Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/6/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 4 1 3 3 4 3 3 3 4 2 4 5 2 4 4 3 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Diagonalmatrix.
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  4. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  5. Ein Winkel im Bogenmaß.
  6. Ein Ereignis in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Eine -Matrix der Form

    nennt man Diagonalmatrix.

  2. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  3. Die Abbildung

    heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

    1. .
  4. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  5. Der durch einen Kreisbogen der Länge definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
  6. Jede Teilmenge heißt ein Ereignis.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung .
  2. Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
  3. Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.


Lösung

  1. Durch die Festlegung

    wenn

    wird eine Äquivalenzrelation auf definiert.
  2. Für alle reellen Zahlen mit konvergiert die Reihe und es gilt
  3. Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und

    eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Lösung

Es ist eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Lösung

Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da ist und damit

aber

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge , die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.


Lösung

Die Potenzmenge besteht aus den Elementen

Eine vollständige Auflistung aller Teilmengenbeziehungen ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

Somit ist

Daher ist

das inverse Element zu in .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen , die das Gleichungssystem

erfüllen.


Lösung

Wenn

ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch und gleich . Dies ergibt die Lösung . Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich sind. Wir setzen die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein und erhalten

Daraus folgt wegen durch Kürzen

Somit ist oder . Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch und nur oder sein können. Bei folgt mit der ersten Gleichung

Dies führt zu den Lösungen und (wobei letzteres wegen in der Tat eine Lösung ist). Bei ist

was zu den Lösungen

und

führt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.


Lösung

Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu ein derart, dass insbesondere

für alle ist. Wir setzen

was offenbar eine Schranke liefert.


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

bzw. zu

Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu

was stimmt. Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Inwiefern ist eine „Kommazahl“ eine Folge, inwiefern eine Zahl?


Lösung Dezimalbruchfolge/Folge oder Zahl/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Es sei beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem sei derart, dass

Für ist dann

da ja ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre für ein , so wäre

(oder ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu . Also ist . Würden zwei Zahlen zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

für alle im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen konvergieren.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion


Lösung

Es ist

Da der quadratische Term links stets ist, ist der minimale Wert der Funktion.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Lösung

Sei zunächst und vorgegeben. Dann kann man setzen, denn aus folgt wegen oder auch . Sei nun . Wir zeigen, dass man für kein mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu vorgegeben und sei . Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl , wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl . Im ersten Fall gilt

im zweiten Fall gilt

so dass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei eine rationale Zahl.

  1. Zeige, dass es ein normiertes Polynom mit

    gibt.

  2. Zeige, dass es ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

    gibt.


Lösung

  1. Sei

    Dieses Polynom ist normiert, es hat rationale Koeffizienten und es ist offenbar

  2. Sei

    Dieses Polynom besitzt ganzzahlige Koeffizienten und es ist offenbar


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Lösung

  1. Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit multiplizieren und setzen. Es ist

    zu lösen, also ist

    Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist

    Somit ist

    die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.

  2. Da die Kosinusreihe gleich ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.


Aufgabe (4 Punkte)

Im sei durch

eine Gerade gegeben. In der -Ebene sei der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden mit der Ebene innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ?


Lösung

Die -Ebene wird durch die Gleichung beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung

also

Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten

Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus

Wegen

ist dies kleiner als , der Durchstoßungspunkt liegt also innerhalb des Kreises.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die Produktmenge und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:

„Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form . Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge besitzt Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge Elemente. Somit gibt es überhaupt Ereignisse in der Produktmenge und Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis“.

  1. Ist diese Aussage korrekt?
  2. Ist diese Argumentation korrekt?


Lösung

  1. Die Aussage ist falsch, da beispielsweise eine Teilmenge von ist, aber keine Produktmenge.
  2. Diese Argumentation ist falsch, und zwar ist das Zählen der Produktmengen falsch. Zwar gibt es Kombinationen , wobei jeweils Teilmengen aus sind, doch führen verschieden Paare nicht zu verschiedenen Produktmengen. Wenn ist, so ist stets

    unabhängig von . Es gibt also weniger als Produktmengen.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
  2. Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?


Lösung

  1. Es geht einfach um die Frage, ob bei der zweiten Ziehung die in der ersten Ziehung gezogenen Zahlen wieder gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist wie für jede Sechserreihe gleich
  2. Die beiden Ereignisse sind unabhängig. Somit ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich