Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	14	4	3	5	4	2	3	1	3	7	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ${}m$ Gleichungen in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.
2. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
3. Die Symmetrie einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
4. Eine ${}k$-te Wurzel zu ${}r\in R$ in einem kommutativen Halbring ${}R$.
5. Die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

6. Die vollständige Unabhängigkeit von Ereignissen

   ${}E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$

   in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,\mu )$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
2. Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
3. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}x\in D$.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe * (1 Punkt)

Beschreibe die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft, in Punktvektorform.

Aufgabe * (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Die beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ besitzen die Dezimalentwicklungen

${}x=0{,}2{\overline {13}}\,$

und

${}y=0{,}{\overline {127}}\,.$

Bestimme die Dezimalentwicklung von ${}x+y$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

${}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

wachsend ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-7x+5.$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$

   im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$.

2. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$

   in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${}x^{2}=x\,$

über ${}\mathbb {Z} /(6)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$, zu einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Mustafa Müller darf zu seinem ${}n$-ten Geburtstag aus seiner Klasse ${}n$ Kinder einladen. Heute wird er ${}8$, in seiner Klasse gibt es neben ihm ${}30$ Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die ${}7$ Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Aus den Zahlen ${}\{1,\ldots ,10\}$ werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.