Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung 33

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Die Zahlenräume
Die Addition von zwei Pfeilen und , ein typisches Beispiel für Vektoren.

Es sei ein Körper und . Dann ist die Produktmenge

mit der komponentenweisen Addition, also

und der durch

definierten Skalarmultiplikation ein sogenannter Vektorraum. Damit ist folgendes gemeint: Die Menge ist mit der Verknüpfung , die man (Vektor)-Addition nennt, eine kommutative Gruppe, und die Operation , die man Skalarmultiplikation nennt, erfüllt die folgenden Eigenschaften.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .

Diese Eigenschaften lassen sich einfach direkt überprüfen.

Man nennt den mit diesen Strukturen den -dimensionalen Standardraum oder Zahlenraum. Insbesondere ist selbst ein Vektorraum. Die Elemente in einem Vektorraum nennt man Vektoren, und die Elemente heißen Skalare. Das Nullelement wird auch als Nullvektor bezeichnet, und zu heißt das inverse Element das Negative zu und wird mit bezeichnet. Wie in Ringen gilt wieder Punktrechnung vor Strichrechnung, d.h. die Skalarmultiplikation bindet stärker als die Vektoraddition.

Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den Grundkörper. Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei spricht man von rationalen Vektorräumen und bei von reellen Vektorräumen. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper.

Vector space illust.svg


Der Nullraum , der aus dem einzigen Element besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als auffassen.

Die Vektoren im Standardraum kann man als Zeilenvektoren
oder als Spaltenvektoren

schreiben. Der Vektor

wobei die an der -ten Stelle steht, heißt -ter Standardvektor.


Definition  

Zu Vektoren im und Skalaren nennt man

eine Linearkombination dieser Vektoren.


Definition  

Die Vektoren im heißen ein Erzeugendensystem des , wenn man jeden Vektor als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also Skalare mit

gibt.

Man verlangt hier keine Eindeutigkeit, bei einem Erzeugendensystem kann man einen Vektor im Allgemeinen auf verschiedene Arten als Linearkombination darstellen.


Beispiel  

Wir betrachten im die drei Vektoren und . Den Vektor kann man als

aber auch als

schreiben. Besonders deutlich wird das Uneindeutigkeitsphänomen, wenn man den Nullvektor betrachtet. Es ist

die sogennante triviale Darstellung des Nullvektors, aber es ist auch




Lemma  

Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des .
  2. Für jeden Standardvektor gibt es eine Darstellung als Linearkombination
  3. Für jedes ist das lineare Gleichungssystem

    lösbar.

Beweis  

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Eigenschaft (2) ist eine Spezialisierung von (1). Die Umkehrung ergibt sich so. Man schreibt

Da man nach Voraussetzung die als Linearkombinationen der ausdrücken kann, ergibt sich auch eine Linearkombination von mit den .


Wenn die Vektoren die Standardvektoren sind, so kann man jeden Vektor wegen

unmittelbar und eindeutig als Linearkombination der Standardvektoren darstellen.


Definition  

Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare mit

gibt.



Lemma  

Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Vektoren bilden eine Basis des .
  2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des , und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ist die triviale Darstellung
  3. Für jedes besitzt das lineare Gleichungssystem

    eine eindeutige Lösung.

Beweis  

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Implikation von (1) nach (2) ist klar, da die eindeutige Darstellbarkeit insbesondere für den Nullvektor gilt. Für die Umkehrung sei

angenommen. Dann ist direkt

Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit der muss , also für alle sein.

Es sei bemerkt, dass die Bedingungen im vorstehenden Lemma nur bei erfüllt sein können.



Der Matrizenkalkül

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen (und der zugehörige Kalkül) sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben (eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, eine zweistellige Relation etc.), die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein.


Definition  

Es sei ein Körper und . Unter einer -Matrix über versteht man ein Schema der Form

wobei für und ist.

Zu jedem heißt  , , die -te Zeile der Matrix, was man zumeist als ein Zeilentupel (oder einen Zeilenvektor)

schreibt. Zu jedem heißt  , , die -te Spalte der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel (oder einen Spaltenvektor)

schreibt. Die Elemente heißen die Einträge der Matrix. Zu heißt der Zeilenindex und der Spaltenindex des Eintrags. Man findet den Eintrag , indem man die -te Zeile mit der -ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit nennt man eine quadratische Matrix. Eine -Matrix ist einfach ein einziges Spaltentupel der Länge , und eine -Matrix ist einfach ein einziges Zeilentupel der Länge . Die Menge aller Matrizen mit Zeilen und Spalten (und mit Einträgen in ) wird mit bezeichnet, bei schreibt man .

Zwei Matrizen werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix mit einem Element (einem Skalar) komponentenweise definiert, also

und

Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert.


Definition  

Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

diejenige -Matrix, deren Einträge durch

gegeben sind.

Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merkregel kann man das Schema

verwenden, das Ergebnis ist eine -Matrix. Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren (was nicht immer möglich ist) und man erhält

Insbesondere kann man eine -Matrix mit einem Spaltenvektor der Länge (von rechts) multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge .


Beispiel  

Es ist


Bemerkung  

Wenn man eine -Matrix mit einem Spaltenvektor multipliziert, so erhält man

Damit lässt sich ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit dem Störvektor kurz als

schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen (siehe die übernächste Vorlesung) durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen.



Definition  

Die -Matrix

nennt man die Einheitsmatrix.

Die Einheitsmatrix besitzt die Eigenschaft für eine beliebige -Matrix . Sie ist also das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von quadratischen Matrizen.


Definition  

Eine -Matrix der Form

nennt man Diagonalmatrix.


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