Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/6/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Diagonalmatrix} {.}
}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Ein \stichwort {Ringhomomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} zwischen \definitionsverweis {Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.}
}{Eine \stichwort {Intervallschachtelung} {} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Ein Winkel im \stichwort {Bogenmaß} {.}
}{Ein
\stichwort {Ereignis} {}
in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{M}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix}} { }
nennt man Diagonalmatrix.
}{Die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i \in I$.
}{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
}{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
}
}{Die Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
\aufzaehlungdrei{$\varphi(a+b)= \varphi(a) + \varphi(b)$
}{$\varphi(1)=1$
}{$\varphi(a \cdot b)= \varphi(a) \cdot \varphi(b)$.
}
}{Eine Folge von abgeschlossenen
\definitionsverweis {Intervallen}{}{}
\mathdisp {I_n =[a_n ,b_n], \, n \in \N} { , }
in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_{n+1}
}
{ \subseteq }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n \in \N}{} ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
\mathdisp {{ \left( b_n-a_n \right) }_{ n \in \N }} { , }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}{Der durch einen Kreisbogen der Länge $\alpha \in [0,2 \pi ]$ definierte Winkel heißt
Winkel im Bogenmaß.
}{Jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt ein Ereignis.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung \maabb {f} { M} {N } {.}}{Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.}{Die \stichwort {Formel für die totale Wahrscheinlichkeit} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wird eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert.}{Für alle reellen Zahlen $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert die Reihe
\mathl{\sum^\infty_{k = 0} x^k}{} und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum^\infty_{k = 0} x^k
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1-x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $(M, P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { B_1 \uplus B_2 \uplus \ldots \uplus B_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis $E$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E)
}
{ =} { \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( E {{|}} B_i )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x-8y
}
{ =} {6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{
Es ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ -3 }{ 4 } } \end{pmatrix}}{} eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}}{} ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 3 }{ 4 } } \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix} \mid t \in \Q \right\} }} { }
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen
\zusatzklammer {in der Reihenfolge
\mathl{A,B,C}{} und Nichtleser} {} {}
beschreibt, ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix}} { . }
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung
\mathl{(20000,20000,20000,40000)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20000 \\20000\\ 20000\\40000 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 22000 \\20000\\ 23000\\35000 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Die Ausgangsverteilung ist
\mathl{(0,0,0,100000)}{,} daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich
\mathl{(10000,10000,10000,70000)}{.}
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10000 \\10000\\ 10000\\70000 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 16000 \\15000\\ 16500\\52500 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16000 \\15000\\ 16500\\52500 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 12800+1500+5250 \\1600+9000+1650+5250\\ 800+3000+11550+5250\\800+1500+3300+36750 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 19550 \\17500\\ 20600\\42350 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.
}
{
Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da
\mathl{q= \lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor =0}{} ist und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor
}
{ =} {\lfloor 1 \rfloor
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor + \lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor
}
{ =} {0+0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{a,b\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig
\zusatzklammer {durch Auflistung aller zugehörigen Paare} {} {}
die Relation auf der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.
}
{
Die Potenzmenge besteht aus den Elementen
\mathdisp {\emptyset, \{ a\}, \{b\}, \{ a,b\}} { . }
Eine vollständige Auflistung aller Teilmengenbeziehungen ist
\mathdisp {(\emptyset,\emptyset),\, (\emptyset, \{a\}) ,\, (\emptyset, \{b\}) ,\, (\emptyset, \{a,b \}) ,\, (\{a\} , \{a\}) ,\, (\{a\} , \{a,b\}) ,\, (\{b\} , \{b\}) ,\, (\{b\} , \{a,b\}) ,\, (\{a,b\} , \{a, b\})} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{55}}{} in
\mathl{\Z/(93)}{.}
}
{
Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{93
}
{ =} { 1 \cdot 55 + 38
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 55
}
{ =} { 1 \cdot 38 + 17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 38
}
{ =} { 2 \cdot 17 +4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 17
}
{ =} { 4 \cdot 4 +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1
}
{ =} { 17 - 4 \cdot 4
}
{ =} { 17- 4 \cdot ( 38 -2 \cdot 17 )
}
{ =} { 9 \cdot 17 - 4 \cdot 38
}
{ =} { 9 \cdot { \left( 55-38 \right) } - 4 \cdot 38
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 9 \cdot 55 -13 \cdot 38
}
{ =} { 9 \cdot 55 -13 \cdot { \left( 93-55 \right) }
}
{ =} { 22 \cdot 55 -13 \cdot 93
}
{ } {}
}
{}{.}
Daher ist
\mathdisp {22} { }
das inverse Element zu $55$ in
\mathl{\Z/(93)}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Finde alle Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c)
}
{ \in }{ K^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die das Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot b
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b \cdot c
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot c
}
{ =} { b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
erfüllen.
}
{
Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch $b$ und $c$ gleich $0$. Dies ergibt die Lösung
\mathl{(0,0,0)}{.} Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich $0$ sind. Wir setzen die erste Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{a \cdot b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in die zweite Gleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b \cdot (a \cdot b)
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch Kürzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch $a$ und $c$ nur
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {}
sein können. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt mit der ersten Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt zu den Lösungen
\mathkor {} {(1,1,1)} {und} {(-1,1,-1)} {}
\zusatzklammer {wobei letzteres wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(-1)^2
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Tat eine Lösung ist} {} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {-c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was zu den Lösungen
\mathdisp {(1,-1,-1)} { }
und
\mathdisp {(-1,-1,1)} { }
führt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.
}
{
Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n_0$ derart, dass insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_{n_0} }
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \operatorname{max} (\betrag { x_i }, \, i \leq n_0) +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was offenbar eine Schranke liefert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{7} \text{ und } \sqrt{4} + \sqrt{6}} { . }
}
{
Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{7}
}
{ <} { 2 + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+7 + 2 \sqrt{21}
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{7} \right) }^2
}
{ <} { { \left( 2 + \sqrt{6} \right) }^2
}
{ =} { 4+6 +4 \sqrt{6}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist durch Subtraktion mit $10$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \sqrt{21}
}
{ <} { 4 \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{21}
}
{ <} { 2 \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{21
}
{ <} { 4 \cdot 6
}
{ =} { 24
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
was stimmt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{7}
}
{ <} { 2 + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Inwiefern ist eine \anfuehrung{Kommazahl}{} eine Folge, inwiefern eine Zahl?
}
{Dezimalbruchfolge/Folge oder Zahl/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ = }{ [a_n,b_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist. Zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei $n_0$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_{n_0}- a_{n_0}
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n }
}
{ \leq} {b_n-a_n
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_m,x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es sei $x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \notin }{I_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $m$, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} {a_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {oder \mathlk{x > b_m}{}} {} {,}
doch wegen der Konvergenz der Folge gegen $x$ würden dann auch die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß echt unterhalb von $a_m$ und damit von $a_n$ liegen, im Widerspruch zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\bigcap_{n \in \N} I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Würden zwei Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-x
}
{ \leq} { b_n-a_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen $0$ konvergieren.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 + { \frac{ -27+ 16 }{ 12 } }
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 -{ \frac{ 11 }{ 12 } }
}
}
{}
{}{.}
Da der quadratische Term links stets $\geq 0$ ist, ist
\mathl{-{ \frac{ 11 }{ 12 } }}{} der minimale Wert der Funktion.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$
\zusatzklammer {falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ Q(X-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
und $Q$ hat den Grad
\mathl{d-1}{,} so dass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(b)
}
{ = }{ Q(b)(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies kann nach
Lemma 23.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (5)
nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, so dass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Dann kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen, denn aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { u }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(u) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Wir zeigen, dass man für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ = }{ \betrag { { \frac{ x }{ 2 } } }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ {\min { \left( \delta , \epsilon \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ {]x-c,x+ c[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn $x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ {]x-c,x+ c[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Im ersten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(u) }
}
{ =} { \betrag { x }
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
im zweiten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(q) }
}
{ =} {\betrag { q }
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass in beiden Fällen die $\delta$-Umgebung von $x$ nicht in die $\epsilon$-Umgebung von $f(x)$ abgebildet wird.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ a }{ b } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mathl{P \in \Q[X]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
} {Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{Q \in \Q[X]}{} mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(z)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \defeq} {X- { \frac{ a }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieses Polynom ist normiert, es hat rationale Koeffizienten und es ist offenbar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ =} { { \frac{ a }{ b } } - { \frac{ a }{ b } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \defeq} { b X- a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieses Polynom besitzt ganzzahlige Koeffizienten und es ist offenbar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(z)
}
{ =} { b \cdot { \frac{ a }{ b } } - a
}
{ =} { a-a
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
} {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit $24$ multiplizieren und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2-12y+24
}
{ =} { { \left( y-6 \right) }^2 -36+24
}
{ =} { { \left( y-6 \right) }^2 -12
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu lösen, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{1,2}
}
{ =} { \pm \sqrt{12} + 6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {6 - \sqrt{12}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \sqrt{ 6 - \sqrt{12} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.
} {Da die Kosinusreihe gleich
\mathl{\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!}}{} ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da
\mathl{\pi/2}{} die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Im $\R^3$ sei durch
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { }
eine Gerade $G$ gegeben. In der $x-y$-Ebene $E$ sei $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und dem Radius $8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden $G$ mit der Ebene $E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis $K$?
}
{
Die $x-y$-Ebene wird durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5+4t
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} {- { \frac{ 5 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix} - { \frac{ 5 }{ 4 } } \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 - { \frac{ 5 }{ 4 } } \\4 + { \frac{ 15 }{ 4 } }\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 4 } } \\ { \frac{ 31 }{ 4 } }\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 3 }{ 4 } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 31 }{ 4 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 9+961 }{ 16 } }
}
{ =} {{ \frac{ 970 }{ 16 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{970
}
{ <} { 1024
}
{ =} {16 \cdot 64
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies kleiner als
\mathl{64=8^2}{,} der Durchstoßungspunkt liegt also innerhalb des Kreises.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{
Wir betrachten die Produktmenge
\mathl{\{K,Z\} \times \{K,Z \}}{} und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:
\anfuehrung{Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge
\mathl{\{K,Z\}}{} hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge $2^2=4$ Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form
\mathl{E_1 \times E_2}{.} Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es
\mathl{4 \cdot 4=16}{} Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge
\mathl{\{K,Z\} \times \{K,Z \}}{} besitzt $4$ Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge $16$ Elemente. Somit gibt es überhaupt $16$ Ereignisse in der Produktmenge und $16$ Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis}{.}
\aufzaehlungzwei {Ist diese Aussage korrekt? } {Ist diese Argumentation korrekt? }
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Aussage ist falsch, da beispielsweise
\mathl{\{ (K,Z), (Z,K) \}}{} eine Teilmenge von
\mathl{\{ K, Z\} \times \{ K, Z\}}{} ist, aber keine Produktmenge.
} {Diese Argumentation ist falsch, und zwar ist das Zählen der Produktmengen falsch. Zwar gibt es $16$ Kombinationen
\mathl{(E_1,E_2)}{,} wobei $E_1,E_2$ jeweils Teilmengen aus
\mathl{\{K,Z\}}{} sind, doch führen verschieden Paare nicht zu verschiedenen Produktmengen. Wenn $E_1 = \emptyset$ ist, so ist stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \emptyset \times E_2
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unabhängig von $E_2$. Es gibt also weniger als $16$ Produktmengen.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden? } {Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat? }
}
{
\aufzaehlungzwei {Es geht einfach um die Frage, ob bei der zweiten Ziehung die in der ersten Ziehung gezogenen Zahlen wieder gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist wie für jede Sechserreihe gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \binom { 49 } { 6 } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 983 816 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Die beiden Ereignisse sind unabhängig. Somit ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 13 983 816 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 13 983 816 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 195 547 109 921 856 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}