Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 8

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Skizziere die Produktmenge $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ als Teilmenge von $ℝ\times ℝ$.

Übungsaufgaben

Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben?

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.

1. Ein Geradenstück $I$.
2. Eine Kreislinie $K$.
3. Eine Kreisscheibe $D$.
4. Eine Parabel $P$.

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ disjunkte Mengen und $C$ eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit

$C\times (A\uplus B)=(C\times A)\uplus (C\times B).$

Aufgabe *

Es seien $M$ und $N$ Mengen und seien  $A\subseteq M$  und  $B\subseteq N$  Teilmengen. Zeige die Gleichheit

$(A\times N)\cap (M\times B)=A\times B.$

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und seien  $A_1,A_2\subseteq M$  und  $B_1,B_2\subseteq N$  Teilmengen. Zeige die Gleichheit

$(A_1\times B_1)\cap (A_2\times B_2)=(A_1\cap A_2)\times (B_1\cap B_2).$

Aufgabe

Es seien $A$ und $B$ disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit

$(A\uplus B)\times (A\uplus B)=(A\times A)\uplus (A\times B)\uplus (B\times A)\uplus (B\times B).$

Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Zeige, dass die Abbildung

$\tau :L\times M⟶M\times L,(x,y)⟼(y,x),$

eine bijektive Abbildung zwischen den Produktmengen $L\times M$ und $M\times L$ festlegt.

Aufgabe

Es sei $P$ eine Menge von Personen und $V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und $N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von $P$ nach $V$, nach $N$ und nach $V\times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${ℝ}^2$.

1. $\{(x,y)\mid x+y=3\}$,
2. $\{(x,y)\mid x+y\le 3\}$,
3. $\{(x,y)\mid (x+y{)}^2\ge 4\}$,
4. $\{(x,y)\mid |x+2|\ge 5\text{ und }|y-2|\le 3\}$,
5. $\{(x,y)\mid |x|=0\text{ und }|y^4-2y^3+7y-5|\ge -1\}$,
6. $\{(x,y)\mid -1\le x\le 3\text{ und }0\le y\le x^3\}$.

Aufgabe

Erstelle eine Wertetabelle und skizziere den Graphen für das Nachfolgernehmen in den natürlichen Zahlen.

Aufgabe

Wie sehen die Graphen der Funktionen $f:ℝ\to ℝ$ aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?

Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

$f:ℝ⟶ℝ,$

ob $f$ injektiv bzw. surjektiv ist?

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung darauf, die wir als Produkt schreiben.

1. Wie viele sinnvolle Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen?
2. Die Verknüpfung sei nun assoziativ. Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt.

Aufgabe

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Auf wie viele Arten kann $n$ als eine Summe von zwei natürlichen Zahlen dargestellt werden? Inwiefern muss man diese Fragestellung präzisieren?

Aufgabe

Wir zählen

$\text{ heute},\text{ morgen},\text{ übermorgen},\text{überübermorgen},\text{überüberübermorgen},\dots$

und wollen mit diesen Zahlen addieren.

1. Welche alltagssprachliche Formulierung besitzt die Addition in diesem Zählmodell?
2. Welche sprachlichen Formulierungen drücken aus, das heute das neutrale Element der Addition ist.
3. Was ist morgen plus morgen?
4. Was ist übermorgen plus übermorgen?
5. Was ist überübermorgen plus überüberübermorgen?

Aufgabe

Es seien $k$ und $n$ natürliche Zahlen,  $k\le n$.  Zeige, dass die (Nachfolger-)Abbildung

$\{k,\dots ,n\}⟶\{k^{\prime },\dots ,n^{\prime }\},i⟼i^{\prime },$

bijektiv ist.

Aufgabe

Bestimme in den jeweiligen Modellen der natürlichen Zahlen die Anzahl der folgenden Abschnitte von $\mathbb{N}$.

1. $\{\mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid ,\dots ,\mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \}.$

2. $\{1201,\dots ,21010\}$

   (im Dreiersystem).

3. $\{\text{überübermorgen},\dots ,\text{überüberüberüberüberüberübermorgen}\}.$

Aufgabe

Es seien $S$ und $T$ endliche Teilmengen einer Menge $M$. Zeige, dass dann auch die Vereinigung $S\cup T$ endlich ist.

Aufgabe

Nach dem Mittagessen wollen Frau Maier-Sengupta und Herr Referendar Lutz mit den Kindern $A,B,C,G,H,L,M,R,T$ eine Bootsfahrt machen, wozu jedes Kind eine Nummer zwischen $1$ und $9$ braucht. Frau Maier-Sengupta ist vor dem Mittagessen mit einem Teil der Kinder auf dem Spielplatz und verteilt dabei schon mal die Nummern

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$\phi (n)$	$A$	$G$	$R$	$H$	$L$	$B$

Beim Abräumdienst nach dem Mittagessen legt Herr Lutz (ohne Rücksprache) folgende Nummern fest

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$\psi (n)$	$L$	$C$	$M$	$G$	$T$

Lucy (L) wollte zwar sagen, dass sie schon eine Nummer hat, doch das wurde von Gabi (G) verhindert. Am Boot entscheidet dann Frau Maier-Sengupta, dass die Spielplatzkinder ihre Spielplatznummern behalten und dass die übrigen Kinder die hinteren Nummern $7-9$ in der von Herrn Lutz vergebenen Reihenfolge bekommen.

1. Erstelle eine Wertetabelle für die Bootsnummerierung.
2. Definiere die Bootsnummerierung als Abbildung $\vartheta$ durch eine geeignete Fallunterscheidung.

Aufgabe

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${ℝ}^2$.

1. $\{(x,y)\mid |2x|=5\text{ und }|y|\ge 3\}$,
2. $\{(x,y)\mid -3x\ge 2y\text{ und }4x\le -5y\}$,
3. $\{(x,y)\mid y^2-y+1\le 4\}$,
4. $\{(x,y)\mid xy=2\text{ oder }{x}^2+y^2=1\}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $M$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung darauf, die wir als $\star$ schreiben. Zeige, dass

$(a\star b)\star (c\star (d\star e))=a\star ((b\star (c\star d))\star e)$

für beliebige  $a,b,c,d,e\in M$  gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung $\ast$. Zeige, dass es maximal ein neutrales Element für die Verknüpfung gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien $k,n$ natürliche Zahlen. Zeige, dass die Abbildung

$\{1,\dots ,k\}⟶\{1+n,\dots ,k+n\},i⟼i+n,$

bijektiv ist.

Anleitung: Führe Induktion nach $n$ unter Verwendung von Aufgabe 8.16.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien $M$ und $N$ zwei endliche Teilmengen einer Menge $G$. Zeige, dass die Formel

$\mathrm{\#}\left(M\right)+\mathrm{\#}\left(N\right)=\mathrm{\#}(M\cup N)+\mathrm{\#}(M\cap N)$

gilt.