Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 8/latex

\setcounter{section}{8}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\N \times \N}{} als Teilmenge von
\mathl{\R \times \R}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Black cat sitting on a round straw bale.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben?} }

\bildlizenz { Black cat sitting on a round straw bale.jpg } {} {Flickr upload bot} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe für je zwei \zusatzklammer {einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird} {} {} der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen. \aufzaehlungvier{Ein Geradenstück $I$. }{Eine Kreislinie $K$. }{Eine Kreisscheibe $D$. }{Eine Parabel $P$. } Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {A} {und} {B} {} \definitionsverweis {disjunkte Mengen}{}{} und $C$ eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C \times (A \uplus B) }
{ =} { ( C \times A) \uplus ( C \times B ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Teilmengen. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) } }
{ =} { A \times B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_1,A_2 }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B_1,B_2 }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} Teilmengen. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A_1 \times B_1 \right) } \cap { \left( A_2 \times B_2 \right) } }
{ =} { { \left( A_1 \cap A_2 \right) } \times { \left( B_1 \cap B_2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {A} {und} {B} {} \definitionsverweis {disjunkte Mengen}{}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(A \uplus B) \times (A \uplus B) }
{ =} {( A \times A) \uplus ( A \times B) \uplus (B \times A) \uplus (B \times B) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\tau} {L \times M} { M \times L } {(x,y)} { (y,x) } {,} eine \definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{} zwischen den Produktmengen \mathkor {} {L \times M} {und} {M \times L} {} festlegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P$ eine Menge von Personen und $V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und $N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von $P$ nach $V$, nach $N$ und nach $V \times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungsechs{${ \left\{ (x,y) \mid x+y = 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid x+y \leq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid (x+y)^2 \geq 4 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { x+2 } \geq 5 \text{ und } \betrag { y-2 } \leq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { x } = 0 \text{ und } \betrag { y^4-2y^3+7y-5 } \geq -1 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid -1 \leq x \leq 3 \text{ und } 0 \leq y \leq x^3 \right\} }$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine Wertetabelle und skizziere den Graphen für das Nachfolgernehmen in den natürlichen Zahlen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie sehen die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der Funktionen \maabb {f} {\R} { \R } {} aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non-injective function.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Non-injective function.svg } {} {Fulvio314} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer Abbildung \maabbdisp {f} {\R} { \R } {,} ob $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} bzw. \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} darauf, die wir als Produkt schreiben. \aufzaehlungzwei {Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen? } {Die Verknüpfung sei nun \definitionsverweis {assoziativ}{}{.} Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Auf wie viele Arten kann $n$ als eine Summe von zwei natürlichen Zahlen dargestellt werden? Inwiefern muss man diese Fragestellung präzisieren?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir zählen
\mathdisp {\text{ heute},\, \text{ morgen},\, \text{ übermorgen}, \, \text{überübermorgen}, \, \text{überüberübermorgen}, \ldots} { }
und wollen mit diesen Zahlen addieren. \aufzaehlungfuenf{Welche alltagssprachliche Formulierung besitzt die Addition in diesem Zählmodell? }{Welche sprachlichen Formulierungen drücken aus, das heute das neutrale Element der Addition ist. }{Was ist morgen plus morgen? }{Was ist übermorgen plus übermorgen? }{Was ist überübermorgen plus überüberübermorgen? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {k} {und} {n} {} natürliche Zahlen. Zeige, dass die \zusatzklammer {Nachfolger} {-} {}Abbildung \maabbeledisp {} {\{ k , \ldots , n\} } {\{ k^\prime , \ldots , n^\prime\} } {i} {i^ \prime } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in den jeweiligen Modellen der natürlichen Zahlen die Anzahl der folgenden Abschnitte von $\N$. \aufzaehlungdrei{
\mathdisp {\{ {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} , \ldots , {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} \}} { . }
}{
\mathdisp {\{ 1201 , \ldots , 21010 \}} { }
\zusatzklammer {im Dreiersystem} {} {.} }{
\mathdisp {\{ \text{überübermorgen} , \ldots , \text{überüberüberüberüberüberübermorgen} \}} { . }
}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {S} {und} {T} {} \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Teilmengen}{}{} einer Menge $M$. Zeige, dass dann auch die Vereinigung $S \cup T$ endlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Nach dem Mittagessen wollen Frau Maier-Sengupta und Herr Referendar Lutz mit den Kindern
\mathl{A,B,C,G,H,L,M,R,T}{} eine Bootsfahrt machen, wozu jedes Kind eine Nummer zwischen \mathkor {} {1} {und} {9} {} braucht. Frau Maier-Sengupta ist vor dem Mittagessen mit einem Teil der Kinder auf dem Spielplatz und verteilt dabei schon mal die Nummern \wertetabellesechsausteilzeilen { $n$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{ {6} }
{ $\varphi(n)$ }
{\mazeileundfuenf {A} {G} {R} {H} {L} }
{ {B} } Beim Abräumdienst nach dem Mittagessen legt Herr Lutz \zusatzklammer {ohne Rücksprache} {} {} folgende Nummern fest \wertetabellefuenfausteilzeilen { $n$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{ $\psi(n)$ }
{\mazeileundfuenf {L} {C} {M} {G} {T} } Lucy (L) wollte zwar sagen, dass sie schon eine Nummer hat, doch das wurde von Gabi (G) verhindert. Am Boot entscheidet dann Frau Maier-Sengupta, dass die Spielplatzkinder ihre Spielplatznummern behalten und dass die übrigen Kinder die hinteren Nummern
\mathl{7-9}{} in der von Herrn Lutz vergebenen Reihenfolge bekommen. \aufzaehlungzwei {Erstelle eine Wertetabelle für die Bootsnummerierung. } {Definiere die Bootsnummerierung als Abbildung
\mathl{\vartheta}{} durch eine geeignete Fallunterscheidung. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungvier{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { 2x } = 5 \text{ und } \betrag { y } \geq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid -3x \geq 2y \text{ und } 4x \leq -5y \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid y^2-y+1 \leq 4 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid xy = 2 \text{ oder } x^2+y^2 = 1 \right\} }$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {assoziativen}{}{} \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} darauf, die wir als $\star$ schreiben. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a \star b) \star( c \star (d \star e)) }
{ =} { a \star (( b \star (c \star d)) \star e) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d,e }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} $*$. Zeige, dass es maximal ein \definitionsverweis {neutrales Element}{}{} für die Verknüpfung gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien
\mathl{k,n}{} natürliche Zahlen. Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{}

\maabbeledisp {} { \{ 1 , \ldots , k \} } { \{1+n , \ldots , k+n \} } { i } { i+ n } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {Anleitung: Führe Induktion nach $n$ unter Verwendung von Aufgabe 8.16.}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei \definitionsverweis {endliche Teilmengen}{}{} einer Menge $G$. Zeige, dass die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( M \right) } + { \# \left( N \right) } }
{ =} { { \# \left( M \cup N \right) } + { \# \left( M \cap N \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}