Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 39/latex

\setcounter{section}{39}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Spirale7punkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Spirale7punkte.png } {} {} {Commons} {} {}

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung \zusatzklammer {also ohne Sprünge} {} {} von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Bestimme, welche der markierten Punkte zueinander äquivalent sind. Skizziere die Äquivalenzklassen des Labyrinths durch verschiedene Farben.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

In der Klasse $7c$ herrscht ein rigides Cliquensystem, jeder Schüler und jede Schülerin gehört genau einer Clique an. Es gibt die \anfuehrung{Borussen-Bande}{} \zusatzklammer {Heinz Ngolo, Mustafa Müller, Veronika Zaitsev, Bernd Buxtehude, Paola Rodrigues und Peter Dembele} {} {,} die \anfuehrung{Eisfreunde Sonne}{} \zusatzklammer {Lucy Sonnenschein, Fred Feuerstein, Natascha Schleckmaul, Frodo Gle\-tscherzunge} {} {} die \anfuehrung{Nutty Nerds}{} \zusatzklammer {Gabi Hochster, Primo von Hinten} {} {,} das \anfuehrung{Anarcho-Syndikat}{} \zusatzklammer {Anna-Lena Müller, Annegret Maier, Ann-Kathrin Schmitt, Anabelle Belami, Antoine de la Playa, Arndt MacDermott} {} {,} die \anfuehrung{Lucky Loosers}{} \zusatzklammer {Yogi Nanging, Manfred Trutzenburg, Roberta Falstaff, Dörte Waterkant} {} {,} die \anfuehrung{Cauchy-Zwillinge}{} \zusatzklammer {Carmen Cauchy, Conchita Cauchy} {} {,} sowie fünf weitere Einzelpersonen, die für sich jeweils eine Clique bilden. Die Zugehörigkeit zur gleichen Clique definiert eine Äquivalenzrelation in der Klasse $7c$. \aufzaehlungsieben{Bestimme
\mathl{[\text{Natascha Schleckmaul}]}{.} }{Bestimme
\mathl{[\text{Ann-Kathrin Schmitt}] \cap [\text{Roberta Falstaff}]}{.} }{Bestimme
\mathl{\{ \text{Ann-Kathrin Schmitt} \} \cap \{ \text{Anabelle Belami} \}}{.} }{Bestimme
\mathl{[\text{Ann-Kathrin Schmitt}] \cap [\text{Anabelle Belami}]}{.} }{Wie viele Äquivalenzklassen gibt es in der Klasse? }{Wie viele Elemente besitzt die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation? }{Um das Klima in der Klasse zu verbessern, ruft Frau Maier-Sengupta ein Treffen zusammen, zu dem jede Clique einen Repräsentanten schickt. Wie viele Möglichkeiten für ein solches Treffen gibt es? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die fünf Einzelpersonen zusammen eine neue Clique bilden und Antoine de la Playa das Anarcho-Syndikat verlässt und sich den Eisfreunden Sonne anschließt? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf $V$, die durch
\mathdisp {v \sim w, \text{ falls es ein } \lambda \in K, \lambda \neq 0, \text{ mit } v = \lambda w \text{ gibt }} { }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. Was sind die Äquivalenzklassen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} \aufzaehlungzwei {Wir betrachten auf dem $K^n$ die \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$, die durch
\mathl{vRw}{} gegeben ist, falls es eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {K^n} {K^n } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi (v) }
{ = }{w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Welche Eigenschaften einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} sind erfüllt, welche nicht? } {Wir betrachten auf dem $K^n$ die \definitionsverweis {Relation}{}{} $S$, die durch
\mathl{vSw}{} gegeben ist, falls es eine bijektive \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {K^n} {K^n } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi (v) }
{ = }{w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Wir betrachten auf dem $K^n$ die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$, die durch
\mathl{v \sim w}{} gegeben ist, falls es eine bijektive \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {K^n} {K^n } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi (v) }
{ = }{w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und $m \in \N$. Betrachte auf der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{} $V^m$ die folgende \definitionsverweis {Relation}{}{.}
\mathdisp {( v _1 , \ldots , v _m ) \sim ( w _1 , \ldots , w _m ) , \text{ falls } \langle v_1 , \ldots , v_m \rangle = \langle w_1 , \ldots , w_m \rangle} { . }
Die beiden Vektorentupel stehen also in Relation zueinander, wenn sie den gleichen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} \definitionsverweis {erzeugen}{}{.} Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. Man gebe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen der zugehörigen \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} und der Menge der Untervektorräume von $V$, die durch $m$ Vektoren erzeugt werden können.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $B$ ein Blatt Papier \zusatzklammer {oder ein Taschentuch} {} {.} Man versuche, sich die folgenden \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $B$ und die zugehörige \definitionsverweis {Identifizierungsabbildungen}{}{} vorzustellen \zusatzklammer {möglichst geometrisch} {} {.} \aufzaehlungacht{Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch \zusatzklammer {bezüglich des Mittelpunktes des Blattes} {} {} gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $K$ ein Kreis \zusatzklammer {d.h. eine Kreislinie} {} {} auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es gebe zwei Punkte $P \neq Q$, die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $H$ die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu $H$ sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und \maabbeledisp {} {K} {K_{\geq 0} } {x} { \betrag { x } } {,} die Betragsabbildung. Zeige, dass man diese Abbildung als \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf $K$ auffassen kann, für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ \pm y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf $M$ im Sinne von Lemma 38.9. Es sei $Q$ die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} zu $\sim$ mit der kanonischen Projektion \maabb {p} {M} {Q } {.} Zeige, dass es eine bijektive Abbildung \maabbdisp {\psi} {Q} {N } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { \psi \circ p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit dem \definitionsverweis {Kern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $\sim$ die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $K^n$ zu diesem Untervektorraum im Sinne von Aufgabe 38.10 und sei \maabbdisp {p} {K^n} {K^n/\sim } {} die zugehörige \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{.} Zeige, dass es nach Fakt ***** eine Abbildung \maabbdisp {\psi} {K^n/\sim} { K^m } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \psi \circ p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. Zeige, dass $\psi$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe typische \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf
\mathl{\Z \times \Z}{,} die durch die Additionsabbildung \maabbeledisp {+} {\Z \times \Z} { \Z } {(x,y)} {x+y } {,} im Sinne von Lemma 38.9 gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der Addition \maabbeledisp {+} {\Q \times \Q} {\Q } {(x,y)} {x+y } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Addition \maabbdisp {+} {\Q^2 = \Q \times \Q} {\Q } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} ist. Wie sieht die Matrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe typische \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch die Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\cdot} {\N \times \N} { \N } {(x,y)} {x \cdot y } {,} im Sinne von Lemma 38.9 gegeben ist. Wie sieht die Äquivalenzklasse zu
\mathl{(6,20)}{} aus? Markiere in
\mathl{\N \times \N}{} mit unterschiedlichen Farben unterschiedliche Äquivalenzklassen. Gibt es Äquivalenzklassen, die nur aus einem Element bestehen? Gibt es Äquivalenzklassen, die aus unendlich vielen Elementen bestehen? Welche Äquivalenzklassen bestehen aus zwei Elementen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} {\Q \times \Q} {\Q } {(x,y)} {x \cdot y } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten auf $\N_+$ die Relation $\sim$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ \sim} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt. \aufzaehlungvier{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist. }{Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
\mathdisp {100,\, 1000, \, 9,\, 125, \, 500 , \, 27, \, 10, \, 210} { . }
}{Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb P$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge
\mathl{\mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )}{.} Zeige, dass es eine natürliche Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\N_+} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} ) } {} gibt, die zu einer injektiven Abbildung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} ) } {} führt. Ist $\tilde{\varphi}$ surjektiv? }{Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus? }

}
{} {}

Es seien $\sim_1$ und $\sim_2$ \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf der Menge $M$. Man sagt, dass $\sim_1$ eine Verfeinerung von $\sim_2$ ist, wenn aus
\mathl{x \sim_1 y}{} stets
\mathl{x \sim_2 y}{} folgt.

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf der Menge aller höheren Säugetiere die Äquivalenzrelationen, die durch \anfuehrung{gehören zur gleichen Gattung}{,} \anfuehrung{gehören zur gleichen Familie}{,} \anfuehrung{gehören zur gleichen Art}{,} \anfuehrung{gehören zur gleichen Klasse}{,} \anfuehrung{gehören zur gleichen Ordnung}{} gegeben sind. Welche Äquivalenzrelation ist eine Verfeinerung von welcher Äquivalenzrelation? Man gebe für je zwei dieser Äquivalenzrelationen Tiere an, die bezüglich der einen Relation äquivalent sind, aber nicht bezüglich der anderen. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt die Äquivalenzrelation zur Ordnung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und seien $\sim_1$ und $\sim_2$ \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $M$ mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen \maabbdisp {p_1} {M} {Q_1 } {} und \maabbdisp {p_2} {M} {Q_2 } {.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{$\sim_1$ ist eine \definitionsverweis {Verfeinerung}{}{} von $\sim_2$. }{Für die Äquivalenzklassen zu jedem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[x]_1 }
{ \subseteq }{ [x]_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist \zusatzklammer {als Teilmengen von $M \times M$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sim_1 }
{ \subseteq} { \sim_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es gibt eine Abbildung \maabbdisp {\psi} {Q_1} {Q_2 } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ p_1 }
{ = }{ p_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ eine \definitionsverweis {Relation}{}{} zwischen den Mengen \mathkor {} {M} {und} {N} {.} Wir definieren auf $M$ die Relation $S$ durch
\mathl{aSb}{,} wenn für alle
\mathl{x \in N}{} die Beziehung
\mathl{aRx}{} genau dann gilt, wenn
\mathl{bRx}{} gilt. Zeige, dass $S$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {TwoTone.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { TwoTone.svg } {} {Stevo} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem $8\times 8$-Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den $64$ Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem $3 \times 3$-Schachbrett aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Im Portemonnaie befinden sich vier $2$-Euro-Münzen, sechs $1$-Euro-Münzen, drei $50$-Cent-Münzen, zwei $20$-Cent-Münzen, eine $10$-Cent-Münze, keine $5$-Cent-Münze, fünf $2$-Cent-Münzen und acht $1$-Cent-Münzen. Wir betrachten auf dieser Münzmenge diejenige \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} bei der zwei Münzen als äquivalent gelten, wenn sie den gleichen Münzwert haben. Wie viele \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} gibt es? Wie viele Elemente besitzen die einzigen Äquivalenzklassen? Wie viele Elemente besitzt die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {\sim_1} {und} {\sim_2} {} \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf der Menge $M$ mit den zugehörigen \definitionsverweis {kanonischen Abbildungen}{}{} \maabbdisp {p_1} {M} {Q_1 } {} und \maabbdisp {p_2} {M} {Q_2 } {.} Es sei $\sim$ der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen mit der zugehörigen kanonischen Projektion \maabbdisp {p} {M} {Q } {.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {Q} {Q_1 \times Q_2 } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ p }
{ = }{ p_1 \times p_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten auf der Menge der Geraden in der Ebene $\Q^2$ die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} die durch die Parallelität von Geraden gegeben ist. Zeige, dass die folgende Menge ein Repräsentantensystem ist: die $x$-Achse und diejenigen Geraden, die durch den Nullpunkt und einen Punkt der Form
\mathl{(x,1)}{} mit
\mathl{x \in \Q}{} verlaufen.

}
{} {}