Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 14 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.

}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.

}{Die \stichwort {Symmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Eine $k$-te \stichwort {Wurzel} {} zu
\mathl{r \in R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} $R$.

}{Die \stichwort {Stetigkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}

}{Die \stichwort {vollständige Unabhängigkeit} {} von Ereignissen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E_1 , \ldots , E_k }
{ \subseteq} { M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in einem \definitionsverweis {endlichen Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mathl{(M, \mu)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.}{Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.}{Das \stichwort {Folgenkriterium} {} für die Stetigkeit einer Abbildung \maabbdisp {f} {D} {\R } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in ein lineares Gleichungssystem. } {Löse dieses lineare Gleichungssystem. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Beschreibe die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft, in Punktvektorform.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{14 (3+2+2+7)}
{

Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }

a) Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit $b'>0$ gibt.

c) Es sei $M$ die Menge der \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M } {z} { [ (z,1)] } {.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

d) Definiere auf $M$ \zusatzklammer {aus Teil c} {} {} eine \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} $+$ derart, dass $M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2) }
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $z_1,z_2 \in \Z$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mathl{a,b,c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2=c^2} { . }

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mathl{a,b,c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2 \neq c^2} { . }

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mathl{a,b \in {]0,1[}}{} und eine rationale Zahl
\mathl{c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2=c^2} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Die beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} besitzen die Dezimalentwicklungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0{,}2 \overline{13} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {0{,}\overline{127} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die Dezimalentwicklung von
\mathl{x+y}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {wachsend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-7x+5 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

\aufzaehlungzwei {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3X+X^2 \right) } \cdot { \left( -5+4X-3 X^2 \right) }} { }
im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $\Q[X]$. } {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2 \right) } \cdot { \left( -5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 \right) }} { }
in $\R$ auf zwei verschiedene Arten. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Z/(6)$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} verschiedene \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion \maabb {f} {I} {\R } {,} zu einem Intervall $I\subseteq \R$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Mustafa Müller darf zu seinem $n$-ten Geburtstag aus seiner Klasse $n$ Kinder einladen. Heute wird er $8$, in seiner Klasse gibt es neben ihm $30$ Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die $7$ Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Aus den Zahlen
\mathl{\{1 , \ldots , 10\}}{} werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.

}
{} {}