Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Ersetze im Ausdruck
\mathdisp {\text{QZVWXYTXUXYSRWZ}} { }
simultan die Buchstaben $Q$ durch $F$, $R$ durch $A$, $S$ durch $J$, $T$ durch $N$, $V$ durch $O$, $W$ durch $H$, $X$ durch $E$, $Y$ durch $S$ und $Z$ durch $R$. Handelt es sich um einen Term?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere, ob es sich bei
\mathdisp {n!, \, \binom { n } { k }, \, \pi,\, e^u, x^y,\, 5^x, \, \sqrt{x},\, \heartsuit} { }
um Terme handelt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Expandiere den Term
\mathl{3a^2}{.}

}
{} {}

Bei Einsetzungsaufgaben sind grundsätzlich die entstehenden Terme zu vereinfachen.


\inputaufgabe
{}
{

Ersetze im Term
\mathl{3x^2+2x+4}{} die Variable $x$ durch den Term $5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ersetze im Term
\mathl{4x^2+3x+7}{} die Variable $x$ durch den Term $y^3+2y+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ersetze im Term
\mathl{3x^2+5x+6}{} die Variable $x$ durch den Term $4y^2+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ersetze im Term
\mathdisp {a_4 \cdot 10^4+a_3 \cdot 10^3+a_2 \cdot 10^2+a_1 \cdot 10+a_0} { }
simultan die Variablen \aufzaehlungvier{$a_0$ durch $4$, $a_1$ durch $7$, $a_2$ durch $4$, $a_3$ durch $0$, $a_4$ durch $5$, }{$a_0$ durch $7$, $a_1$ durch $11$, $a_2$ durch $10$, $a_3$ durch $0$, $a_4$ durch $13$, }{$a_0$ durch $b_1$, $a_1$ durch $b_3$, $a_2$ durch $b_7$, $a_3$ durch $b_1$, $a_4$ durch $b_3$, }{$a_0$ durch $10$, $a_1$ durch $10^3$, $a_2$ durch $10^4$, $a_3$ durch $100$, $a_4$ durch $10^4$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ersetze im Molekül
\mathdisp {H-O-C\equiv C-O-O-C \equiv B} { }
jedes Sauerstoffatom \zusatzklammer {$O$} {} {} durch
\mathl{O-O}{} und jedes Kohlenstoffaxiom \zusatzklammer {$C$} {} {} durch ein Siliciumaxiom $Si$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{T(x)}{} ein Term in der einen Variablen $x$, der ansonsten aus natürlichen Zahlen und darauf definierten Funktionssymbolen gebildet sei. Man mache sich klar, dass die Einsetzung
\mathl{a \mapsto T(a)}{} eine Abbildung von $\N$ nach $\N$ definiert.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Littlediscoperade1.png} }
\end{center}
\bildtext {Die kleine Scheibe A} }

\bildlizenz { Littlediscoperade1.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Littlediscoperade2.png} }
\end{center}
\bildtext {Die kleine Scheibe B} }

\bildlizenz { Littlediscoperade2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Littlediscoperade3.png} }
\end{center}
\bildtext {Die kleine Scheibe C} }

\bildlizenz { Littlediscoperade3.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Littlediscoperade4.png} }
\end{center}
\bildtext {Die kleine Scheibe D} }

\bildlizenz { Littlediscoperade4.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Die Kleine-Scheiben-Operade besteht aus Kreisen mit einem fixierten Radius, die kleinere überschneidungsfreie durchnummerierte Kreise beinhalten. Es seien $K$ und $L$ zwei solche Scheiben. Die Verknüpfung
\mathl{K *_i L}{} \zusatzklammer {genannt die $i$-te \stichwort {Einsetzung} {}} {} {,} wobei $i$ zwischen $1$ und der Anzahl der inneren Kreise von $K$ ist, erhält man, indem man den $i$-ten inneren Kreis von $K$ durch den auf diese Größe geschrumpften Kreis $L$ \zusatzklammer {ohne Drehung} {} {} ersetzt, dabei die Umrandung weglässt und die inneren Kreise neu nummeriert, und zwar so, dass die inneren Kreise von $K$ bis zur Nummer $i-1$ ihre Nummer behalten, die in den $i$-ten Kreis von $K$ platzierten Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in $L$ bekommen und die verbleibenden inneren Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in $K$ bekommen.

Alle folgenden Einsetzungsaufgaben für die kleinen Scheiben beziehen sich auf die skizzierten Objekte.


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungdrei{$A *_1 B$, }{$A *_2 B$, }{$A *_3 B$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungdrei{$A *_1 A$, }{$A *_2 A$, }{$A *_3 A$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungacht{$B *_1 A$, }{$A *_2 D$, }{$D *_3 B$, }{$D *_1 B$, }{$D *_2 B$, }{$D *_1 D$, }{$C*_1 A$, }{$A *_1 C$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungfuenf{$C *_1 C$, }{$(C *_1 C) *_1 C$, }{$((C *_1 C) *_1 C ) *_1 C$, }{$C *_1 (C *_1 C)$, }{$(C *_1 C) *_1 (C *_1 C)$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Besitzen die Einsetzungen
\mathl{*_i}{} für die kleinen Scheiben ein neutrales Element?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Setze in den folgenden Definitionsgleichungen den Doppelpunkt an die richtige Stelle.
\mathdisp {a^3 =a \cdot a \cdot a,\, n! =n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1, \, \binom { n } { k } = { \frac{ n! }{ (n-k)! k! } } , \, P = 4x^2 +7x -5} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, von welcher Art \zusatzklammer {im Sinne der Vorlesung} {} {} die folgenden Gleichungen sind. \aufzaehlungfuenf{
\mathl{\sum_{i = 1}^n i = { \frac{ n(n+1) }{ 2 } }}{,} }{
\mathl{\prod_{i = 1}^n i = n!}{,} }{
\mathl{4+9=13}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 4 } { 2 } }
{ =} {6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mathl{x^2 =7}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine Lösung und eine Nichtlösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x^3+3x^2 +4x+5 }
{ =} { 11 x^2 +7x+7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche Umformungsregeln für Gleichungen kennen Sie? Handelt es sich um Äquivalenzumformungen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche Lösungen aus $\N$ für die folgenden Gleichungen. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2x+3 }
{ = }{5x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2x }
{ = }{x^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{9x }
{ = }{x^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n^3-n^2 }
{ \leq} {20 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} innerhalb der natürlichen Zahlen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x) }
{ =} { 6x^3+5x^2+4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(y) }
{ =} {y^2+3y+7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungvier{Ersetze im Term
\mathl{Q(y)}{} die Variable $y$ durch $6$. Das Ergebnis sei $a$. }{Ersetze im Term
\mathl{P(x)}{} die Variable $x$ durch $a$. }{Ersetze im Term
\mathl{P(x)}{} die Variable $x$ durch den Term $Q(y)$. Das Ergebnis sei
\mathl{R(y)}{.} }{Ersetze im Term
\mathl{R(y)}{} die Variable $y$ durch $6$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungvier{$B *_2 A$, }{$D *_3 D$, }{$( A *_3 B) *_4 C$, }{$( D *_2 B) *_2 B$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien
\mathl{v \geq u \geq 0}{} natürliche Zahlen. Zeige, dass
\mathdisp {x = v^2-u^2, \, y = 2uv,\, z=u^2+v^2} { }
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +y^2 }
{ =} {z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n }
{ \geq} {n^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}