Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 1 14 4 3 5 4 2 3 1 3 7 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  2. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
  3. Die Symmetrie einer Relation auf einer Menge .
  4. Eine -te Wurzel zu in einem kommutativen Halbring .
  5. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  6. Die vollständige Unabhängigkeit von Ereignissen

    in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
  2. Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
  3. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt

    .


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

  1. Überführe die Matrixgleichung

    in ein lineares Gleichungssystem.

  2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.


Aufgabe * (1 Punkt)

Beschreibe die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft, in Punktvektorform.


Aufgabe * (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf die Relation

a) Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit gibt.

c) Es sei die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

Zeige, dass injektiv ist.

d) Definiere auf (aus Teil c) eine Verknüpfung derart, dass mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung die Beziehung

für alle gilt.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Die beiden reellen Zahlen und besitzen die Dezimalentwicklungen

und

Bestimme die Dezimalentwicklung von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

wachsend ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Berechne das Produkt

    im Polynomring .

  2. Berechne das Produkt

    in auf zwei verschiedene Arten.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion , zu einem Intervall .


Aufgabe * (3 Punkte)

Mustafa Müller darf zu seinem -ten Geburtstag aus seiner Klasse Kinder einladen. Heute wird er , in seiner Klasse gibt es neben ihm Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.


Aufgabe * (4 Punkte)

Aus den Zahlen werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.