Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 33

Die Pausenaufgabe

Aufgabe *

Drücke in ${\mathbb{Q}}^2$ den Vektor

$(2,-7)$

als Linearkombination der Vektoren

$(5,-3)\text{ und }(-11,4)$

aus.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Zahlenraum $K^n$ zu einem Körper $K$ mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften

1.  $r(su)=(rs)u$, 
2.  $r(u+v)=ru+rv$, 
3.  $(r+s)u=ru+su$, 

4. $1u=u,$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K^n$ der $n$-dimensionale Zahlenraum. Es sei $v_i$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren im $K^n$ und $w\in K^n$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_i,i\in I,$

ein Erzeugendensystem von $K^n$ ist und dass sich $w$ als Linearkombination der $v_i$, $i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon $v_i$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $K^n$ ist.

Aufgabe

Finde für die Vektoren

$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}8\\ 7\end{array}\right)$

im ${\mathbb{Q}}^2$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Finde für die Vektoren

$\left(\begin{array}{c}7\\ -5\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 8\end{array}\right)$

im ${\mathbb{Q}}^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Zeige, dass im ${ℝ}^3$ die drei Vektoren

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 7\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Bestimme, ob im ${ℝ}^3$ die drei Vektoren

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $m,n\in \mathbb{N}$. Zeige, dass der Matrizenraum ${\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$ in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

Aufgabe *

Berechne das Matrizenprodukt

$\left(\begin{array}{ccccc}4& 0& 0& -3& 7\\ 8& 3& 1& 0& -5\\ 6& 2& -1& -2& 3\\ -4& 5& 1& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 2& -4\\ 1& -1& 5\\ 0& 6& 1\\ -5& 2& 0\\ 6& -3& -2\end{array}\right).$

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

$\left(\begin{array}{ccccc}Z& E& I& L& E\\ R& E& I& H& E\\ H& O& R& I& Z\\ O& N& T& A& L\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}S& E& I\\ P& V& K\\ A& E& A\\ L& R& A\\ T& T& L\end{array}\right).$

Aufgabe *

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

$e_i\circ e_j,$

wobei links der $i$-te Standardvektor (der Länge $n$) als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor (ebenfalls der Länge $n$) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt $M{e}_j$ mit dem $j$-ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_{i}M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Zu einer quadratischen Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 1& 3& 5\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$

die Potenzen

$M^i,i=1,\dots ,4.$

Aufgabe

Es sei

$D=\left(\begin{array}{ccccc}{d}_{11}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& d_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& d_{n-1n-1}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& d_{nn}\end{array}\right)$

eine Diagonalmatrix und $M$ eine $n\times n$-Matrix. Beschreibe $DM$ und $MD$.

Aufgabe

Es sei

$D=\left(\begin{array}{ccccc}{d}_{11}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& d_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& d_{n-1n-1}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& d_{nn}\end{array}\right)$

eine Diagonalmatrix und  $c=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)$  ein $n$-Tupel über einem Körper $K$, und es sei  $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$  ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

$Dx=c,$

und wie löst man es?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke in ${\mathbb{Q}}^2$ den Vektor

$(5,-8)$

als Linearkombination der Vektoren

$(6,-4)\text{ und }(-3,7)$

aus.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde für die Vektoren

$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 7\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ 7\end{array}\right)$

im ${\mathbb{Q}}^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

$M=\left(\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ 0& 0& d& e\\ 0& 0& 0& f\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

über einem Körper $K$. Zeige, dass die vierte Potenz von $M$ gleich $0$ ist, also

$M^4=MMMM=0.$

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix, $B$ eine $n\times p$-Matrix und $C$ eine $p\times r$-Matrix über $K$. Zeige, dass  $(AB)C=A(BC)$  ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $n\in \mathbb{N}$.  Finde und beweise eine Formel für die $n$-te Potenz der Matrix

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right).$