Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezweiundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Basis} {} im $K^m$.
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabb {\varphi} {K^n} { K^m } {,} wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bezeichnet.
}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Repräsentantensystem} {} zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Quotientenmenge} {} zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} im $K^m$ heißen eine
Basis
des $K^m$, wenn man jeden Vektor
\mathl{w \in K^m}{} eindeutig als eine
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
mit den Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} schreiben kann.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {K^n} { K^m
} {}
heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{u,v \in K^n}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi( s v)
}
{ = }{ s \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in K^n} {.}
}
}{Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$ ist eine
\definitionsverweis {Relation}{}{,}
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige $x,y,z \in M$} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$x \sim x$.
}{Aus $x \sim y$ folgt $y \sim x$.
}{Aus $x \sim y$ und $y \sim z$ folgt $x \sim z$.
}
}{Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede
\definitionsverweis {Äquivalenzklasse}{}{}
genau ein Element aus $T$ aus dieser Klasse gibt.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M/\sim
}
{ \defeq} { { \left\{ [x] \mid x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Quotientenmenge von $\sim$.
}{Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n,m \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer kommutativen Gruppe $G$.}{Der
\stichwort {Satz über die Intervallschachtelung} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum
des $K^n$
\zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}}{Es sei
\mathl{(G,0,+)}{} eine kommutative Gruppe,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe und
\mathl{G/H}{} die Quotientenmenge zur durch $H$ definierten
Äquivalenzrelation auf $G$ mit der kanonischen Projektion
\maabbeledisp {q} {G} {G/H
} {g} {[g]
} {.}
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf
\mathl{G/H}{} derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.}{Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Intervallschachtelung in $\R$. Dann besteht der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (3+1+1)}
{
In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür $1,30$ \euro . Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür $1,60$ \euro . Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro. \aufzaehlungdrei{Kann man daraus die Preise rekonstruieren? }{Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind? }{Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind? }
}
{
\aufzaehlungdrei{
Es sei $x$ der Preis für den Schokoriegel, $y$ der Preis für die Packung Brausepulver, $z$ der Preis für eine saure Zunge. Die drei Einkäufe führen zu den drei Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+2y+3z
}
{ =} {1,3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x+y+2z
}
{ =} {1,6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3y+4z
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Gleichung $2 I -II$ ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y+4z
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies stimmt mit der dritten Gleichung überein, daher ist das Gleichungssystem äquivalent zum System
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+2y+3z
}
{ =} {1,3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3y+4z
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit zwei Gleichungen. Dabei führt jede Vorgabe von $z$ zu einer Lösung und die Preise sind nicht ermittelbar.
}{Es gibt die Lösungen
\zusatzklammer {in Cent} {} {}
\mathkor {} {(60,20,10)} {und} {(61,24,7)} {,}
die Lösungen sind also auch unter der zusätzlichen Bedingung nicht eindeutig.
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
haben wir die Lösung
\mathl{(60,20,10)}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{20
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 20/3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also kein Vielfaches der $10$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \geq }{30
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z
}
{ \geq} {120
}
{ >} {100
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die zweite Gleichung kann nicht unter der gegebenen Nebenbedingung erfüllt werden. Es gibt also nur eine Lösung.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?
}
{Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }
}
{
\aufzaehlungvier{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden3Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4Geraden3Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4GeradenKeinSchnittpunkt.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4GeradenKeinSchnittpunkt.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden1Schnittpunkt.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4Geraden1Schnittpunkt.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4Geraden6Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4Geraden6Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$ }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 { \frac{ 2 }{ 7 } } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { \frac{ 3 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { , }
die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.
}
{
Die inverse Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 4 }{ 13 } } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { \frac{ 7 }{ 16 } } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3{ \frac{ 2 }{ 3 } } \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
}
{
Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_p}{} des $K^p$ nachweisen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( A \circ B \right) } { \left( e_k \right) }
}
{ =} { A(B(e_k))
}
{ =} {A { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} e_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk} \right) } e_i
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } c_{ik} e_i
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dabei sind die Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gerade die Einträge in der
\definitionsverweis {Produktmatrix}{}{}
\mathl{A \circ B}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (0.5+0.5+1+1+1)}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arctic food web.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Arctic food web.svg } {} {Offnfopt} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil
\mathl{x \rightarrow y}{} bedeutet, dass $x$ von $y$ gefressen wird.
\aufzaehlungfuenf{Was frisst ein Polarbear?
}{Von wem wird ein Capelin gefressen?
}{Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
}{Ist die Relation transitiv?
}{Ist die Relation antisymmetrisch?
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Ein Polarbear frisst Arctic cod, Ringed seal und Harbour seal. }{Capelin wird von Harbour seal und Harp seal gefressen. }{Polar bear, Killer whale und Arctic birds stehen an der Spitze der Nahrungskette, da von ihnen kein Pfeil ausgeht. }{Die Relation ist nicht transitiv, da beispielsweise ein Pfeil von Arctic cod nach Ringed seal und ein Pfeil von Ringed seal nach Killer whale geht, aber kein direkter Pfeil von Arctic cod nach Killer whale. }{Die Relation ist antisymmetrisch, da die Voraussetzung, dass zwei Objekte durch Pfeil und gegenläufigen Pfeil verbunden sind, überhaupt nicht vorkommt, und damit die in der Antisymmetrie geforderte Implikation automatisch erfüllt ist, da der Vordersatz stets falsch ist. }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{a,b\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig
\zusatzklammer {durch Auflistung aller zugehörigen Paare} {} {}
die Relation auf der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.
}
{
Die Potenzmenge besteht aus den Elementen
\mathdisp {\emptyset, \{ a\}, \{b\}, \{ a,b\}} { . }
Eine vollständige Auflistung aller Teilmengenbeziehungen ist
\mathdisp {(\emptyset,\emptyset),\, (\emptyset, \{a\}) ,\, (\emptyset, \{b\}) ,\, (\emptyset, \{a,b \}) ,\, (\{a\} , \{a\}) ,\, (\{a\} , \{a,b\}) ,\, (\{b\} , \{b\}) ,\, (\{b\} , \{a,b\}) ,\, (\{a,b\} , \{a, b\})} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und sei
\maabb {f} {M} {N
} {}
eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ definiert wird.
}
{
Da der Funktionswert $f(x)$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar $x \sim x$. Wenn
\mathl{x \sim y}{} ist, so bedeutet das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ f(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(y)
}
{ = }{ f (x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wiederum
\mathl{y \sim x}{} bedeutet. Wenn
\mathl{x \sim y}{} und
\mathl{y \sim z}{} ist, so bedeutet dies einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ f(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(y)
}
{ = }{ f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was
\mathl{x \sim z}{} bedeutet.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Zeige, dass die auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte
\definitionsverweis {Relation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{
Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \sim }{ (c,d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(c,d)
}
{ \sim }{ (e,f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad
}
{ = }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ cf
}
{ = }{ed
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ adf
}
{ =} {bcf
}
{ =} {bde
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt die Kürzungsregel in $\Z$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{af
}
{ =} {eb
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \sim }{ (e,f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{55}}{} in
\mathl{\Z/(93)}{.}
}
{
Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{93
}
{ =} { 1 \cdot 55 + 38
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 55
}
{ =} { 1 \cdot 38 + 17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 38
}
{ =} { 2 \cdot 17 +4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 17
}
{ =} { 4 \cdot 4 +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1
}
{ =} { 17 - 4 \cdot 4
}
{ =} { 17- 4 \cdot ( 38 -2 \cdot 17 )
}
{ =} { 9 \cdot 17 - 4 \cdot 38
}
{ =} { 9 \cdot { \left( 55-38 \right) } - 4 \cdot 38
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 9 \cdot 55 -13 \cdot 38
}
{ =} { 9 \cdot 55 -13 \cdot { \left( 93-55 \right) }
}
{ =} { 22 \cdot 55 -13 \cdot 93
}
{ } {}
}
{}{.}
Daher ist
\mathdisp {22} { }
das inverse Element zu $55$ in
\mathl{\Z/(93)}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{7}} { . }
}
{
Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{5} + \sqrt{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+10 + 2 \sqrt{30}
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{10} \right) }^2
}
{ >} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{7} \right) }^2
}
{ =} { 5+7 + 2 \sqrt{35}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist durch Subtraktion mit $12$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 +2 \sqrt{30}
}
{ >} { 2 \sqrt{35}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+ 4 \cdot 30 + 4 \cdot \sqrt{30}
}
{ =} { { \left( 1 + 2 \sqrt{30} \right) }^2
}
{ >} { 4 \cdot 35
}
{ =} { 140
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4 \sqrt{30}
}
{ >} { 19
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Quadrieren liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{480
}
{ =} { 16 \cdot 30
}
{ >} { 19^2
}
{ =} {361
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was stimmt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{ 5} + \sqrt{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 5 }{ 2 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 5 }{ \, { \frac{ 9 }{ 4 } } \, } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 20 }{ 9 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 81+80 }{ 72 } }
}
{ =} { { \frac{ 161 }{ 72 } }
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_3
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 161 }{ 72 } } + { \frac{ 5 }{ \, { \frac{ 161 }{ 72 } } \, } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 161 }{ 72 } } + { \frac{ 360 }{ 161 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 25921 + 25920 }{ 23184 } }
}
{ =} { { \frac{ 51841 }{ 23184 } }
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} eindeutig bestimmt ist.
}
{
Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte
\mathbed {x,y} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,}
gibt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \defeq }{ \betrag { x-y }
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ \defeq }{ d/3
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0} { }
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_0'$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-y } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0'} { . }
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{\max\{n_0,n_0'\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der
Dreiecksungleichung der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { \betrag { x-y }
}
{ \leq} { \betrag { x-x_n } + \betrag { x_n-y }
}
{ \leq} { \epsilon+ \epsilon
}
{ =} { 2 d/3
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die Folge
\zusatzklammer {durch Erweiterung mit $1/n^3$} {} {}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { \frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ =} { \frac{ 3 - \frac{1}{n} - \frac{7}{n^3} }{ 2+ \frac{1}{n^2}+ \frac{8}{n^3} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Folgen vom Typ
\mathkor {} {a/n, \, a/n^2} {und} {a/n^3} {}
sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $3$ und der Nenner gegen $2$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3/2
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die $17.$ Nachkommastelle in der
\zusatzklammer {kanonischen} {} {}
Dezimalentwicklung eine $0$ ist. Welche Eigenschaften eines
\definitionsverweis {Ideals}{}{}
erfüllt diese Menge, welche nicht?
}
{
\aufzaehlungdrei{Die $0$ gehört dazu, da die Dezimalentwicklung der $0$ an jeder Stelle eine $0$ besitzt.
}{Die Additivitätseigenschaft ist nicht erfüllt, wir betrachten den Dezimalbruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0,000 \ldots 000 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit siebzehn Nachkommanullen, die achtzehnte Nachkommaziffer ist eine $5$. Diese Zahl gehört zu $T$, wenn man sie aber mit sich selbst addiert, so erhält man an der siebzehnten Nachkommastelle eine $1$, so dass die Summe aus zwei Elementen aus $T$ nicht zu $T$ gehören muss.
}{Die Zahl $x$ aus Teil (2) gehört zu $T$, aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2x
}
{ = }{x+x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört nicht zu $T$. Das bedeutet, dass $T$ nicht unter der Multiplikation mit beliebigen reellen Zahlen abgeschlossen ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Setze in das Polynom
\mathl{-5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5}}{} die Zahl $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ein.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( -5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5} \right) } { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }
}
{ =} { -5 { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }^3 - { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) }^2 + \sqrt{2} { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } + \sqrt{5}
}
{ =} { -5 { \left( \sqrt{2}^3 +3 \sqrt{2}^2\sqrt{3}+3 \sqrt{2}\sqrt{3}^2 + \sqrt{3}^3 \right) } - { \left( \sqrt{2}^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}^2 \right) } + \sqrt{2} { \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) } + \sqrt{5}
}
{ =} {-5 { \left( 2 \sqrt{2} +6 \sqrt{3}+9 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} \right) } - { \left( 2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3}+3 \right) } + 2+ \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{5}
}
{ =} {-5 { \left( 11 \sqrt{2} +9 \sqrt{3} \right) } - 3 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{5}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-55 \sqrt{2} -45 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 + \sqrt{5}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3+4X^2+3X+4
}
{ =} { { \left( 3X^2+2X+1 \right) } 2 X + X +4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b+c
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+3b+9c
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{I-II}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{I-III}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4b-8c
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } b
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 8 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 8 } }-X + { \frac{ 7 }{ 8 } } X^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { 2x^3-4x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Unter der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ =} { \betrag { 2x^3-4x+5 - 2 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3 -5 }
}
{ =} { \betrag { 2 (x^3-3^3) -4 (x-3) }
}
{ \leq} { 2 \betrag { x^3-3^3 } + 4 \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { 2 \betrag { x-3 } \cdot \betrag { x^2+3x+3^2 } + { \frac{ 4 }{ 800 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { 2 \cdot { \frac{ 1 }{ 800 } } \cdot \betrag { 16 +12 +9 } + { \frac{ 4 }{ 800 } }
}
{ =} { { \frac{ 78 }{ 800 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} {x^3 -4 x^2
}
{ =} { \sqrt{42}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(5)
}
{ = }{ 25
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{\sqrt{42}
}
{ \leq }{ 25
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $f$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach
dem Zwischenwertsatz
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{\sqrt{42}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}