Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Liste der Hauptsätze
Es gelten die folgenden Aussagen.
- Jede natürliche Zahl besitzt eine eindeutige Summendarstellung
(mit ) mit der Eigenschaft, dass die Gesamtanzahl der Summanden (also ) unter allen Darstellungen minimal ist.
- Eine solche Darstellung ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind.
a) Die Koeffizienten , die sich auf beziehen, sind .
b) Die Koeffizienten , die sich auf beziehen, sind .
c) Falls der Koeffizient, der sich auf (bzw. bzw. ) bezieht, gleich ist, so ist der vorhergehende Koeffizient (der sich also auf bzw. bzw. bezieht) gleich . - Die eindeutige Darstellung findet man, indem man sukzessive absteigend bestimmt, wobei man folgendermaßen
vorgeht
definiere
definiere
etc.
Wenn eine Menge ist und wenn
und
bijektive Abbildungen sind,
so ist
Die Anzahl einer endlichen Menge ist also wohldefiniert.
Es seien und Modelle für die natürlichen Zahlen.
Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung
die das Zählen (also die und die Nachfolgerabbildung) respektiert.
Für jede natürliche Zahl sei eine Aussage gegeben. Es gelte
- ist wahr.
- Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
Dann gilt für alle .
Auf den natürlichen Zahlen
gibt es genau eine Verknüpfung
mit
Es seien und disjunkte endliche Mengen mit bzw. Elementen.
Dann besitzt ihre Vereinigung gerade Elemente.
Auf den natürlichen Zahlen
gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
die
erfüllt.
Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen.
Dann besitzt die Produktmenge genau Elemente.
Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei und seien.
Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gleich , wenn einer der Faktoren ist.
Aus einer Gleichung mit und mit folgt
.
Für natürliche Zahlen gilt
genau dann, wenn es ein mit
gibt.
Auf den natürlichen Zahlen
ist durch die Größergleich-Relation eine totale Ordnung definiert.
Es seien natürliche Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
genau dann, wenn
ist.
- Aus
und
folgt
- Aus
folgt
- Aus
und
folgt
- Aus
und
folgt
Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei
eine Teilmenge, die Elemente besitze.
Dann besitzt
genau Elemente.
Es seien natürliche Zahlen mit .
Dann ist
Die natürlichen Zahlen
bilden einen kommutativen Halbring.
Es sei ein kommutativer Halbring und es seien Elemente aus .
Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz
In einem kommutativen Halbring
gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
Jede natürliche Zahl , , besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
mit Primzahlen .
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Auf einer endlichen Menge mit Elementen
gibt es bijektive Abbildungen von nach .
Die Anzahl der -elementigen Teilmengen in einer -elementigen Menge ist
der Binomialkoeffizient
Insbesondere sind die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen.
Die Binomialkoeffizienten
erfüllen die rekursive Beziehung
Es sei ein kommutativer Halbring und . Ferner sei eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
Zu jeder natürlichen Zahl
gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen und mit und mit (außer bei ) mit der Eigenschaft
Es seien
und
zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem (also mit ).
Dann ist
genau dann, wenn
oder wenn ist und wenn es ein , , derart gibt, dass
ist.
Das schriftliche Addieren im Zehnersystem ist korrekt.
Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.
Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.
Es sei
eine Gleichung in der Variablen über einem gegebenen Zahlenbereich . Es sei
eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
- Wenn
eine Lösung der Gleichung ist, so ist auch eine Lösung der umgeformten Gleichung
- Wenn
injektiv
ist, so ist
genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn eine Lösung der umgeformten Gleichung
ist.
Die ganzen Zahlen
bilden einen kommutativen Ring.
Es sei eine Gruppe.
Dann ist zu jedem das Element mit
eindeutig bestimmt.
Es sei eine Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen .
Es seien zwei teilerfremde natürliche Zahlen.
Dann gibt es ganze Zahlen mit .
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
Die Untergruppen von sind genau
die Teilmengen der Form
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl .
Es seien ganze Zahlen und gegeben.
Dann besitzt die Folge , , der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.
- Es ist oder .
- Es gibt ein (minimales) mit .
- Es ist
für alle
- Sei
der erste Index derart, dass
ist. Dann ist
Es seien ganze Zahlen.
Dann ist
wobei das kleinste gemeinsame Vielfache der ist.
Für natürliche Zahlen gelten folgende Aussagen.
- Für teilerfremde ist
- Es gibt
mit
wobei teilerfremd sind.
- Es ist
- Es ist
Es sei eine Primzahl und teile ein Produkt von natürlichen Zahlen .
Dann teilt einen der Faktoren.
Jede natürliche Zahl , , besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
mit Primzahlen , und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Es seien und positive natürliche Zahlen. Dann wird von genau dann geteilt,
wenn für jede Primzahl die Beziehung
gilt.
Es seien und positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen und .
Dann ist
und
Es sei ein proportionaler Zusammenhang
zwischen den beiden Größen und gegeben. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es ist
- Es ist
- Wenn man die Größe um einen bestimmten Wert erhöht, so erhöht sich die Größe um einen bestimmten Wert , der unabhängig von ist.
- Wenn man die Größe um einen bestimmten Faktor vervielfacht (verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht), so vervielfacht (verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht) sich die Größe um den gleichen Faktor.
Die rationalen Zahlen erfüllen die folgenden Eigenschaften.
- Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Zu jedem gibt es ein mit
- Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Zu jedem
, ,
gibt es ein mit
- Es gilt das Distributivgesetz.
Es sei ein Körper. Aus
folgt oder .
Die rationalen Zahlen bilden mit der in der Definition 24.1 festgelegten Ordnung
einen angeordneten Körper.
Es sei ein angeordneter Körper und eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes mit die Abschätzung
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zu mit stets ein mit .
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei .
Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und .
Dann gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit
Es sei ein angeordneter Körper, eine Teilmenge und
eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.
Dann ist injektiv.
Es sei ein angeordneter Körper, und
die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Bei ist streng wachsend.
- Bei ist konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
- Bei ist streng fallend.
Es sei ein angeordneter Körper und . Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Abbildung
ist streng wachsend.
- Die Abbildung
ist bei ungerade streng wachsend.
- Die Abbildung
ist bei gerade streng fallend.
Die Summe und das Produkt von zwei Dezimalbrüchen ist wieder ein Dezimalbruch. Das Negative eines Dezimalbruches ist ein Dezimalbruch.
Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen kommutativen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.
Zu jeder rationalen Zahl und jedem
gibt es ein eindeutig bestimmtes derart, dass
gilt.
D.h., dass man jede rationale Zahl beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.
Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion
zur Basis die folgenden Eigenschaften.
- Bei ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
- Bei ist die Exponentialfunktion streng fallend.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und gegeben mit der zugehörigen Exponentialfunktion
zur Basis . Es sei eine natürliche Zahl.
Dann gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , , und , , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die liegen zwischen und .
- Die , , liegen zwischen und .
- Wenn für ein der Rest ist, so sind für alle auch . und .
- Es gibt ein
und ein
mit
derart, dass für die Ziffern mit
die Beziehung
gilt.
- Wenn man statt den Divisionsalgorithmus mit ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl wohldefiniert.
- Bei der Division von
durch eine Zehnerpotenz
ist
(was bei als zu lesen ist) und
(was für als zu lesen ist). Die Ziffernfolge ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.
- Der Bruch ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest gleich ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge ab einem konstant gleich ist.
Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper und es sei , , die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.
Dann ist
d.h. der -te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl bis auf einen Fehler von maximal . Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition 28.5 vor.
Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , , und , , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.
Dann ist
die Dezimalbruchfolge zu . Insbesondere ist für jedes
Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper .
Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge , , gegen .
Zu einer rationalen Zahl
konvergiert die Dezimalbruchfolge, die man aus dem Divisionsalgorithmus erhält, gegen .