Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 40

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Oma Müller und Opa Müller haben heute Geburtstag. Sie wird Jahre alt und er wird Jahre alt. Wie alt waren sie, als man beide Altersangaben zwar mit natürlichen, aber nicht mit positiven natürlichen Zahlen ausdrücken konnte.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Familie und notieren ihre Einnahmen und Ausgaben pro Monat in der Form , wobei der erste Eintrag für die Einnahmen und der zweite Eintrag für die Ausgaben steht. Familie notiert für die erste Jahreshälfte die Paare

Familie notiert für die erste Jahreshälfte die Paare

  1. Notiere für jede Familie und jeden Monat den Gewinn bzw. das Defizit in Paarschreibweise mit Hilfe der Standardrepräsentanten.
  2. Berechne für jede Familie die Gesamteinnahmen und die Gesamtausgaben im angegebenen Zeitraum.
  3. Bestimme auf zwei verschiedene Arten für jede Familie den Gesamtgewinn bzw. das Gesamtdefizit (Standardrepräsentant).
  4. Vergleiche für jeden Monat den Haushalt der beiden Familien mit Hilfe der Festlegung aus Lemma 40.4.


Aufgabe

Es seien und Mengen mit Verknüpfungen und es sei

eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also

Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Wenn kommutativ ist, so ist auch kommutativ.
  2. Wenn assoziativ ist, so ist auch assoziativ.
  3. Wenn ein neutrales Element besitzt, so besitzt auch ein neutrales Element.


Aufgabe

Es sei ein Untervektorraum und die zugehörige Äquivalenzrelation im Sinne von Aufgabe 38.10.

  1. Zeige, dass die affinen Unterräume der Form die Äquivalenzklassen sind.
  2. Es sei ein weiterer Untervektorraum mit

    und derart, dass man jeden Vektor in der Form mit und schreiben kann. Zeige, dass ein Repräsentantensystem

    für die Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

injektiv ist und dass sie mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die auf durch

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Zeige, dass bei der auf durch

festgelegten Äquivalenzrelation jedes Paar einen Vertreter besitzt, bei dem und teilerfremd sind.


Aufgabe

Zeige, dass man durch die Festlegung

auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) eine wohldefinierte Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die als neutrales Element besitzt. Zeige ferner, dass bei die Klassen und und bei die Klassen und invers zueinander sind.


Aufgabe

Zeige, dass im Äquivalenzklassenmodell für die Addition die Beziehung

erfüllt.


Aufgabe

Es sei mit der durch

festgelegten Äquivalenzrelation versehen. Zeige, dass es zu eine Zahl und ganze Zahlen mit gibt.


Aufgabe

Zeige, dass man durch die Festlegung , falls , auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) eine wohldefinierte totale Ordnung erhält.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

injektiv und mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge mit einer kommutativen, assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element . Ferner gelte die Kürzungsregel, dass aus stets folgt.

  1. Zeige, dass auf durch die Festlegung , falls gilt, eine Äquivalenzrelation definiert wird.
  2. Zeige, dass man auf der Quotientenmenge eine Gruppenstruktur definieren kann, die die Verknüpfung auf fortsetzt.


Aufgabe

Wir betrachten auf die durch

festgelegte Relation. Zeige, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, deren Äquivalenzklassen die „diskreten Geraden“ durch den Nullpunkt ohne den Nullpunkt sind.


Aufgabe

Wir betrachten auf die durch

festgelegte Relation. Zeige, dass dies keine Äquivalenzrelation ist


Aufgabe

Es seien und Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge diejenige Relation, bei der die Abbildungen

in Relation stehen, wenn es eine bijektive Abbildung

mit

gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Es seien und Mengen, wobei endlich sei. Wir betrachten die Abbildung

Einer Abbildung wird also die Abbildung zugeordnet, die jedem Wert die Anzahl seiner Urbilder zuordnet. Finde möglichst viele Interpretationen für diese Situation.


Aufgabe

Es sei eine Schulklasse und

die Menge der Schulnoten. Das Ergebnis einer Klausur ist eine Abbildung , wobei jedem Schüler seine in der Klausur erzielte Note zugeordnet wird. Die zugehörige Notenverteilung ist die Abbildung, die jeder Note zuordnet, wie oft diese Note in der Klausur vergeben wurde. Die in Aufgabe 40.17 besprochene Abbildung

ordnet also dem Klausurergebnis die Notenverteilung zu. Es sei nun

die Abbildung, die jedem Klausurergebnis die Durchschnittsnote zuordnet.

  1. Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einem Klausurergebnis .
  2. Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einer Notenverteilung .
  3. Zeige, dass man die Durchschnittsnote zum Klausurergebnis allein aus der zugehörigen Notenverteilung berechnen kann.
  4. Zeige, dass es eine Abbildung

    mit

    gibt.

  5. Aus welchen Notenverteilungen ist das Klausurergebnis rekonstruierbar?
  6. Was ist eine sinnvolle Antwort auf die Frage „Wie ist die Klausur ausgefallen“?


Aufgabe

Es seien und Mengen, wobei endlich sei. Es sei die Äquivalenzrelation auf aus Aufgabe 40.16 und sei

die in Aufgabe 40.17 besprochene Abbildung.

  1. Es sei eine bijektive Abbildung und eine Abbildung. Zeige
  2. Es seien . Zeige genau dann, wenn ist.
  3. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

    mit gibt, wobei die kanonische Projektion in die Quotientenmenge bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Äquivalenzrelation auf , die durch , falls ist, festgelegt ist, durch die Sprünge erzeugt wird.


Aufgabe (8 (2+2+2+2) Punkte)

Es sei die Äquivalenzrelation auf , die durch , falls ist, festgelegt ist, und es sei die zugehörige Quotientenmenge, also das Äquivalenzklassenmodell von . Es sei das  (in der 18. Vorlesung eingeführte) „direkte Modell“ für die ganzen Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

die durch

definiert ist, und die zusammengesetzte Abbildung

  1. Zeige, dass eine bijektive Abbildung ist.
  2. Zeige, dass mit der Addition verträglich ist.
  3. Zeige, dass mit der Multiplikation verträglich ist.
  4. Zeige, dass mit der Ordnung verträglich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge mit einer kommutativen, assoziativen Verknüpfung mit einem neutralen Element . Ferner gelte in die „Kürzungsregel“: Aus folgt . Zeige, dass eine Gruppe ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass im Äquivalenzklassenmodell für die Ordnung die Beziehung

genau dann, wenn

erfüllt.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Fußballspiele zwischen dem TSV Wildberg und VfB Effringen endeten in den letzten Jahren wie folgt:

  1. Erstelle die Äquivalenzklassen (auf der Menge der angegebenen Ergebnisse) gemäß der Äquivalenzrelation auf , die durch , definiert ist.
  2. Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf , die auf durch , definiert ist und für die und eigene Äquivalenzklassen sind.
  3. Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf , die auf durch , definiert ist und für die die anderen Elemente nur zu sich selbst äquivalent sind.


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