Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/9/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 1 }

\renewcommand{\asechs}{ 10 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwortpraemath {m \times n} {Matrix}{} über einem Körper $K$.

}{Eine \stichwort {Relation} {} zwischen Mengen \mathkor {} {M} {und} {N} {.}

}{Ein \stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Ein \stichwort {halboffenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Eine \stichwort {Nullfolge} {} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Kreis} {} mit dem Mittelpunkt $(a,b)$ und dem Radius $r$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Unter einer $m \times n$-Matrix über $K$ versteht man ein Schema der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { , }
wobei
\mathl{a_{ij} \in K}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{i }
{ \leq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{j }
{ \leq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Eine Relation $R$ zwischen den Mengen \mathkor {} {M} {und} {N} {} ist eine \definitionsverweis {Teilmenge}{}{} der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M \times N}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{ M \times N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{a,b \in {\mathfrak a}}{} ist auch
\mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.} } {Für alle
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{r \in R}{} ist auch
\mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}} }{Unter einem halboffenen Intervall versteht man ein Intervall der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a,b[ }
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a \leq x < b \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{]a,b] }
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a < x \leq b \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt Nullfolge, wenn sie gegen $0$ konvergiert. }{Man nennt die Menge
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} }} { }
den Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Basen im
\mathl{K^m}{.}}{Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.}{Die \stichwort {Division mit Rest} {} im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathl{v_1= \begin{pmatrix} a_{11} \\\vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} a_{12} \\\vdots\\ a_{m2} \end{pmatrix} , \ldots , v_n = \begin{pmatrix} a_{1n} \\\vdots\\ a_{mn} \end{pmatrix}}{} Vektoren im $K^m$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \aufzaehlungdrei{Die Vektoren bilden eine Basis des $K^m$. }{Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des $K^m$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der $v_j$ ist die triviale Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { 0 \cdot v_1 + \cdots + 0 \cdot v_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für jedes
\mathl{w = \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_m \end{pmatrix} \in K^m}{} besitzt das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_1 \begin{pmatrix} a_{11} \\\vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix} + s_2 \begin{pmatrix} a_{12} \\\vdots\\ a_{m2} \end{pmatrix} + \cdots + s_n \begin{pmatrix} a_{1n} \\\vdots\\ a_{mn} \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_m \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine eindeutige Lösung. }}{Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.}{Es seien
\mathl{P,T \in K[X]}{} zwei Polynome mit
\mathl{T \neq 0}{.} Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
\mathl{Q,R \in K[X]}{} mit
\mathdisp {P = T Q + R \text{ und mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (T) \text{ oder } R = 0} { . }
}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-5y+7z }
{ =} {-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2 x+4y+3z }
{ =} {9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -5y+7z }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4y +3z }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 43 z }
{ =} { 45 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { { \frac{ 45 }{ 43 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ 5-3z }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 215 - 135 }{ 172 } } }
{ =} { { \frac{ 80 }{ 172 } } }
{ =} { { \frac{ 20 }{ 43 } } }
} {}{}{.} Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit
\mathdisp {\left( -2 , \, { \frac{ 20 }{ 43 } } , \, { \frac{ 45 }{ 43 } } \right)} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabb {\varphi} {K^n} {K^m } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige die folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Für jede \definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{

\aufzaehlungzwei {Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ =} { \varphi(0+0) }
{ =} {\varphi(0) + \varphi(0) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Addition mit dem negativen Element zu
\mathl{\varphi(0)}{,} also mit $- \varphi(0)$, ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {\varphi(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $k$. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^{k+1} s_i v_i \right) } }
{ =} {\varphi { \left( \sum_{i = 1}^{k} s_i v_i \right) } + \varphi { \left( s_{k+1} v_{k+1} \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } + \varphi { \left( s_{k+1} v_{k+1} \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } + s_{k+1} \varphi { \left( v_{k+1} \right) } }
{ =} { \sum_{i = 1}^{k+1} s_i \varphi { \left( v_i \right) } }
} {} {}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

}
{Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{10 (2+2+5+1)}
{

Wir betrachten auf $\N_+$ die Relation $\sim$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ \sim} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt. \aufzaehlungvier{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist. }{Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
\mathdisp {100,\, 1000, \, 9,\, 125, \, 500 , \, 27, \, 10, \, 210} { . }
}{Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb P$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge
\mathl{\mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )}{.} Zeige, dass es eine natürliche Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\N_+} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} ) } {} gibt, die zu einer injektiven Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} ) } {} führt. Ist $\tilde{\varphi}$ surjektiv? }{Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus? }

}
{

\aufzaehlungvier{Die Reflexivität ist klar, da $n$ die erste Potenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{n^1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} teilt. Die Symmetrie ist von der Formulierung her klar. Zum Nachweis der Transitivität sei
\mathl{\ell \sim m}{} und
\mathl{m \sim n}{.} Dann ist $\ell$ ein Teiler von
\mathl{m^r}{} für ein gewisses
\mathl{r \in \N}{} und $m$ ist ein Teiler von
\mathl{n^s}{} für ein gewisses
\mathl{s \in \N}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell a }
{ =} {m^r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m b }
{ =} {n^s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daraus folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell a b^r }
{ =} { m^r b^r }
{ =} { (mb)^{r} }
{ =} { { \left( n^s \right) }^r }
{ =} { n^{sr} }
} {}{}{,} so dass $\ell$ eine Potenz von $n$ teilt. Die umgekehrte Teilbarkeitsbeziehung ergibt sich genauso. }{Es ist offenbar
\mathl{10 \sim 100 \sim 1000 \sim 500}{} \zusatzklammer {es kommen jeweils die Primfaktoren \mathkor {} {2} {und} {5} {} vor} {} {} und
\mathl{9 \sim 27=3^3}{,} darüber hinaus sind $125=5^3$ und
\mathl{210=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{} nur zu sich selbst äquivalent. Dies ergibt sich aus der Charakterisierung der Relation mit Primteilern aus dem folgenden Teil. }{Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} ) } {n} { \{ \text{Primteiler von } n \} } {,} die einer natürlichen Zahl
\mathl{n \in \N_+}{} die Menge der in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommenden Primzahlen zuordnet. Es sei
\mathl{m \sim n}{.} Da in einer Potenz \zusatzklammer {zu einem positiven Exponenten} {} {} die gleichen Primfaktoren vorkommen \zusatzklammer {nur ihre Vielfachheit ändert sich} {} {} folgt aus der Eigenschaft, dass $m$ eine Potenz von $n$ teilt, dass die Primteiler von $m$ in den Primteilern von $n$ enthalten sein müssen. Aus
\mathl{m \sim n}{} folgt also, dass die Primteiler der beiden Zahlen überhaupt gleich sind. Nach Fakt ***** gibt es daher eine zugehörige Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} ) } {.} Diese ist injektiv, da wenn von $m$ und $n$ die Primteiler übereinstimmen, dann $m$ eine hinreichend große Potenz von $n$ teilt und umgekehrt. Diese Abbildung ist nicht surjektiv, da nur endliche Teilmengen der Primzahlen im Bild liegen, es aber unendlich viele Primzahlen gibt. }{Ein Repräsentantensystem besteht aus allen natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, dass sämtliche Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung gleich $1$ sind. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{44}}{} in
\mathl{\Z/(97)}{.}

}
{

Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{97 }
{ =} { 2 \cdot 44 + 9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{44 }
{ =} { 4 \cdot 9 +8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9 }
{ =} { 1 \cdot 8 +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1 }
{ =} { 9-1 \cdot 8 }
{ =} { 9-1 \cdot ( 44-4 \cdot 9 ) }
{ =} { 5 \cdot 9 -1 \cdot 44 }
{ =} { 5 \cdot (97-2 \cdot 44) -1 \cdot 44 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 5 \cdot 97 -11 \cdot 44 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-11 }
{ =} { 86 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das inverse Element zu $44$ in
\mathl{\Z/(97)}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch \zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}

}
{

Die Formel für
\mathl{x_{n+1}}{} lautet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left(x_n + { \frac{ 7 }{ x_n } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left(3 + { \frac{ 7 }{ 3 } }\right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 9+7 }{ 3 } }\right) } }
{ =} {{ \frac{ 16 }{ 6 } } }
{ =} {{ \frac{ 8 }{ 3 } } }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_2 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 7 }{ 8/3 } }\right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 21 }{ 8 } }\right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 64+63 }{ 24 } } }
{ =} { { \frac{ 127 }{ 48 } } }
} {}{}{.} Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_3 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 7 }{ 127/48 } }\right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 336 }{ 127 } }\right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 16129+16128 }{ 6096 } } }
{ =} { { \frac{ 32257 }{ 12192 } } }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} derart, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $n$ gibt. Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x_n } }}{} ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gibt es ein $n_1$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n } }
{ \leq} { \epsilon \delta^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{ N }
{ \defeq }{ \operatorname{max} \{n_0, n_1\} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { y_m-y_n } }
{ =} { \betrag { { \frac{ 1 }{ x_m } } - { \frac{ 1 }{ x_n } } } }
{ =} { \betrag { { \frac{ x_n -x_m }{ x_m x_n } } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \betrag { x_m } \cdot \betrag { x_n } } } \betrag { x_m-x_n } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ \delta^2 } } \cdot \epsilon \delta^2 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0{,}523\,107\,34\dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0{,}346\,892\,65\dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0,523 107 34 }
{ \leq} { x }
{ <} {0,523 107 35 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0,346 892 65 }
{ \leq} { y }
{ <} { 0,346 892 66 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Von daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0,86 999 999 }
{ \leq} { x+y }
{ <} { 0,870 000 01 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit steht fest, dass die Summe mit $0,8$ beginnt und dass die zweite Nachkommastelle gleich \mathkor {} {6} {oder} {7} {} ist. Die dritte bis zur achten Nachkommastelle sind entweder alle gleich $9$ oder alle gleich $0$. Für die neunte und die weiteren Nachkommastellen weiß man nichts, nur, dass wenn die neunte Nachkommastelle gleich $9$ ist, dass dann die vorhergehenden Ziffern auch gleich $9$ sind.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

}
{

Für jedes $x$ und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-1) { \left(\sum_{ k = 0}^n x^k\right) } }
{ =} { x^{n+1} -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher gilt für die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} die Beziehung \zusatzklammer {bei $x \neq 1$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_n }
{ =} { \sum_{ k = 0}^n x^k }
{ =} { \frac{ x^{n+1} -1}{ x-1 } }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} dies wegen Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und Aufgabe 28.30 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{-1}{x-1} }
{ = }{ \frac{1}{1-x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Erläutere, warum man mit der Dezimalentwicklung von reellen Zahlen \anfuehrung{nicht}{} rechnen kann.

}
{Dezimalentwicklung/Berechenbarkeit/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei $P \in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.

}
{

Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {(X-a_1)^{n_1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit verschiedenen $a_i$ und führen Induktion über den Grad $d=\sum_{j=1}^r n_j$ von $P$. Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms $Q$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {QT }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T(a_1) \cdot Q(a_1) }
{ =} { P(a_1) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt \mathkor {} {T(a_1) = 0} {oder} {Q(a_1) = 0} {.} Nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) bedeutet dies, dass \mathkor {} {T} {oder} {Q} {} von $X-a_1$ geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (X-a_1)^{n_1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r} }
{ =} {(X-a_1) (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r} }
{ =} { T Q' (X-a_1) }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P' }
{ =} { (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r} }
{ =} { T Q' }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und wir können auf $P'$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} {T' (X-a_1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-a_1) (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r} }
{ =} { (X-a_1) T' Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P' }
{ =} { (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r} }
{ =} { T' Q }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $P'$ bedeutet, dass $T'$ in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus $P'$ mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von $P'$ beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu
\mathl{X-a_j}{} in $P$ und in $P'$ für
\mathl{j \geq 2}{} übereinstimmen und die Vielfachheit von
\mathl{X-a_1}{} sich um $1$ reduziert, dies aber auch beim Übergang von $T$ nach $T'$ zutrifft, folgt die Aussage.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }

}
{

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b+c }
{ =} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+3b+9c }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}
\mathl{I-II}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} {-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mathl{I-III}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4b-8c }
{ =} {-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } b }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 8 } } }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 8 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 8 } }-X + { \frac{ 7 }{ 8 } } X^2} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { x^3-5x^2-x+2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(-2) } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Unter der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x)-f(-2) } }
{ =} { \betrag { x^3-5x^2-x+2- { \left( (-2)^3 -5 \cdot (-2)^2 -(-2) +2 \right) } } }
{ =} { \betrag { x^3-5x^2-x+2- (-2)^3 +5 \cdot (-2)^2 -2 -2 } }
{ =} { \betrag { x^3- (-2)^3 -5 { \left( x^2 - (-2)^2 \right) } -x-2 } }
{ \leq} { \betrag { x^3- (-2)^3 } +5 \betrag { x^2 - (-2)^2 } + \betrag { x+2 } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \betrag { x+2 } \cdot \betrag { x^2 - 2x + (-2)^2 } + 5 \betrag { x+2 } \cdot \betrag { x-2 } + \betrag { x+2 } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot \betrag { x^2 - 2x + (-2)^2 } + { \frac{ 5 }{ 1000 } } \cdot \betrag { x-2 } + { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot \betrag { 9 +6 +4 } + { \frac{ 5 }{ 1000 } } \cdot 5 + { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ =} { { \frac{ 45 }{ 1000 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {endlichen Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mathl{\{ a,b,c,d,e\}}{} mit der \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{}
\mathdisp {f(a) = { \frac{ 1 }{ 100 } } ,\, f(b) = { \frac{ 1 }{ 25 } } = { \frac{ 4 }{ 100 } } ,\, f(c) = { \frac{ 1 }{ 5 } } = { \frac{ 20 }{ 100 } } ,\, f(d) = { \frac{ 1 }{ 4 } } = { \frac{ 25 }{ 100 } },\, f(e) = { \frac{ 1 }{ 2 } } = { \frac{ 50 }{ 100 } }} { . }
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: \aufzaehlungvier{
\mathl{\{a, e\}}{,} }{
\mathl{\{b,c,e\}}{,} }{
\mathl{\{a, c,d\}}{,} }{
\mathl{\{a,b,d,e\}}{.} }

}
{

Es ist \aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \{a, e\} \right) } }
{ =} { f(a) +f(e) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 100 } } + { \frac{ 50 }{ 100 } } }
{ =} {{ \frac{ 51 }{ 100 } } }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \{b,c, e\} \right) } }
{ =} { f(b) +f(c)+f(e) }
{ =} { { \frac{ 4 }{ 100 } }+ { \frac{ 20 }{ 100 } } + { \frac{ 50 }{ 100 } } }
{ =} {{ \frac{ 74 }{ 100 } } }
{ =} {{ \frac{ 37 }{ 50 } } }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \{a,c,d \} \right) } }
{ =} { f(a)+f(c) +f(d) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 100 } }+ { \frac{ 20 }{ 100 } } + { \frac{ 25 }{ 100 } } }
{ =} { { \frac{ 46 }{ 100 } } }
{ =} {{ \frac{ 23 }{ 50 } } }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \{a,b,d, e\} \right) } }
{ =} { f(a) +f(b) +f(d) + f(e) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 100 } } + { \frac{ 4 }{ 100 } }+ { \frac{ 25 }{ 100 } } + { \frac{ 50 }{ 100 } } }
{ =} {{ \frac{ 80 }{ 100 } } }
{ =} { { \frac{ 4 }{ 5 } } }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+2+1)}
{

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde. \aufzaehlungdrei{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}9$? }{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}6$? }{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 25\,\%$? }

}
{

\aufzaehlungdrei{Es gibt insgesamt
\mathl{2^{10}=1024}{} mögliche Wurffolgen, jede besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $i$-mal Kopf geworfen wird, ist
\mathdisp {{ \frac{ \binom { 10 } { i} }{ 1024 } }} { . }
Da die Bedingung spiegelsymmetrisch zur Mitte $5$ ist, geht es um das minimale $k$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^{5-k-1} { \frac{ \binom { 10 } { i} }{ 1024 } } }
{ <} {0{,}05 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1024 } } + { \frac{ 10 }{ 1024 } } }
{ <} {0{,}05 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1024 } } + { \frac{ 10 }{ 1024 } } + { \frac{ 45 }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 56 }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 128 } } }
{ \geq} {0{,}05 }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der Bereich ist also
\mathl{\{2,3 , \ldots , 8\}}{.} }{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 10 } { 5} }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ \,\, { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 }{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } \,\, }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 9 \cdot 4 \cdot 7 }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 252 }{ 1024 } } }
{ <} {0{,}6 }
} {} {}{.} Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 10 } { 4} }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ \, \, { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } \, \, }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 3 \cdot 7 }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 210 }{ 1024 } } }
{ } { }
} {} {}{} und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 210 }{ 1024 } } + { \frac{ 252 }{ 1024 } } + { \frac{ 210 }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 672 }{ 1024 } } }
{ >} { 0{,}6 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mathl{\{4,5,6\}}{} der gesuchte Bereich. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25\,\% }
{ =} { 0{,}25 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \binom { 10 } { 5} }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 252 }{ 1024 } } }
{ =} { { \frac{ 63 }{ 256 } } }
{ <} { { \frac{ 64 }{ 256 } } }
{ =} {0{,}25 }
} {}{}{} ist auch hier
\mathl{\{4,5,6\}}{} der gesuchte Bereich. }

}