilon' + \epsilon' }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} mit $0 \neq 1$ und \maabbdisp {\varphi} {K} {R } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{

Es seien $a,b \in K$ vorgegeben, und sei angenommen, dass $\varphi(a) = \varphi(b)$ ist. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(a-b) }
{ =} {\varphi(a)- \varphi(b) }
{ =} {0 }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Wenn $a-b \neq 0$ wäre, so wäre dies eine Einheit, d.h. es gäbe ein $x \in K$ mit $x(a-b)=1$. Dann wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x) 0 }
{ =} {\varphi(x) \varphi(a-b) }
{ =} {\varphi(x(a-b)) }
{ =} {\varphi(1) }
{ =} {1 }
} {}{}{.} Aus $\varphi(x) 0 = \varphi(x) (0+0) = \varphi(x) 0 +\varphi(x) 0$ folgt daraus $\varphi(x) 0=0$, also $0=1$ im Widerspruch zur Voraussetzung an $R$. Also ist $a-b=0$ und $a=b$.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {1{,}\overline{4211}} { }
gegeben ist.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1{,}\overline{4211} }
{ =} {1 + 0{,}\overline{4211} }
{ =} {1 + 4211 \cdot 0{,}\overline{0001} }
{ =} {1 + 4211 \cdot { \frac{ 1 }{ 9999 } } }
{ =} { { \frac{ 9999+4211 }{ 9999 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 14210 }{ 9999 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt $c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

}
{

Bei konstantem Flächeninhalt $c$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bestimmt, die andere Seitenlänge ist
\mathl{{ \frac{ c }{ s } }}{} und der Umfang ist
\mathl{2 { \left( s + { \frac{ c }{ s } } \right) }}{.} Für das Quadrat ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s }
{ =} {{ \frac{ c }{ s } } }
{ =} { \sqrt{c} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Umfang $4 \sqrt{c}$. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \sqrt{c} }
{ \leq} {s + { \frac{ c }{ s } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu zeigen. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4 c }
{ \leq} { s^2 + { \left( { \frac{ c }{ s } } \right) }^2 +2c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} { s^2 + { \left( { \frac{ c }{ s } } \right) }^2 - 2c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s^4 +c^2 -2cs^2 }
{ \geq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s^4 +c^2 -2cs^2 }
{ =} { (s^2-c)^2 }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {7X^{11}-3X^8+ { \frac{ 3 }{ 2 } } X^6 -X +5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^5$.

}
{

Der Grad ist $11$, der Leitkoeffizient ist $7$, der Leitterm ist
\mathl{7X^{11}}{} und der Koeffizient zu $X^5$ ist $0$.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} $f$ vom Grad
\mathl{\leq 2}{,} für welches
\mathdisp {f(1) =10 ,\, f(-2) = 1,\, f(3) = 16} { }
gilt.

}
{

Mit dem Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {aX^2+bX+c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelangen wir zum linearen Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+b+c }
{ =} {10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4a -2b+c }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9 a +3 b+c }
{ =} {16 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Gleichungen
\mathl{II-I}{} und
\mathl{III-I}{} sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3a -3b }
{ =} {- 9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8 a +2b }
{ =} { 6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus ergibt sich \zusatzklammer {
\mathl{2 II' +3 III'}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 a }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} {7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { 3X+7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}

}
{

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von $f$ im Punkt $x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen $x$ konvergente Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

\teilbeweis {}{}{}
{Sei (1) erfüllt und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $\R$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) }
{ =} { f(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x_n,x) }
{ \leq} { \delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
\mathdisp {d(f(x_n), f(x)) \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0} { , }
so dass die Bildfolge gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente
\mathl{z \in \R}{} gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert
\mathl{f(z)}{} unter der Abbildung aber zu
\mathl{f(x)}{} einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
\mathbed {\delta=1/n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {.} D.h. für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mathl{x_n \in \R}{} mit
\mathdisp {d(x_n ,x) \leq \frac{1}{n} \text{ und mit } d(f(x_n), f(x)) > \epsilon} { . }
Diese so konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
\mathl{f(x)}{,} da der Abstand der Bildfolgenglieder zu
\mathl{f(x)}{} zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).}
{}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Berechne
\mathdisp {2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}

}
{

Wir behaupten die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1{,}8 }
{ \leq} { 2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } } }
{ \leq} {1{,}9 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1{,}8^{10} }
{ \leq} { 2^{ 9 } }
{ =} { 512 }
{ \leq} { 1{,}9^{10} }
{ } { }
} {}{}{.} nach. Diese gelten wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1{,}8^{10} }
{ =} { 3{,}24^5 }
{ =} { (3{,}24^2 )^2 \cdot 3{,}24 }
{ =} { 10{,}4976^2 \cdot 3{,}24 }
{ \leq} { 121 \cdot 4 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 484 }
{ <} {512 }
{ } {}
{ } {}
} {}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1{,}9^{10} }
{ =} { 3{,}61^5 }
{ =} { (3{,}61^2 )^2 \cdot 3{,}61 }
{ =} { 13{,}0321^2 \cdot 3{,}61 }
{ >} { 169 \cdot 3{,}6 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 608{,}4 }
{ >} {512 }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

}
{

Die Standardparabel ist durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und der Einheitskreis ist durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung $x^2$ in der zweiten Gleichung und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 +y-1 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ -1 \pm \sqrt{1+4} }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die beiden Schnittpunkte sind also \mathkor {} {\left( - \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } } , \, { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } \right)} {und} {\left( \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } } , \, { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } \right)} {.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+2+2)}
{

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt $0$. Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen. \aufzaehlungdrei{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position $6$ befindet? }{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand $5$ besitzt? }{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden? }

}
{

\aufzaehlungdrei{Damit Lucy sich zum Schluss in der Position $6$ befindet, muss sie viermal nach rechts und einmal nach links gesprungen sein. Dafür gibt es $5$ Möglichkeiten, je nachdem, wann sie den Sprung nach links gemacht hat. Da es insgesamt
\mathl{2^5=32}{} Sprungkombinationen für Lucy gibt, befindet sie sich mit Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 5 }{ 32 } }}{} zum Schluss in der Position $6$. }{Veronika besitzt zum Schluss vom Nullpunkt den Abstand $5$ genau dann, wenn sie sich in der Position $5$ oder der Position $-5$ befindet. Dazu muss sie entweder jeden Sprung nach rechts oder jeden Sprung nach links machen. Dies ergibt $2$ Möglichkeiten, daher ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 32 } } = { \frac{ 1 }{ 16 } }}{.} }{Da Lucy stets Sprünge der Länge $2$ ausführt, befindet sie sich stets und insbesondere zum Schluss in einer geraden Position. Die Position von Veronika hat die Form
\mathl{i-j}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i+j }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $i$ die Anzahl ihrer Sprünge nach rechts und $j$ die Anzahl ihrer Sprünge nach links bezeichnet. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i-j }
{ =} { 5-j-j }
{ =} { 5-2j }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und dies ist stets ungerade. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Lucy und Veronika nach fünf Sprüngen in der gleichen Position befinden, ist also gleich $0$. }

}