Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 33

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Zahlenraum zu einem Körper mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

erfüllt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der -dimensionale Zahlenraum. Es sei , , eine Familie von Vektoren im und ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

ein Erzeugendensystem von ist und dass sich als Linearkombination der , , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon , , ein Erzeugendensystem von ist.


Aufgabe

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.


Aufgabe

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.


Aufgabe

Zeige, dass im die drei Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe

Bestimme, ob im die drei Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien . Zeige, dass der Matrizenraum in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.


Aufgabe *

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe *

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

wobei links der -te Standardvektor (der Länge ) als Zeilenvektor und rechts der -te Standardvektor (ebenfalls der Länge ) als Spaltenvektor aufgefasst wird.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt mit dem -ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die -te Spalte von ergibt. Was ist , wobei der -te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?


Zu einer quadratischen Matrix bezeichnet man mit die -fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von -ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

die Potenzen


Aufgabe

Es sei

eine Diagonalmatrix und eine -Matrix. Beschreibe und .


Aufgabe

Es sei

eine Diagonalmatrix und ein -Tupel über einem Körper , und es sei ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

und wie löst man es?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über einem Körper . Zeige, dass die vierte Potenz von gleich ist, also


Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist.

Genauer: Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Finde und beweise eine Formel für die -te Potenz der Matrix


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