Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/9/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 5 1 10 3 3 4 2 4 4 6 3 3 2 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine -Matrix über einem Körper .
  2. Eine Relation zwischen Mengen und .
  3. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  4. Ein halboffenes Intervall in einem angeordneten Körper .
  5. Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper .
  6. Der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .


Lösung

  1. Unter einer -Matrix über versteht man ein Schema der Form

    wobei für und ist.

  2. Eine Relation zwischen den Mengen und ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
  3. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  4. Unter einem halboffenen Intervall versteht man ein Intervall der Form

    oder

  5. Eine Folge heißt Nullfolge, wenn sie gegen konvergiert.
  6. Man nennt die Menge

    den Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Basen im .
  2. Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.
  3. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Lösung

  1. Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    1. Die Vektoren bilden eine Basis des .
    2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des , und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ist die triviale Darstellung
    3. Für jedes besitzt das lineare Gleichungssystem

      eine eindeutige Lösung.

  2. Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.
  3. Es seien zwei Polynome mit . Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Lösung

Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten

und

Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten

Somit ist

und

Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt


Lösung

  1. Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist

    Addition mit dem negativen Element zu , also mit , ergibt

  2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für

    ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist


Aufgabe (1 Punkt)

Gartentoreverbindung.png

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.


Lösung Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (10 (2+2+5+1) Punkte)

Wir betrachten auf die Relation , die durch

festgelegt ist, falls eine Potenz von und eine Potenz von teilt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
  3. Es sei die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge . Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

    gibt, die zu einer injektiven Abbildung

    führt. Ist surjektiv?

  4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?


Lösung

  1. Die Reflexivität ist klar, da die erste Potenz teilt. Die Symmetrie ist von der Formulierung her klar. Zum Nachweis der Transitivität sei und . Dann ist ein Teiler von für ein gewisses und ist ein Teiler von für ein gewisses . Dann ist

    und

    und daraus folgt

    so dass eine Potenz von teilt. Die umgekehrte Teilbarkeitsbeziehung ergibt sich genauso.

  2. Es ist offenbar (es kommen jeweils die Primfaktoren und vor) und , darüber hinaus sind und nur zu sich selbst äquivalent. Dies ergibt sich aus der Charakterisierung der Relation mit Primteilern aus dem folgenden Teil.
  3. Wir betrachten die Abbildung

    die einer natürlichen Zahl die Menge der in der Primfaktorzerlegung von vorkommenden Primzahlen zuordnet. Es sei . Da in einer Potenz (zu einem positiven Exponenten) die gleichen Primfaktoren vorkommen (nur ihre Vielfachheit ändert sich) folgt aus der Eigenschaft, dass eine Potenz von teilt, dass die Primteiler von in den Primteilern von enthalten sein müssen. Aus folgt also, dass die Primteiler der beiden Zahlen überhaupt gleich sind. Nach Fakt ***** gibt es daher eine zugehörige Abbildung

    Diese ist injektiv, da wenn von und die Primteiler übereinstimmen, dann eine hinreichend große Potenz von teilt und umgekehrt. Diese Abbildung ist nicht surjektiv, da nur endliche Teilmengen der Primzahlen im Bild liegen, es aber unendlich viele Primzahlen gibt.

  4. Ein Repräsentantensystem besteht aus allen natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, dass sämtliche Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung gleich sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

Somit ist

Daher ist

das inverse Element zu in .


Aufgabe (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Lösung

Die Formel für lautet

Daher ist

Somit ist

Schließlich ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper derart, dass es ein mit für alle gibt. Zeige, dass die Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von gibt es ein mit

für alle . Dann gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe (2 Punkte)

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen und beginnen

und

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe sagen?


Lösung

Es ist

und

Von daher ist

Somit steht fest, dass die Summe mit beginnt und dass die zweite Nachkommastelle gleich oder ist. Die dritte bis zur achten Nachkommastelle sind entweder alle gleich oder alle gleich . Für die neunte und die weiteren Nachkommastellen weiß man nichts, nur, dass wenn die neunte Nachkommastelle gleich ist, dass dann die vorhergehenden Ziffern auch gleich sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.


Lösung

Für jedes und jedes gilt die Beziehung

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei )

Für und konvergiert dies wegen Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und Aufgabe 28.30 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Erläutere, warum man mit der Dezimalentwicklung von reellen Zahlen „nicht“ rechnen kann.


Lösung Dezimalentwicklung/Berechenbarkeit/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Lösung

Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben

mit verschiedenen und führen Induktion über den Grad von . Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms mit

Damit ist

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt oder . Nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) bedeutet dies, dass oder von geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus

und wir können auf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist

woraus sich

und somit

ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf bedeutet, dass in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu in und in für übereinstimmen und die Vielfachheit von sich um reduziert, dies aber auch beim Übergang von nach zutrifft, folgt die Aussage.


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

führt auf

und führt auf

also

und somit

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Lösung

Unter der Bedingung

ist


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten den endlichen Wahrscheinlichkeitsraum mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde.

  1. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ?
  2. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ?
  3. In welchem minimalen Bereich der Form liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ?


Lösung

  1. Es gibt insgesamt mögliche Wurffolgen, jede besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau -mal Kopf geworfen wird, ist

    Da die Bedingung spiegelsymmetrisch zur Mitte ist, geht es um das minimale mit

    Es ist

    und

    Somit ist , der Bereich ist also .

  2. Es ist
    Wegen
    und wegen

    ist der gesuchte Bereich.

  3. Es ist

    Wegen

    ist auch hier der gesuchte Bereich.