Lösung
- Eine
-
Matrix
der Form
-
nennt man Diagonalmatrix.
- Die
Relation
heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Aus
und
folgt stets
.
- Aus
und
folgt
.
- Die Abbildung
-
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
.
- Eine Folge von abgeschlossenen
Intervallen
-
in
heißt eine Intervallschachtelung, wenn
für alle
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
-
gegen
konvergiert.
- Der durch einen Kreisbogen der Länge
definierte Winkel heißt
Winkel im Bogenmaß.
- Jede Teilmenge
heißt ein Ereignis.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung
.
- Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
- Die
Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.
Lösung
- Durch die Festlegung
-

wenn
-

wird eine Äquivalenzrelation auf
definiert.
- Für alle reellen Zahlen
mit
konvergiert die Reihe
und es gilt
-

- Es sei
ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
-

eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis
-

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
-

im
gegebene Gerade.
Lösung
Es ist
eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor
ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
-
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
Die Zeitungen
und
verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit
potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
- Die Abonnenten von
bleiben zu
bei
,
wechseln zu
,
wechseln zu
und
werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von
bleiben zu
bei
,
wechseln zu
,
wechseln zu
und
werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von
bleiben zu
bei
, niemand wechselt zu
,
wechseln zu
und
werden Nichtleser.
- Von den Nichtlesern entscheiden sich je
für ein Abonnement von
oder
, die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je
Abonnenten und es gibt
Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls
potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen
(und wie viele Nichtleser gibt es noch)
nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
Lösung
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen
(in der Reihenfolge
und Nichtleser)
beschreibt, ist
-
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung
ist
-

c) Die Ausgangsverteilung ist
, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich
.
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
-

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung

Bestimme, ob die durch die
Gaußklammer
gegebene Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist oder nicht.
Lösung
Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da
ist und damit
-

aber
-

ist.
Es sei
eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig
(durch Auflistung aller zugehörigen Paare)
die Relation auf der
Potenzmenge
, die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.
Lösung
Die Potenzmenge besteht aus den Elementen
-
Eine vollständige Auflistung aller Teilmengenbeziehungen ist
-
Bestimme das inverse Element zu
in
.
Lösung
Der euklidische Algorithmus liefert
-

-

-

-

Somit ist

Daher ist
-
das inverse Element zu
in
.
Es sei
ein
angeordneter Körper.
Finde alle Lösungen
,
die das Gleichungssystem
-

-

-

erfüllen.
Lösung
Wenn
-

ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch
und
gleich
. Dies ergibt die Lösung
. Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich
sind. Wir setzen die erste Gleichung
in die zweite Gleichung ein und erhalten
-

Daraus folgt wegen
durch Kürzen
-

Somit ist
oder
.
Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch
und
nur
oder
sein können. Bei
folgt mit der ersten Gleichung
-

Dies führt zu den Lösungen
und
(wobei letzteres wegen
in der Tat eine Lösung ist).
Bei
ist
-

was zu den Lösungen
-
und
-
führt.
Lösung
Vergleiche
-
Lösung
Wir fragen uns, ob
-

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
-

Dies ist durch Subtraktion mit
äquivalent zu
-

bzw. zu
-

Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu
-

was stimmt. Also ist
-

Inwiefern ist eine „Kommazahl“ eine Folge, inwiefern eine Zahl?
Lösung Dezimalbruchfolge/Folge oder Zahl/Aufgabe/Lösung
Lösung
Es sei
beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine
Cauchy-Folge
ist. Zu gegebenem
sei
derart, dass
-

Für
ist dann
-

da ja
ist. Es sei
der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre
für ein
, so wäre
-

(oder
),
doch wegen der Konvergenz der Folge gegen
würden dann auch die Folgenglieder für
hinreichend groß echt unterhalb von
und damit von
liegen, im Widerspruch zu
.
Also ist
.
Würden zwei Zahlen
zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
-

für alle
im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen
konvergieren.
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
-

Lösung
Es ist

Da der quadratische Term links stets
ist, ist
der minimale Wert der Funktion.
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper
.
Lösung
Zeige, dass die Funktion
-
mit
-

nur im Nullpunkt stetig ist.
Lösung
Es sei zunächst
und
vorgegeben. Dann kann man
setzen, denn aus
folgt wegen
oder
auch
.
Es sei nun
Wir zeigen, dass man für
kein
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
vorgegeben und sei
.
Wenn
rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
,
wenn
irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
Im ersten Fall gilt
-

im zweiten Fall gilt
-

sodass in beiden Fällen die
-Umgebung von
nicht in die
-Umgebung von
abgebildet wird.
Es sei
eine
rationale Zahl.
a) Zeige, dass es ein normiertes Polynom
mit
-

gibt.
b) Zeige, dass es ein Polynom
mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
-

gibt.
Lösung
a) Sei
-

Dieses Polynom ist normiert, es hat rationale Koeffizienten und es ist offenbar
-

b) Sei
-

Dieses Polynom besitzt ganzzahlige Koeffizienten und es ist offenbar
-

Lösung
- Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit
multiplizieren und
setzen. Es ist
-

zu lösen, also ist
-

Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist
-

Somit ist
-

die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.
- Da die Kosinusreihe gleich
ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da
die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.
Lösung
Die
-Ebene wird durch die Gleichung
beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung
-

also
-

Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten
-

Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus
-

Wegen
-

ist dies kleiner als
, der Durchstoßungspunkt liegt also innerhalb des Kreises.
Wir betrachten die Produktmenge
und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:
„Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge
hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge
Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form
. Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es
Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge
besitzt
Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge
Elemente. Somit gibt es überhaupt
Ereignisse in der Produktmenge und
Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis“.
- Ist diese Aussage korrekt?
- Ist diese Argumentation korrekt?
Lösung
- Die Aussage ist falsch, da beispielsweise
eine Teilmenge von
ist, aber keine Produktmenge.
- Diese Argumentation ist falsch, und zwar ist das Zählen der Produktmengen falsch. Zwar gibt es
Kombinationen
, wobei
jeweils Teilmengen aus
sind, doch führen verschieden Paare nicht zu verschiedenen Produktmengen. Wenn
ist, so ist stets
-

unabhängig von
. Es gibt also weniger als
Produktmengen.
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
- Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?
Lösung
- Es geht einfach um die Frage, ob bei der zweiten Ziehung die in der ersten Ziehung gezogenen Zahlen wieder gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist wie für jede Sechserreihe gleich
-

- Die beiden Ereignisse sind unabhängig. Somit ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich
-
