Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 5 2 3 2 4 3 3 4 3 4 2 3 7 4 3 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein affiner Unterraum .
  2. Die Elementarmatrizen.
  3. Die Antisymmetrie einer Relation auf einer Menge .
  4. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  5. Eine irrationale Zahl.
  6. Der Logarithmus zu einer reellen Basis , .


Lösung

  1. Die Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn leer ist oder es einen Untervektorraum und einen Punkt mit

    gibt.

  2. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
    1. .
    2. .
    3. .
  3. Die Relation heißt antisymmetrisch, wenn aus und stets folgt.
  4. Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  5. Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus .
  6. Der Logarithmus zur Basis ist die Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Restklassenkörper von .
  2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
  3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.


Lösung

  1. Sei . Der Restklassenring ist genau dann ein Körper, wenn eine Primzahl ist.
  2. Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper und vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
  3. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .


Lösung

Durch Umnummerieren kann man erreichen. Es sei die Gleichung

(mit ) und die Gleichung

Dann hat die Gleichung die Gestalt

in der nicht mehr vorkommt. Wegen sind die Gleichungssysteme äquivalent.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Lösung

Es ist

aber


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Lösung

Die Elemente aus seien mit bezeichnet. Zu jedem sei

und

die Anzahl der Elemente aus , die auf abgebildet werden. Wegen der Surjektivität ist stets . Da

gelten soll, muss für jedes gelten. Somit gibt es

Möglichkeiten für solche Abbildungen.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.


Lösung

Für ist der Ausdruck sicher nicht definiert. Für alle anderen Stellen berechnen wir

Dabei ergibt sich die Wertetabelle

Daraus erkennt man, dass spätestens ist, so dass nicht definiert ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Lösung

Bei ist die Folge konstant gleich , da ja das inverse Element zu ist. Diese Folge konvergiert. Für jeden anderen Startwert , , konvergiert die Folge nicht. Wegen

wechseln sich in der Folge und ab, und bei positivem sind dies verschiedene Werte. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Es seien bzw. die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Sei

Dann gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, ein Ring mit und

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass injektiv ist.


Lösung

Es seien vorgegeben, und sei angenommen, dass ist. Dann ist

Wenn wäre, so wäre dies eine Einheit, d.h. es gäbe ein mit . Dann wäre

Aus folgt daraus , also im Widerspruch zur Voraussetzung an . Also ist und .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.


Lösung

Bei konstantem Flächeninhalt ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge bestimmt, die andere Seitenlänge ist und der Umfang ist . Für das Quadrat ist

mit Umfang . Es ist also

zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

und zu

bzw. zu

was wegen

erfüllt ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Lösung

Der Grad ist , der Leitkoeffizient ist , der Leitterm ist und der Koeffizient zu ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.


Lösung

Mit dem Ansatz

gelangen wir zum linearen Gleichungssystem

Die Gleichungen und sind

und

Daraus ergibt sich ()

also

Daraus ergibt sich

und

Es ist also


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Dazu sei gegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle gilt

Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

nach. Diese gelten wegen

und


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.


Lösung

Die Standardparabel ist durch die Gleichung

und der Einheitskreis ist durch die Gleichung

gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung in der zweiten Gleichung und erhalten

Also ist

Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist

und

Die beiden Schnittpunkte sind also und .


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf dem Zahlenstrahl im Punkt . Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position befindet?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand besitzt?
  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?


Lösung

  1. Damit Lucy sich zum Schluss in der Position befindet, muss sie viermal nach rechts und einmal nach links gesprungen sein. Dafür gibt es Möglichkeiten, je nachdem, wann sie den Sprung nach links gemacht hat. Da es insgesamt Sprungkombinationen für Lucy gibt, befindet sie sich mit Wahrscheinlichkeit zum Schluss in der Position .
  2. Veronika besitzt zum Schluss vom Nullpunkt den Abstand genau dann, wenn sie sich in der Position oder der Position befindet. Dazu muss sie entweder jeden Sprung nach rechts oder jeden Sprung nach links machen. Dies ergibt Möglichkeiten, daher ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich .
  3. Da Lucy stets Sprünge der Länge ausführt, befindet sie sich stets und insbesondere zum Schluss in einer geraden Position. Die Position von Veronika hat die Form mit

    wobei die Anzahl ihrer Sprünge nach rechts und die Anzahl ihrer Sprünge nach links bezeichnet. Es ist dann

    und dies ist stets ungerade. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Lucy und Veronika nach fünf Sprüngen in der gleichen Position befinden, ist also gleich .