Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/6/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	1	3	3	4	3	3	3	4	2	4	5	2	4	4	3	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Diagonalmatrix.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

4. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Ein Winkel im Bogenmaß.
6. Ein Ereignis in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum ${}M$.

Lösung

1. Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

   ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$

   nennt man Diagonalmatrix.

2. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
3. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
4. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

   $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

   in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

   ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

   gegen ${}0$ konvergiert.

5. Der durch einen Kreisbogen der Länge ${}\alpha \in [0,2\pi ]$ definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
6. Jede Teilmenge ${}E\subseteq M$ heißt ein Ereignis.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung ${}f\colon M\rightarrow N$.
2. Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
3. Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.

Lösung

1. Durch die Festlegung

   ${}x\sim y\,,$

   wenn

   ${}f(x)=f(y)\,,$

   wird eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert.
2. Für alle reellen Zahlen ${}x$ mit ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ und es gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.$

3. Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und

   ${}M=B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}\,$

   eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis ${}E$

   ${}P(E)=\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(E{|}B_{i})\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}5x-8y=6\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Lösung

Es ist ${}{\begin{pmatrix}0\\{\frac {-3}{4}}\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

${\left\{{\begin{pmatrix}0\\-{\frac {3}{4}}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {Q} \right\}}$

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}20\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}10\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge ${}A,B,C$ und Nichtleser) beschreibt, ist

${\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}.$

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ${}(20000,20000,20000,40000)$ ist

${}{\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}20000\\20000\\20000\\40000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22000\\20000\\23000\\35000\end{pmatrix}}\,.$

c) Die Ausgangsverteilung ist ${}(0,0,0,100000)$, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich ${}(10000,10000,10000,70000)$.

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

${}{\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10000\\10000\\10000\\70000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16000\\15000\\16500\\52500\end{pmatrix}}\,.$

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0,8&0,1&0&0,1\\0,1&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,2&0,7&0,1\\0,05&0,1&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16000\\15000\\16500\\52500\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}12800+1500+5250\\1600+9000+1650+5250\\800+3000+11550+5250\\800+1500+3300+36750\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}19550\\17500\\20600\\42350\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Lösung

Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da ${}q=\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor =0$ ist und damit

${}\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1\rfloor =1\,,$

aber

${}\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor +\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor =0+0=0\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M=\{a,b\}$ eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$, die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.

Lösung

Die Potenzmenge besteht aus den Elementen

$\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}.$

Eine vollständige Auflistung aller Teilmengenbeziehungen ist

$(\emptyset ,\emptyset ),\,(\emptyset ,\{a\}),\,(\emptyset ,\{b\}),\,(\emptyset ,\{a,b\}),\,(\{a\},\{a\}),\,(\{a\},\{a,b\}),\,(\{b\},\{b\}),\,(\{b\},\{a,b\}),\,(\{a,b\},\{a,b\}).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {55}}$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}93=1\cdot 55+38\,,$

${}55=1\cdot 38+17\,,$

${}38=2\cdot 17+4\,,$

${}17=4\cdot 4+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=17-4\cdot 4\\&=17-4\cdot (38-2\cdot 17)\\&=9\cdot 17-4\cdot 38\\&=9\cdot {\left(55-38\right)}-4\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot {\left(93-55\right)}\\&=22\cdot 55-13\cdot 93.\end{aligned}}$

Daher ist

$22$

das inverse Element zu ${}55$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen ${}(a,b,c)\in K^{3}$, die das Gleichungssystem

${}a\cdot b=c\,,$

${}b\cdot c=a\,,$

${}a\cdot c=b\,,$

erfüllen.

Lösung

Wenn

${}a=0\,$

ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch ${}b$ und ${}c$ gleich ${}0$. Dies ergibt die Lösung ${}(0,0,0)$. Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich ${}0$ sind. Wir setzen die erste Gleichung ${}c=a\cdot b$ in die zweite Gleichung ein und erhalten

${}b\cdot (a\cdot b)=a\,.$

Daraus folgt wegen ${}a\neq 0$ durch Kürzen

${}b^{2}=1\,.$

Somit ist ${}b=1$ oder ${}b=-1$. Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch ${}a$ und ${}c$ nur ${}1$ oder ${}-1$ sein können. Bei ${}b=1$ folgt mit der ersten Gleichung

${}a=c\,.$

Dies führt zu den Lösungen ${}(1,1,1)$ und ${}(-1,1,-1)$ (wobei letzteres wegen ${}(-1)^{2}=1$ in der Tat eine Lösung ist). Bei ${}b=-1$ ist

${}a=-c\,,$

was zu den Lösungen

$(1,-1,-1)$

und

$(-1,-1,1)$

führt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ beschränkt ist.

Lösung

Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu ${}\epsilon =1$ ein ${}n_{0}$ derart, dass insbesondere

${}\vert {x_{n}-x_{n_{0}}}\vert \leq 1\,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ ist. Wir setzen

${}B:=\operatorname {max} (\vert {x_{i}}\vert ,\,i\leq n_{0})+1\,,$

was offenbar eine Schranke liefert.

Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {4}}+{\sqrt {6}}.$

Lösung

Wir fragen uns, ob

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}<2+{\sqrt {6}}\,$

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

${}3+7+2{\sqrt {21}}={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}<{\left(2+{\sqrt {6}}\right)}^{2}=4+6+4{\sqrt {6}}\,.$

Dies ist durch Subtraktion mit ${}10$ äquivalent zu

${}2{\sqrt {21}}<4{\sqrt {6}}\,$

bzw. zu

${}{\sqrt {21}}<2{\sqrt {6}}\,.$

Mit erneutem Quadrieren ist dies äquivalent zu

${}21<4\cdot 6=24\,,$

was stimmt. Also ist

${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}<2+{\sqrt {6}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Inwiefern ist eine „Kommazahl“ eine Folge, inwiefern eine Zahl?

Lösung Dezimalbruchfolge/Folge oder Zahl/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Lösung

Es sei ${}x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem ${}\epsilon >0$ sei ${}n_{0}$ derart, dass

${}b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.$

Für ${}m\geq n\geq n_{0}$ ist dann

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,$

da ja ${}x_{m},x_{n}\in I_{n}$ ist. Es sei ${}x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre ${}x\notin I_{m}$ für ein ${}m$, so wäre

${}x<a_{m}\,$

(oder $x>b_{m}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen ${}x$ würden dann auch die Folgenglieder für ${}n$ hinreichend groß echt unterhalb von ${}a_{m}$ und damit von ${}a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu ${}x_{n}\in I_{n}$. Also ist ${}x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. Würden zwei Zahlen ${}x<y$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

${}y-x\leq b_{n}-a_{n}\,$

für alle ${}n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen ${}0$ konvergieren.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}+{\frac {4}{3}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\frac {-27+16}{12}}\\&={\left(x-{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {11}{12}}.\end{aligned}}$

Da der quadratische Term links stets ${}\geq 0$ ist, ist ${}-{\frac {11}{12}}$ der minimale Wert der Funktion.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$. Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$, so dass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Lemma 23.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (5) nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, so dass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Lösung

Es sei zunächst ${}x=0$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Dann kann man ${}\delta =\epsilon$ setzen, denn aus ${}\vert {u}\vert \leq \epsilon$ folgt wegen ${}f(x)=0$ oder ${}f(x)=x$ auch ${}\vert {f(u)}\vert \leq \epsilon$. Es sei nun ${}x\neq 0$ Wir zeigen, dass man für ${}\epsilon =\vert {\frac {x}{2}}\vert >0$ kein ${}\delta >0$ mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu ${}\delta >0$ vorgegeben und sei ${}c={\min {\left(\delta ,\epsilon \right)}}$. Wenn ${}x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl ${}u\in {]x-c,x+c[}$, wenn ${}x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl ${}q\in {]x-c,x+c[}$ Im ersten Fall gilt

${}\vert {f(x)-f(u)}\vert =\vert {x}\vert >\epsilon \,,$

im zweiten Fall gilt

${}\vert {f(x)-f(q)}\vert =\vert {q}\vert >\epsilon \,,$

so dass in beiden Fällen die ${}\delta$-Umgebung von ${}x$ nicht in die ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f(x)$ abgebildet wird.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei ${}z={\frac {a}{b}}$ eine rationale Zahl.

1. Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ mit

   ${}P(z)=0\,$

   gibt.

2. Zeige, dass es ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

   ${}Q(z)=0\,$

   gibt.

Lösung

1. Sei

   ${}P:=X-{\frac {a}{b}}\,.$

   Dieses Polynom ist normiert, es hat rationale Koeffizienten und es ist offenbar

   ${}P(z)={\frac {a}{b}}-{\frac {a}{b}}=0\,.$

2. Sei

   ${}Q:=bX-a\,.$

   Dieses Polynom besitzt ganzzahlige Koeffizienten und es ist offenbar

   ${}Q(z)=b\cdot {\frac {a}{b}}-a=a-a=0\,.$

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei

${}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${}P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${}{\frac {\pi }{2}}$?

Lösung

1. Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit ${}24$ multiplizieren und ${}y=x^{2}$ setzen. Es ist

   ${}y^{2}-12y+24={\left(y-6\right)}^{2}-36+24={\left(y-6\right)}^{2}-12=0\,$

   zu lösen, also ist

   ${}y_{1,2}=\pm {\sqrt {12}}+6\,.$

   Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist

   ${}y=6-{\sqrt {12}}\,.$

   Somit ist

   ${}x={\sqrt {6-{\sqrt {12}}}}\,$

   die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.

2. Da die Kosinusreihe gleich ${}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$ ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da ${}\pi /2$ die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.

Aufgabe (4 Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei durch

${\left\{{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$

eine Gerade ${}G$ gegeben. In der ${}x-y$-Ebene ${}E$ sei ${}K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(0,0)$ und dem Radius ${}8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden ${}G$ mit der Ebene ${}E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ${}K$?

Lösung

Die ${}x-y$-Ebene wird durch die Gleichung ${}z=0$ beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung

${}5+4t=0\,,$

also

${}t=-{\frac {5}{4}}\,.$

Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}-{\frac {5}{4}}{\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2-{\frac {5}{4}}\\4+{\frac {15}{4}}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}\\{\frac {31}{4}}\\0\end{pmatrix}}\,.$

Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus

${}{\left({\frac {3}{4}}\right)}^{2}+{\left({\frac {31}{4}}\right)}^{2}={\frac {9+961}{16}}={\frac {970}{16}}\,.$

Wegen

${}970<1024=16\cdot 64\,$

ist dies kleiner als ${}64=8^{2}$, der Durchstoßungspunkt liegt also innerhalb des Kreises.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die Produktmenge ${}\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ und ihre Teilmengen. Fridolin sagt:

„Jede Teilmenge der Produktmenge ist selbst ein Produkt von Teilmengen. Die Menge ${}\{K,Z\}$ hat nämlich zwei Elemente, deshalb besitzt ihre Potenzmenge ${}2^{2}=4$ Elemente. Eine Produktmenge zu zwei Teilmengen besitzt die Form ${}E_{1}\times E_{2}$. Da hier jede Kombination erlaubt ist, muss es ${}4\cdot 4=16$ Teilmengen geben, die selbst Produktmengen sind. Die Produktmenge ${}\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ besitzt ${}4$ Elemente, somit besitzt ihre Potenzmenge ${}16$ Elemente. Somit gibt es überhaupt ${}16$ Ereignisse in der Produktmenge und ${}16$ Produktereignisse, also ist jedes Ereignis ein Produktereignis“.

1. Ist diese Aussage korrekt?
2. Ist diese Argumentation korrekt?

Lösung

1. Die Aussage ist falsch, da beispielsweise ${}\{(K,Z),(Z,K)\}$ eine Teilmenge von ${}\{K,Z\}\times \{K,Z\}$ ist, aber keine Produktmenge.
2. Diese Argumentation ist falsch, und zwar ist das Zählen der Produktmengen falsch. Zwar gibt es ${}16$ Kombinationen ${}(E_{1},E_{2})$, wobei ${}E_{1},E_{2}$ jeweils Teilmengen aus ${}\{K,Z\}$ sind, doch führen verschieden Paare nicht zu verschiedenen Produktmengen. Wenn ${}E_{1}=\emptyset$ ist, so ist stets

   ${}\emptyset \times E_{2}=\emptyset \,$

   unabhängig von ${}E_{2}$. Es gibt also weniger als ${}16$ Produktmengen.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
2. Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?

Lösung

1. Es geht einfach um die Frage, ob bei der zweiten Ziehung die in der ersten Ziehung gezogenen Zahlen wieder gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist wie für jede Sechserreihe gleich

   ${}{\frac {1}{\binom {49}{6}}}={\frac {1}{13983816}}\,.$

2. Die beiden Ereignisse sind unabhängig. Somit ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich

   ${}{\frac {1}{13983816}}\cdot {\frac {1}{13983816}}={\frac {1}{195547109921856}}\,.$