Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 33/latex

\setcounter{section}{33}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(2,-7)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(5,-3) \text{ und } (-11,4)} { }
aus.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Zahlenraum $K^n$ zu einem Körper $K$ mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(su) }
{ = }{ (rs) u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(u+v) }
{ = }{ ru + rv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r+s)u }
{ = }{ ru + su }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1u }
{ =} { u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} } erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $K^n$ der $n$-dimensionale Zahlenraum. Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren im $K^n$ und $w \in K^n$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
\mathdisp {w, v_i, i \in I} { , }
ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $K^n$ ist und dass sich $w$ als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein Erzeugendensystem von $K^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\-4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 8 \\7 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^2$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 \\1\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\8\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\-5\\ 8 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\2\\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{m,n\in \N}{.} Zeige, dass der Matrizenraum
\mathl{\operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)}{} in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z & E & I & L & E \\ R & E & I & H & E \\ H & O & R & I & Z \\ O & N & T & A & L \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S & E & I \\ P & V & K \\ A & E & A \\ L & R & A \\ T & T & L \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {e_i \circ e_j} { , }
wobei links der $i$-te \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {der Länge $n$} {} {} als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor \zusatzklammer {ebenfalls der Länge $n$} {} {} als Spaltenvektor aufgefasst wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{} $M e_j$ mit dem $j$-ten \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {als Spaltenvektor aufgefasst} {} {} die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_i M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor \zusatzklammer {als Zeilenvektor aufgefasst} {} {} ist?

}
{} {}

Zu einer quadratischen Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung \zusatzklammer {Matrizenmultiplikation} {} {} mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten \stichwort {Potenzen} {} der Matrix.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{\, i = 1 , \ldots , 4} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} und $M$ eine $n\times n$-Matrix. Beschreibe \mathkor {} {DM} {und} {MD} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{\begin{pmatrix} c_1 \\\vdots\\ c_n \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $n$-Tupel über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Dx }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und wie löst man es?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(5,-8)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(6,-4) \text{ und } (-3,7)} { }
aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\-5\\ 6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\-1\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\6\\ 7 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-8\\ 7 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die vierte \definitionsverweis {Potenz}{}{} von $M$ gleich $0$ ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^4 }
{ =} { MMMM }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.


\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} \definitionsverweis {assoziativ}{}{} ist. Genauer: Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
\mathl{m\times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{,} $B$ eine
\mathl{n\times p}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{p\times r}{-}Matrix über $K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (A B)C }
{ = }{ A(BC) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde und beweise eine Formel für die $n$-te \definitionsverweis {Potenz}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}